2023-2024學(xué)年福建省連城縣高二上冊10月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省連城縣高二上冊10月月考數(shù)學(xué)模擬試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知等差數(shù)列中各項都不相等，，且，則公差（

）A．1 B． C．2 D．2或2．若數(shù)列是等比數(shù)列，則下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）．A． B． C． D．3．已知直線經(jīng)過點，且直線的一個法向量是，則的方程是（）A． B．C． D．4．設(shè)數(shù)列中，，（且），則（

）A．-1 B． C．2 D．5．過點P(2,3)向圓x2＋y2＝1作兩條切線PA，PB，則弦AB所在直線的方程為()A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝06．在等比數(shù)列中，，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．27．在數(shù)列中，若，，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．8．已知點，點是圓上的動點，點是圓上的動點，則的最大值是A． B．2 C．3 D．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9．若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是，，下列命題是真命題的為（

）A．若，則兩條直線的斜率相等B．若兩條直線的斜率相等，則C．若，則D．若，則10．設(shè)直線的方程，其中，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，則直線的方程為（

）A． B．C． D．11．已知等差數(shù)列的前項和為，等比數(shù)列的前項和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．對任意正整數(shù)，C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列12．設(shè)，過定點A的動直線，和過定點B的動直線交于點P，圓，則下列說法正確的有（

