江西省2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課后強(qiáng)化訓(xùn)練-第六章第二節(jié)　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

[基礎(chǔ)過關(guān)]1．⊙O的半徑為5，點(diǎn)P到圓心O的距離為3，點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是()A．無法確定 B．點(diǎn)P在⊙O外C．點(diǎn)P在⊙O上 D．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)解析：∵OP＝3＜5，∴點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi)．答案：D2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心作圓，如果圓A與線段BC沒有公共點(diǎn)，那么圓A的半徑r的取值范圍是()A．5≥r≥3 B．3＜r＜5C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以點(diǎn)A為圓心作圓，當(dāng)圓A的半徑0＜r＜3或r＞5時(shí)，圓A與線段BC沒有公共點(diǎn)．答案：D3．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P＝40°，則∠B的度數(shù)為()A．20°B．25°C．40°D．50°解析：連接OA，如圖，∵PA是⊙O的切線，∴OA⊥AP.∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠AOP＝50°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB.∵∠AOP＝∠B＋∠OAB，∴∠B＝eq\f(1,2)∠AOP＝eq\f(1,2)×50°＝25°.答案：B4．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(四邊形AEOF)的面積是()A．4B．6.25C．7.5D．9解析：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2＋CA2＝BC2.∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°.∵AB，AC與⊙O分別相切于點(diǎn)F，E，∴OF⊥AB，OE⊥AC.∴四邊形OFAE為正方形．設(shè)OE＝r，則AE＝AF＝r，∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴BD＝BF＝5－r，CD＝CE＝12－r.∴5－r＋12－r＝13.∴r＝eq\f(5＋12－13,2)＝2.∴陰影部分(四邊形AEOF)的面積是2×2＝4.答案：A5．如圖，邊長為2eq\r(3)的等邊△ABC的內(nèi)切圓的半徑為()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：設(shè)△ABC的內(nèi)心為O，連接AO，CO，延長CO交AB于H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴CH平分∠BCA，AO平分∠BAC.∵△ABC為等邊三角形，∴∠CAB＝60°，CH⊥AB.∴∠OAH＝30°，AH＝BH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3).在Rt△AOH中，∵tan∠OAH＝eq\f(OH,AH)＝tan30°，∴OH＝eq\f(\r(3),3)×eq\r(3)＝1.即△ABC內(nèi)切圓的半徑為1.答案：A6．如圖，在△ABC中，O是AB邊上的點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)D，BD平分∠ABC，AD＝eq\r(3)OD，AB＝12，CD的長是()A．2eq\r(3)B．2C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)解析：∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，∴AC⊥OD.∴∠ADO＝90°.∵AD＝eq\r(3)OD，∴tanA＝eq\f(OD,AD)＝eq\f(\r(3),3).∴∠A＝30°.∵BD平分∠ABC，∴∠OBD＝∠CBD.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.∴∠C＝∠ADO＝90°.∴∠ABC＝60°，BC＝eq\f(1,2)AB＝6，AC＝eq\r(3)BC＝6eq\r(3).∴∠CBD＝30°.∴CD＝eq\f(\r(3),3)BC＝eq\f(\r(3),3)×6＝2eq\r(3).答案：A7．如圖，P為圓O外一點(diǎn)，PA，PB分別切圓O于A，B兩點(diǎn)，若PA＝3，則PB＝()A．2B．3C．4D．5解析：由切線長定理得PB＝PA＝3.答案：B8．根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是()解析：三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心．答案：C9．直角三角形的兩條直角邊分別是5和12，則它的內(nèi)切圓半徑為________．解析：直角三角形的斜邊＝eq\r(52＋122)＝13，所以它的內(nèi)切圓半徑＝eq\f(5＋12－13,2)＝2.