alg中心化子的刻畫

alg中心化子的刻畫

1雙三角子空間格的一般性質(zhì)抽象格理論有兩個(gè)重要的五個(gè)元素格。這是雙三角形和五角形自反演算的比率，即自反演算的比率。它起源于20世紀(jì)60年代。它是算子算子代代相傳的主要研究對(duì)象。現(xiàn)在它是算子算子代代相傳的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。w.russellson等人在系統(tǒng)上研究了五個(gè)角子空間的代數(shù)，并在接下來(lái)的第二個(gè)角子空間界面中描述了有限的噪聲算子。在這項(xiàng)工作中，研究的對(duì)象是三角形子空間的比率。本文總設(shè)X是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域F上的非零自反Banach空間,X*表示其對(duì)偶空間,B(X)表示X上的全體有界線性算子構(gòu)成的代數(shù),I表示X上的恒等算子.對(duì)T∈B(X),和,用T*表示T的伴隨算子,表示E的零化子,表示F的預(yù)零化子;此外,當(dāng)T是X上的一般的線性算子時(shí),用D(T)表示其定義域,G(T)={(x,Tx):x∈D(T)}是T的圖像.給定e∈X,f*∈X*,定義秩一算子.設(shè)K,L,M是X的閉子空間,滿足K∩L=L∩M=M∩K=(0)且K∨L=L∨M=M∨K=X,則稱D={(0),K,L,M,X}是X上的雙三角子空間格,這里V表示子空間的閉線性擴(kuò)張.由于X的自反性,易知D⊥={(0),K⊥,L⊥,M⊥,X*}也是X*上的雙三角子空間格.定義,稱其為由D確定的雙三角子空間格代數(shù),它是含單位算子的弱閉算子代數(shù).根據(jù)[9,引理3.1]所描述的子空間格代數(shù)中秩一算子的特征和[6,定理2.1]可知,任何AlgD不含秩一算子,但可包含秩二算子.記K0=K∩(L+M),L0=L∩(K+M),M0=M∩(L+K),KP=K⊥∩(L⊥+M⊥),LP=L⊥∩(K⊥+M⊥),MP=M丄∩(L⊥+K⊥).易見(jiàn),Kp,Lp,Mp在D⊥中的作用類似于K0,L0,M0在D中的作用.進(jìn)一步,引用的術(shù)語(yǔ),稱D={(0),K,L,M,X}是X上的強(qiáng)雙三角子空間格,如果子空間K+L,L+M,M+K中有一個(gè)是閉的.下面的幾個(gè)引理概括了雙三角子空間格代數(shù)的一些基本性質(zhì),是本文的研究基礎(chǔ).引理1.1設(shè)D={(0),K,L,M,X}是雙三角子空間格,則引理1.2設(shè)D={(0),K,L,M,X}是雙三角子空間格,則(1)AlgD中的有限秩算子都是偶數(shù)秩的.(2)設(shè)e,f∈X,e*,f*∈X*非零,使得e∈K0,f∈L0,e+f∈M0,e*∈Kp,f*∈Lp,e*+f*∈Mp,則是AlgD中的秩二算子且滿足e*(f)=-f*(e),R2=-f*(e)R;進(jìn)一步,AlgD中的秩二算子都具有這種形式.(3)AlgD中的每個(gè)非零有限秩算子都可寫成AlgD中的秩二算子的有限和.(4)AlgD包含非零有限秩算子的充要條件為:m≠0,n≠0,這里m=dimK0,n=dimKp.引理1.3設(shè)D={(0),K,L,M,X}是雙三角子空間格,并且AlgD包含秩二算子,則(1)span{RX:R∈AlgD,rankR=2}=K0+L0+M0(2)∩{kerR:R∈AlgD,rankR=2}=⊥{Kp+Lp+Mp}.引理1.4設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,則(1)K0+L0+M0在X中稠密.(2)Kp+Lp+Mp在X*中稠密.引理1.5設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,T∈B(X),則(1)如果任給秩二算子R∈AlgD都有TR=0,那么T=0.(2)如果任給秩二算子R∈AlgD都有RT=0,那么T=0.