2023-2024學(xué)年河南省焦作市博愛(ài)縣高三上冊(cè)8月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河南省焦作市博愛(ài)縣高三上冊(cè)8月月考數(shù)學(xué)試題考生注意：1.開(kāi)考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，，若，則（

）A．0 B．1 C． D．2．已知函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則的值是（

）A．1 B． C．0 D．3．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．在四面體中，點(diǎn)在上，且，為的中點(diǎn)，若，則使與共線的的值為A．1 B．2 C． D．5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐側(cè)面積的一半，那么其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為（

）A． B． C． D．6．某大街在甲、乙、丙三處設(shè)有紅綠燈，汽車在這三處遇到綠燈的概率分別是，則汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為（

）A． B． C． D．7．如圖所示，在直二面角中，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，是等腰直角三角形，其中，則點(diǎn)到平面的距離為A． B． C． D．8．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交拋物線于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線交軸于點(diǎn)，若，則A．10 B．8 C．6 D．4二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．已知集合有且僅有兩個(gè)子集，則下列選項(xiàng)中結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若不等式的解集為，則D．若不等式的解集為，且，則10．設(shè)是復(fù)數(shù)，則下列命題中是真命題的是（

）A．若，則是實(shí)數(shù) B．若，則是虛數(shù)C．若是虛數(shù)，則 D．若是純虛數(shù)，則11．已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切 B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離 D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切12．已知函數(shù)，，是其導(dǎo)函數(shù)，恒有，則（

）A． B．C． D．三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13．已知函數(shù)f（x）=lg（x2+2ax-5a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍為14．如圖所示，已知點(diǎn)P為菱形ABCD外一點(diǎn)，且平面ABCD，，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，則二面角的正切值為15．在等差數(shù)列{an}中，a1＝7，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，則d的取值范圍為．16．設(shè)，是函數(shù)（）的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的最小值為．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知函數(shù)，對(duì)任意都有．(1)求的解析式；(2)對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.(1)求角B；(2)若，的平分線交BC于點(diǎn)D，且，求c.19．已知幾何體，如圖所示，其中四邊形、四邊形、四邊形均為正方形，且邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)在棱上.