故答案為2.答案：210．如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G三點(diǎn)，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm，BC的長為________．解析：∵AB，BC，CD分別與⊙O相切于E，F(xiàn)，G，∴∠OBE＝∠OBF＝eq\f(1,2)∠EBF，∠OCG＝∠OCF＝eq\f(1,2)∠GCF.∵AB∥CD，∴∠EBF＋∠GCF＝180°.∴∠OBF＋∠OCF＝90°.∴∠BOC＝90°.在Rt△BOC中，BO＝6cm，CO＝8cm，∴BC＝eq\r(BO2＋OC2)＝10cm.故答案為10cm.答案：10cm11．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，且AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P為⊙O上的動點(diǎn)，且∠BPC＝60°，⊙O的半徑為6，則點(diǎn)P到AC距離的最大值是________．解析：如圖，過O作OM⊥AC于M，延長MO交⊙O于P，則此時(shí)，點(diǎn)P到AC的距離最大，且點(diǎn)P到AC距離的最大值＝PM，∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半徑為6，∴OP＝OA＝6.∴OM＝eq\f(\r(3),2)OA＝eq\f(\r(3),2)×6＝3eq\r(3).∴PM＝OP＋OM＝6＋3eq\r(3).∴點(diǎn)P到AC距離的最大值是6＋3eq\r(3).故答案為6＋3eq\r(3).答案：6＋3eq\r(3)12．如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB，DE分別相切于點(diǎn)B，D，則劣弧eq\o(BD,\s\up8(⌒))所對的圓心角∠BOD的大小為________度．解析：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠E＝∠A＝eq\f(5－2×180°,5)＝108°.∵AB，DE與⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°.∴∠BOD＝(5－2)×180°－90°－108°－108°－90°＝144°.故答案為144.答案：14413．如圖，BD是⊙O的直徑，A是⊙O外一點(diǎn)，點(diǎn)C在⊙O上，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，∠CAB＝90°，若BD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠CBD，則弦BC的長為________．解析：連接CD，如圖．∵BD是⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°＝∠CAB.∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(BC,BD).∴BC2＝AB×BD＝4×6＝24.∴BC＝eq\r(24)＝2eq\r(6).故答案為2eq\r(6).答案：2eq\r(6)14．(2021·吉州一模)已知點(diǎn)O是菱形ABCD對角線BD上的點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓與CD相切于點(diǎn)C.(1)求證：AD與⊙O相切；(2)若圓O的半徑為6，求菱形的邊長．解：(1)證明：如圖，連接OA，OC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADO＝∠CDO.∵OD＝OD，∴△ADO≌△CDO(SAS)．∴OA＝OC，∠OAD＝∠OCD.∵CD是⊙O的切線，∴∠OCD＝90°.∴∠OAD＝90°，∴AD與⊙O相切；(2)∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵∠DOC＝∠OBC＋∠OCB，∴∠DOC＝2∠OBC.∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴∠CDB＝∠CBD.∴∠DOC＝2∠CDO.∵∠CDO＋∠DOC＝90°，∴∠CDO＝30°.∵OC＝6，∴CD＝6eq\r(3).∴菱形的邊長為6eq\r(3).15．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，過點(diǎn)A的切線與CD的延長線相交于點(diǎn)P.且∠APC＝∠BCP.(1)求證：∠BAC＝2∠ACD；(2)過圖1中的點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為E(如圖2)，當(dāng)BC＝6，AE＝2時(shí)，求⊙O的半徑．解：(1)證明：如圖1，作DF⊥BC于F，連接DB，∵AP是⊙O的切線，∴∠PAC＝90°，即∠P＋∠ACP＝90°.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，即∠PCA＋∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC.∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB.∴DB＝DC.∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分線．