根據(jù)引理1.4,對(duì)強(qiáng)雙三角子空間格D必有m≠0,n≠0,進(jìn)而由引理1.2和引理1.3知AlgD一定包含充分多的秩二算子.此外,稱AlgD的子代數(shù)A是標(biāo)準(zhǔn)的,如果A包含AlgD的全體有限秩算子.同構(gòu)、導(dǎo)子和中心化子是代數(shù)或環(huán)上的重要的變換,許多學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了研究.設(shè)A是代數(shù)或環(huán),Φ:A→A是可加映射.若Φ(AB)=Φ(A)B(Φ(AB)=AΦ(B)),,B∈A,則稱Φ是A上的左(右)中心化子;若Φ既是左中心化子又是右中心化子,則稱Φ是A上的中心化子.顯然,若T∈A,那么LT(A)=TA(RT(A)=AT)是左(右)中心化子,通常稱LT(RT)為左(右)乘子;進(jìn)一步,若T屬于A的中心,則Lr(=RT)為中心化子,也稱為乘子.受局部導(dǎo)子和局部同構(gòu)等局部映射的啟發(fā),稱Φ是局部左中心化子,如果對(duì)任意A∈A,都存在某個(gè)左中心化子ΦA(chǔ)使得Φ(A)=ΦA(chǔ)(A);類似可定義局部右中心化子和局部中心化子.設(shè)M是雙邊A-模,δ:A→M是可加映射.稱δ是導(dǎo)子,如果δ(AB)=δ(A)B+Aδ(B),,B∈A;進(jìn)一步,設(shè)α,β是A的自同構(gòu),稱δ是(α,β)-導(dǎo)子,如果δ(AB)=δ(A)β(B)+α(A)δ(B),,B∈A,當(dāng)α=β=I為恒等映射時(shí),(I,I)-導(dǎo)子即是通常的導(dǎo)子.給定T∈M,定義δ(A)=Tβ(A)-α(A)T,則δT是(α,β)-導(dǎo)子,通常稱其為(a,β)-內(nèi)導(dǎo)子.關(guān)于導(dǎo)子和中心化子的一個(gè)基本問(wèn)題就是:導(dǎo)子何時(shí)具有內(nèi)性?中心化子何時(shí)是乘子?近年來(lái),套代數(shù)、CSL代數(shù)、完全分配格代數(shù)、J-子空間格代數(shù)和雙三角子空間格代數(shù)等算子代數(shù)上的同構(gòu)和導(dǎo)子已經(jīng)得到廣泛研究.本文主要研究雙三角子空間格代數(shù)、(α,β)-導(dǎo)子和中心化子,與此相關(guān)的幾個(gè)文獻(xiàn)陳述如下:文獻(xiàn)刻畫了強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)的代數(shù)同構(gòu)和線性導(dǎo)子的表達(dá)形式,證明了這類代數(shù)上的局部導(dǎo)子一定是導(dǎo)子,文獻(xiàn)得到了這類代數(shù)上的Jordan導(dǎo)子的幾個(gè)特征;文獻(xiàn)證明了一類特殊的自反算子代數(shù)上的(α,β)-導(dǎo)子具有內(nèi)性;此外,文獻(xiàn)研究了J-子空間格代數(shù)、完全分配CSL代數(shù)以及Banach空間上的標(biāo)準(zhǔn)算子代數(shù)的中心化子.受這些結(jié)果的啟發(fā),我們將研究強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)上的中心化子和(α,β)-導(dǎo)子,結(jié)果表明:中心化子和(α,β)-導(dǎo)子分別是“近似”乘子和“近似”(α,β)-內(nèi)導(dǎo)子,局部左(右)中心化子一定是左(右)中心化子.2中心化子的定義本節(jié)主要刻畫強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)的中心化子的表達(dá)形式,并證明這類代數(shù)的局部左(右)中心化子一定是左(右)中心化子.引理2.1設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,則必存在秩二算子,其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈Lp,f*∈Mp,e*+f*∈Kp,并且e*(f)=-f*(e)=1.