(1)求證.(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角為?若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.21．規(guī)定，其中，，且，這是組合數(shù)（，且）的一種推廣.（1）求的值.（2）組合數(shù)具有兩個(gè)性質(zhì)：①；②.這兩個(gè)性質(zhì)是否都能推廣到？若能，請(qǐng)寫(xiě)出推廣的形式并給出證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，請(qǐng)求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．C【分析】由兩集合相等，元素完全一樣，則可列出等式，結(jié)合集合中元素滿足互異性即可解出答案.【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或或，又集合中的元素需滿足互異性，所以，則．故選：C.2．A【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)可知，由可知函數(shù)的周期性，從而可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以，由得，，所以所以函數(shù)為周期函數(shù)，周期為6，所以，又，所以.故選：A3．D【分析】先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求解.【詳解】依題意點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，；故選：D.4．A【詳解】，，假設(shè)三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，得，解得.故選：A.5．D【分析】根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)列出等量關(guān)系，進(jìn)而即可求解.【詳解】設(shè)正四棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形底邊上的高為，則由題意可知，，因此有，即，解得，因?yàn)?，所?所以側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為故選：D.6．D【分析】把汽車在三處遇兩次綠燈的事件M分拆成三個(gè)互斥事件的和，再利用互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算得解.【詳解】汽車在甲、乙、丙三處遇綠燈的事件分別記為A，B，C，則，汽車在三處遇兩次綠燈的事件M，則，且，，互斥，而事件A，B，C相互獨(dú)立，則，所以汽車在這三處共遇到兩次綠燈的概率為.故選：D7．B【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，從而，，設(shè)平面的法向量為則，即令，則，為平面的法向量故點(diǎn)到平面的距離故選.8．A【詳解】設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),弦MN的中點(diǎn)為(x0,y0),，，相減可得，可得則，∴MN的垂直平分線為令y=0,則∴∵∴，故選A.9．AB【分析】由題意，方程有且只有一個(gè)根，所以，即，再利用基本不等式和不等式的性質(zhì)，即可求解.【詳解】解：由題意，方程有且只有一個(gè)根，所以，即，對(duì)A：等價(jià)于，顯然，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)B：，故B選項(xiàng)正確；對(duì)C：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D：因?yàn)椴坏仁降慕饧癁椋?，則方程的兩根為，所以，所以，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.10．ABD【分析】設(shè)（），對(duì)于A，對(duì)與討論可判斷A；對(duì)于B，若，可推出，從而可判斷B；對(duì)于C，設(shè)即可判斷C；對(duì)于D，設(shè)（），從而可判斷D.【詳解】解：設(shè)（），則.對(duì)于A，若，則.若,則由可得,此時(shí)，為實(shí)數(shù)；若,則，為實(shí)數(shù).故若，則是實(shí)數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若，則，則，故是虛數(shù)，故B正確；對(duì)于C，若是虛數(shù)，設(shè)，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若是純虛數(shù)，則（），則，故D正確.故選:ABD.11．ABD【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線l上，則即，所以，直線l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.12．AD【分析】由題設(shè)得，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，?gòu)造函數(shù)，，則，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以，即，即，故A正確；因?yàn)?，所以，即，故，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，即，故，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，即，故，故D正確.故選：AD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而構(gòu)造研究單調(diào)性為關(guān)鍵.13．【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝lg（x2+2ax﹣5a）在[2，+∞）上是增函數(shù)，可得：，解得a∈[﹣2，4）．故答案為[﹣2，4）．本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．14．【分析】分析空間幾何體的特征，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求二面角的余弦值，再求正切值﹒【詳解】如圖所示，連接BD，，連接OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz．設(shè)，則．所以，，，．結(jié)合圖形可知，，且為平面BOF的法向量，由，，可求得平面BCF的一個(gè)法向量為．所以，，所以．故15．【分析】根據(jù)數(shù)列最大值的性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵Sn＝7n，當(dāng)且僅當(dāng)n＝8時(shí)Sn取得最大值，∴，即，解得：，綜上：d的取值范圍為．故16．【分析】根據(jù)極值點(diǎn)定義可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同交點(diǎn)；化簡(jiǎn)得到，利用換元法令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出，將參數(shù)分離出來(lái)，構(gòu)造函數(shù)，即可得出.【詳解】，是的兩個(gè)極值點(diǎn)，是的兩根，又當(dāng)時(shí)，方程不成立，即，兩式作比得到:==，所以，令，所以令，則令，則所以在上單調(diào)遞減，所以所以在上單調(diào)遞減，所以令，則恒成立所以在上單調(diào)遞減，即故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)得到函數(shù)的對(duì)稱軸，再利用對(duì)稱軸列方程，求即可；（2）根據(jù)函數(shù)的解析式求出的最大值即可得到的范圍.【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意都有，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，，解得，又，所以，.（2）因?yàn)閷?duì)任意，不等式，所以，因?yàn)?，，所以，所?18．(1)(2)【分析】（1）利用輔助角公式可得，再利用二倍角的正弦公式可得，故可求.（2）利用正弦定理和三角變換公式可得，故可得，再利用正弦定理可求.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所?所以，所以，即.（2）因?yàn)?，所以由正弦定理，?所以，故，而，故，所以，故.

在中，，由正弦定理，得，所以.故19．(1)證明見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線與平面所成的角為【分析】（1）由題意建立空間直角坐標(biāo)系，由證明.（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線面角的向量求法即得.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅?、四邊形、四邊形均為正方形，所以，?以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，.又點(diǎn)M在棱DG上，故可設(shè)，，，，.（2）當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線與平面所成的角為理由如下：假設(shè)存在點(diǎn)，直線與平面所成的角為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由（1）知，，，令，得.因?yàn)橹本€與平面所成的角為，，解得.又，，存在點(diǎn)滿足題意.所以當(dāng)點(diǎn)在上，且時(shí)，直線與平面所成的角為20．（1）；（2）（1）結(jié)合等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)可得，再由前項(xiàng)和公式，即可求解；（2）由（1），再結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求解；【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，，∴，∴，∴.（2）由（1）可知，∴數(shù)列的前項(xiàng)和為，，兩式作差，得，∴.本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題21．（1）；（2），證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意代入計(jì)算可得答案.（2）性質(zhì)①不能推廣，如當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義.性質(zhì)②能推廣，當(dāng)時(shí)，有；時(shí)，運(yùn)用已知的關(guān)系式代入可得證.【詳解】解：（1）由題意得.（2）性質(zhì)①不能推廣，如當(dāng)時(shí)，有意義，但無(wú)意義.性質(zhì)②能推廣，它的推廣形式是.證明如下：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有.綜上，性質(zhì)②的推廣得證.22．(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)橢圓方程為，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解方程組即可；（2）分斜率存在和不存在兩種情況討論，當(dāng)斜