∴DF經(jīng)過點(diǎn)O.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；(2)如圖2，同作DF⊥BC于F，∵DF經(jīng)過點(diǎn)O，DF⊥BC，∴FC＝eq\f(1,2)BC＝3.在△DEC和△CFD中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠FDC，,∠DEC＝∠CFD，,DC＝CD，))∴△DEC≌△CFD(AAS)．∴DE＝FC＝3.∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE·EC.則EC＝eq\f(DE2,AE)＝eq\f(9,2).∴AC＝2＋eq\f(9,2)＝eq\f(13,2).∴⊙O的半徑為eq\f(13,4).[能力提升]16．如圖，拋物線y＝eq\f(1,4)x2－4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C(0,3)為圓心，2為半徑的圓上的動點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連接OQ.則線段OQ的最大值是()A．3B.eq\f(\r(41),2)C.eq\f(7,2)D．4解析：連接BP，如圖，當(dāng)y＝0時(shí)，eq\f(1,4)x2－4＝0，解得x1＝4，x2＝－4，則A(－4,0)，B(4,0)，∵Q是線段PA的中點(diǎn)，∴OQ為△ABP的中位線．∴OQ＝eq\f(1,2)BP.當(dāng)BP最大時(shí)，OQ最大，而BP過圓心C時(shí)，PB最大，如圖，點(diǎn)P運(yùn)動到P′位置時(shí)，BP最大，∵BC＝eq\r(32＋42)＝5，∴BP′＝5＋2＝7.∴線段OQ的最大值是eq\f(7,2).答案：C17．如圖，⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝8，連接BC.(1)尺規(guī)作圖：作弦CD，使CD＝BC(點(diǎn)D不與B重合)，連接AD；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在(1)所作的圖中，求四邊形ABCD的周長．解：(1)如圖，線段CD即為所求．(2)如圖，連接BD，OC交于點(diǎn)E，設(shè)OE＝x.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(102－82)＝6.∵BC＝CD，∴eq\o(BC,\s\up8(⌒))＝eq\o(CD,\s\up8(⌒)).∴OC⊥BD于E.∴BE＝DE.∵BE2＝BC2－EC2＝OB2－OE2，∴62－(5－x)2＝52－x2，解得x＝eq\f(7,5).∵BE＝DE，BO＝OA，∴AD＝2OE＝eq\f(14,5).∴四邊形ABCD的周長＝6＋6＋10＋eq\f(14,5)＝eq\f(124,5).18．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，D為eq\o(BC,\s\up8(⌒))的中點(diǎn)．過點(diǎn)D作直線AC的垂線，垂足為E，連接OD.(1)求證：∠A＝∠DOB；(2)DE與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．解：(1)證明：如圖，連接OC，∵D為eq\o(BC,\s\up8(⌒))的中點(diǎn)，∴eq\o(CD,\s\up8(⌒))＝eq\o(BD,\s\up8(⌒)).∴∠DOB＝eq\f(1,2)∠BOC.∵∠A＝eq\f(1,2)∠BOC，∴∠A＝∠DOB；(2)DE與⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD.∵DE⊥AE，∴OD⊥DE.∴DE與⊙O相切．19．如圖，BM是以AB為直徑的⊙O的切線，B為切點(diǎn)，BC平分∠ABM，弦CD交AB于點(diǎn)E，DE＝OE.(1)求證：△ACB是等腰直角三角形；(2)求證：OA2＝OE·DC；(3)求tan∠ACD的值．解：(1)證明：∵BM是以AB為直徑的⊙O的切線，∴∠ABM＝90°.∵BC平分∠ABM，∴∠ABC＝eq\f(1,2)∠ABM＝45°.∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠CAB＝∠CBA＝45°.∴AC＝BC.∴△ACB是等腰直角三角形；(2)證明：如圖1，連接OD，OC.圖1∵DE＝EO，DO＝CO，∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD.∴∠EOD＝∠OCD.又∵∠EDO＝∠ODC，∴△EDO∽△ODC.∴eq\f(OD,DC)＝eq\f(DE,DO).∴OD2＝DE·DC.∴OA2＝DE·DC＝EO·DC.(3)如圖2，連接BD，AD，DO，作∠BAF＝∠DBA，交BD于點(diǎn)F，圖2∵DO＝BO，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠AOD＝2∠ODB＝∠EDO.∵∠CAB＝∠CDB＝45°＝∠EDO＋∠ODB＝3∠ODB，∴∠ODB＝15°＝∠OBD.∵∠BAF＝∠DBA＝15°，∴AF＝BF，∠AFD＝30°.∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°.∴AF＝2AD，DF＝eq\r(3)AD.∴BD＝DF＋BF＝eq\r(3)AD＋2AD.∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(1