證明該結(jié)果本質(zhì)上已包含在[6,定理3.1]的證明中,為讀者方便,這里給出一個(gè)更直接的證明.不妨設(shè)X=L+M,則K0=K∩(L+M)=K≠(0).取定非零h∈K0,則有唯一分解h=e+f,其中e∈L0,f∈M0都非零.由引理1.1和引理1.4知,且Lp+Mp=Kp+Lp+Mp在X*中稠密,進(jìn)而因此,故存在f*∈Mp使得f*(e)=-1.分解f*=-e*+g*這里e*∈Lp,g*∈Kp非零.令,由引理1.2知R∈AlgD且R2=R,e*(f)=-f*(e)=1.證畢.定理2.1設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù),Φ是A的中心化子.(1)若A含單位元,則存在T∈A,使得Φ(A)=TA=AT,A∈A.(2)若A不含單位元,則存在稠定閉線性算子,使得T的定義域D(T)在A中算子作用下不變的,并且(2)設(shè).首先說(shuō)明中心化子Φ是線性的.事實(shí)上,設(shè)λ∈F,A∈A.對(duì)任何秩二算子R∈A,有Φ(λA)R=Φ(λAR)=Φ(A(λR))=λΦ(A)R.由引理1.5可得Φ(λA)=λΦ(A).根據(jù)引理2.1,固定秩二算子,其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈Lp,f*∈Mp,e*+f*∈Kp,并且e*(f)=-f*(e)=1.任取x∈K0,必存在唯一分解x=x1+x2,這里x1∈L0,x2∈M0.由引理1.2知.定義線性映射TK:K0→K0如下設(shè)A∈A,x∈K0則Ax∈K0,并且上式作用于e+f即得Φ(A)x=TKAx=ATKx.類似地,設(shè)y∈L0,則有唯一分解y=y1+y2,y1∈M0,y2∈K0,并且.定義線性映射TL:L0→L0,則對(duì)A∈A,y∈L0,有Φ(A)y=TLAy=ATLy.再定義則線性映射T0:K0+L0→K0+L0滿足Φ(A)u=T0Au=AT0u,.記O={u∈X:存在v∈X使得,這里G(T0)={(u,T0u):u∈K0+L0}是T0的圖像.那么O是X的稠密子空間且我們斷言:對(duì)任意u∈O,存在唯一的v∈X使得.為此,設(shè)vl,v2∈X使得(u,v1),(u,v2)∈.則,從而存在一列滿足un→0,T0un→v1-v2.任取w*∈Kp,則有唯一分解w*=l*+m*,l*∈Lp,m*∈Mp.令,則A∈AlgD且由于L0∩M0=(0)且e,f均非零,即有從而w*(v1-v2)=0.同理可證,當(dāng)w*∈Lp時(shí),也有w*(v1-v2)=0.由引理1.1和引理1.4知,Kp+Lp在X*中稠密,從而v1-v2.明顯地,現(xiàn)在可以定義映射T:使得,則T是稠定閉線性算子,且.設(shè)A∈Au∈O,即有故存在一列滿足un→u,T0un→Tu.因此Aun→Au,AT0un→ATu,Φ(A)un→Φ(A)u.但Φ(A)un=T0Aun=AT0un,于是Φ(A)u=ATu,并且(Aun,T0Aun)=(Aun,AT0un)→(Au,ATu).這樣(Au,ATu)∈G(T),進(jìn)而Au∈O,TAu=ATu.這說(shuō)明D(T)(=O)是A的不變子空間,且Φ(A)x=TAx=ATx,A∈A,x∈D(T).證畢.下面研究局部中心化子.定理2.2設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù),則A的線性局部左(右)中心化子一定是左(右)中心化子;從而A的線性局部中心化子一定是中心化子.證明只考慮“左”的情況.設(shè)Φ是A的線性局部左中心化子,A,P∈A,其中P是冪等元.于是存在A的左中心化子Φ1使得Φ(AP)=Φ1(AP)=Φ1(A)P,進(jìn)而Φ(AP)=Φ(AP)P.另一方面,存在A的左中心化子Φ2使得Φ(A-AP)=Φ2(A-AP),于是Φ(A-AP)P=Φ2(A-AP)P=Φ2((A-AP)P)=0,即有Φ(AP)P=Φ(A)R因此Φ(AP)=Φ(A)P.下證對(duì)任意A∈A和秩二算子R∈A都有Φ(AR)=Φ(A)R.為此,設(shè),其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈Lp,f*∈Mp,e*+f*∈Kp.由引理1.2知R2=-f*(e)R且e*(f)=-f*(e).如果e*(f)≠0,則是冪等算子,從而由和Φ的線性,即得Φ(AR)=Φ(A)R.下面假設(shè)e*(f)=0.類似于引理2.1的證明,由于Kp+Lp+Mp在X*中稠密,故L0∩⊥Mp=(0).因此,故存在g*∈Mp使得g*(e)≠0.從LP+MP=LP+KP知,存在唯一的l*∈Lp,κ*∈Kp使得e*+g*=l*+κ*.構(gòu)造秩二算子,則R1,R2∈AlgD,R1-R2=R,且(e*-l*)(f)=-g*(e)≠0,l*(f)=(g*-f*)(e)=g*(e)≠0.因此Φ(AR)=Φ(AR1)-Φ(AR2)=Φ(A)R1-Φ(A)R2=Φ(A)R.設(shè)A,B,R∈A,其中R是秩二算子.由于K0,L0,M0是B的不變子空間,故BR是零或秩二算子,從而Φ(AB)R=Φ(ABfR)=Φ(A)BR.由引理1.5得Φ(AB)=Φ(A)B,即Φ是左中心化子.證畢.在本節(jié)最后,我們研究中心化子的連續(xù)性.命題2.1設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,A是AlgD的標(biāo)準(zhǔn)子代數(shù),Φ是A的中心化子.若A是閉的,則Φ是連續(xù)的.證明根據(jù)閉圖像定理,只需證明Φ是閉算子即可.設(shè)Tn,T,S∈A且Tn→T,Φ(Tn)→S.任取秩二算子R∈A,則RS=limn→∞RΦTn)=limn→∞Φ(R)Tn=Φ(R)T=RΦ(T).由引理1.5知Φ(T)=S,從而Φ是閉算子.證畢.3稠定閉線性算子本節(jié)將刻畫強(qiáng)雙三角子空間格代數(shù)的(α,β)-導(dǎo)子的表達(dá)形式.先介紹兩個(gè)已知結(jié)果.定理3.1設(shè)Di={(0),Ki,Li,Mi,Xi}是自反Banach空間Xi上的強(qiáng)雙三角子空間格,i=1,2,Φ:AlgD1→AlgD2是代數(shù)同構(gòu),則Φ是擬空間實(shí)現(xiàn)的,即:存在稠定閉的、具有稠值域的、單射線性變換,使得D(T)在AlgD1中算子作用下不變,且Φ(A)Tx=TAx,,x∈D(T).定理3.2設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,δ:AlgD→B(X)是線性導(dǎo)子,則存在稠定閉線性算子,使得D(T)在AlgD中算子作用下不變,且δ(A)x=(TA-AT)x,,x∈D(T).下面將證明本節(jié)的主要結(jié)果,它是上述定理3.2的推廣.定理3.3設(shè)D={(0),K,L,M,X}是強(qiáng)雙三角子空間格,α,β是AlgD的代數(shù)自同構(gòu),使得δ:AlgD→B(X)是線性的(α,β)-導(dǎo)子,則存在稠定閉線性算子,使得其定義域D(W)在AlgD中算子作用下不變,且δ(A)x=(Wβ(A)-α(A)W)x,,x∈D(W).證明由于β是AlgD的自同構(gòu),故根據(jù)定理3.1知,存在稠定閉的、具有稠值域的線性算子,使得β(A)Tx=TAx,,x∈D(T);進(jìn)一步,且T(K0)=K0,T(L0)=L0.固定秩二算子,其中e∈L0,f∈M0,e+f∈K0,e*∈Lp,f*∈Mp,e*+f*∈Kp,并且e*(f)=-f*(e)=1.任取x∈K0,必有唯一分解x=x1+x2,這里x1∈L0,x2∈M0.定義線性映射W1:T(K0)→X,設(shè)A∈AlgD,x∈K0,則上式作用于T(e+f),注意到,即得δ(A)Tx=W1β(A)Tx-α(A)W1Tx.設(shè)y∈L0,分解y=y1+y2,其中y1∈M0,y2∈K0.定義線性映射W2:T(L0)→X,則對(duì)A∈AlgD,y∈L0,與W1的情況類似可得δ(A)Ty=W2β(A)Ty-α(A)W2Ty.進(jìn)一步,由于T(K0)=K0,T(L0)=L0,故可定義W0:T(K0+L0)→X,易見(jiàn)W0是線性映射.設(shè)A∈Alg