）A．直線過定點(1，3) B．直線與圓C相交最短弦長為2C．動點P的曲線與圓C相交 D．|PA|+|PB|最大值為5第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卷對應(yīng)橫線上）13．記為等比數(shù)列的前項和，若，則14．已知直線，若直線的傾斜角，求實數(shù)的取值范圍15．已知點，動點在線段上運動，求的最大值16．已知在數(shù)列中，，，則．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．已知直線和，試求為何值時，（1）；（2）．18．已知圓，圓的圓心在直線上，且經(jīng)過，兩點.(1)求圓的方程.(2)求經(jīng)過兩圓的交點的圓中面積最小的圓的方程.19．已知，O為坐標(biāo)原點，直線,設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上.(1)若圓心C也在直線上，過點A作圓C的切線，求切線方程;(2)若圓C上存在點M，使，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.20．已知公差為2的等差數(shù)列的前n項和為，且.(1)求的通項公式.(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明.21．已知等比數(shù)列的前n項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若______，求數(shù)列的前n項和.在①，②，③這三個條件中任選一個補充在第（2）問中，并求解.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.22．如圖,為保護河上古橋OA,規(guī)劃建一座新橋BC,同時設(shè)立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求:新橋BC與河岸AB垂直;保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓,且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m.經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60m處,點C位于點O正東方向170m處(OC為河岸),tan∠BCO=.（1）求新橋BC的長;（2）當(dāng)OM多長時,圓形保護區(qū)的面積最大?1．B【分析】利用等差數(shù)列的通項公式表示已知條件，解方程即可求解.【詳解】，且，整理可得，；；.故選：B．2．C【詳解】分析：求出，在A中，不一定是常數(shù)，在B中，可能有零項，在D中，當(dāng)時，數(shù)列存在負(fù)項，此時無意義，只有C項滿足等比數(shù)列的定義，并且公比是原數(shù)列公比的倒數(shù)，從而求得結(jié)果.詳解：因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以，對于A，不一定是常數(shù)，故A不一定是等比數(shù)列；對于B，可能有項為零，故B不一定是等比數(shù)列；對于C，利用等比數(shù)列的定義，可知的公比是數(shù)列公比的倒數(shù)，故C項一定是等比數(shù)列；對于D，當(dāng)時，數(shù)列存在負(fù)項，此時無意義，故D項不符合題意；故選C.點睛：該題考查的是有關(guān)等比數(shù)列的判斷問題，在解題的過程中需要對等比數(shù)列的定義牢牢掌握，再者就是對等比數(shù)列的性質(zhì)要熟記，對等比數(shù)列中的項經(jīng)過什么樣的變換還成等比數(shù)列.3．A【分析】根據(jù)直線的法向量設(shè)出直線方程，再代入點，求出直線方程.【詳解】因為直線的一個法向量是，故可設(shè)方程為，將代入方程得，解得，故的方程為，即.故選：A4．C【分析】通過遞推式求出數(shù)列的周期，然后利用周期性求值即可.【詳解】因為，（且），所以，，，，，，所以數(shù)列是周期為3數(shù)列，所以.故選：C.5．B【詳解】以PO為直徑的圓與圓x2＋y2＝1的公共弦即為所求，兩圓作差可得直線方程為2x＋3y－1＝0.6．A【分析】利用等比數(shù)列的通項公式進行求解即可.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，因為，所以由，因此，故選：A7．A【分析】利用等差中項可得為等差數(shù)列，即得結(jié)論.【詳解】因為，所以，又，，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差，所以，所以.故選：A．8．B【詳解】設(shè)圓圓心為,圓圓心為,則其中為A關(guān)于直線對稱點,所以選B.點睛：與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓上點有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法．①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點和點的直線的斜率的最值問題；②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題．9．BCD【分析】根據(jù)直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，以及平行線的性質(zhì)，依次判斷即可【詳解】選項A，當(dāng)時，，但兩條直線斜率不存在，故A錯誤；選項B，若兩條直線的斜率相等，且兩直線不重合，故，故B正確；選項C，若，由平行線的性質(zhì)，可得，故C正確；選項D，若，由平行線的性質(zhì)，可得，故D正確.故選：BCD10．ABC【分析】根據(jù)截距的概念求出橫截距和縱截距，然后根據(jù)絕對值相等列式求解即可.【詳解】令得，所以直線的縱截距為，令得，所以直線的橫截距為，由題意，所以或，解得或或，所以直線的方程為或或.故選：ABC.11．ABC【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出，利用等差數(shù)列的定義可判斷AC選項；利用基本不等式和等比中項的性質(zhì)可判斷C選項；取可判斷D選項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，.對于A選項，，所以，為等差數(shù)列，A對；對于B選項，對任意的，，由等比中項的性質(zhì)可得，由基本不等式可得，B對；對于C選項，令，所以，，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，C對；對于D選項，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，此時，數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯.故選：ABC.12．ABC【分析】根據(jù)直線過定點的求法求出定點坐標(biāo)即可判斷A；由題意可知當(dāng)時所得弦長最短，由求出進而得到的方程，結(jié)合到直線的距離公式和勾股定理求出弦長即可判斷B；當(dāng)時得到，P在圓C外；當(dāng)時，根據(jù)兩直線方程消去m得到點P的軌跡方程，比較圓心距和兩圓半徑之和的大小即可判斷C；由題可證，設(shè)可得，進而得到，結(jié)合三角函數(shù)的值域即可判斷D.【詳解】A：由，有，所以直線過的定點為，故A正確；B：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心為，半徑，直線過的定點為，當(dāng)時所得弦長最短，則，又，，所以，得，則圓心到直線的距離為，所以弦長為：，故B正確；C：當(dāng)時，，則點，此時點P在圓C外；當(dāng)時，由直線得，代入直線中得點P的方程為圓，得，半徑為，所以圓心距，所以兩圓相交.故C正確；D：由，當(dāng)時，，有，當(dāng)時，，，則，所以，又點P是兩直線的交點，所以，所以，設(shè)，則，因為，所以，所以，故D錯誤.故選：ABC13．##【分析】根據(jù)給定條件，求出公比，再利用等比數(shù)列前n項和公式計算即可.【詳解】令等比數(shù)列的公比為，由，得，解得，所以.故14．【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的之間的關(guān)系，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由直線的方程可知該直線的斜率為，所以有，因為，所以，因此實數(shù)的取值范圍為，故15．3【分析】根據(jù)三點共線可得，再由均值不等式求最值即可.【詳解】由題意可得直線AB的方程為，化簡可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故316．【分析】由構(gòu)造法可得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.【詳解】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，解得．故答案為.17．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)兩直線平行的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可；（2）根據(jù)兩直線垂直的位置關(guān)系建立關(guān)系式求解參數(shù)即可.【詳解】（1）∵直線和，，∴，∴解得，故當(dāng)時，.（2）∵，∴，解得，即時，．18．(1)；(2).【分析】（1）設(shè)出圓的方程，利用待定系數(shù)法求解即可.（2）求出圓與圓的公共弦為直徑的圓方程即可.【詳解】（1）設(shè)圓的方程為：，其圓心坐標(biāo)為，依題意，，解得，所以圓的方程為:.（2）圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，兩圓方程相減得公共弦所在直線的方程為：，直線的方程為，即，過圓與圓的交點的圓中面積最小的圓即是以圓與圓的公共弦為直徑的圓，由，得所求圓的圓心為，又圓心到公共弦所在直線的距離為，因此所求圓的半徑，所以所求圓的方程為.19．(1)或(2).【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程，求出圓心，從而得到圓的方程，考慮過的直線斜率不存在和存在兩種情況，設(shè)出切線方程，由點到直線距離等于半徑列出方程，求出答案；（2）設(shè)圓心為，設(shè)，根據(jù)得到點M的軌跡方程為圓，由題意得到兩圓有交點，從而得到不等式組，求出圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.【詳解】（1）由題得圓心在直線和直線上，則聯(lián)立，解得，即圓心的坐標(biāo)為，故圓的方程為，當(dāng)過的直線斜率不存在時，即，此時與圓不相切，故設(shè)過的圓的切線方程為，即，由直線與圓相切，可得，解得或，故所求切線方程為或.（2）根據(jù)圓心在直線上，可設(shè)圓心為，則圓的方程為.若圓上存在點M，使，設(shè)，∵，∴，整理可得，故點M在以為圓心，2為半徑的圓上，又點M也在圓C上，故圓C和圓D有交點，∴，即，即，解得，即a的取值范圍為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式求出首項，從而求出通項公式；（2）裂項相消法求和證明不等式.【詳解】（1）由題意，得，解得：，故.（2）證明：因為，所以，因為，所以.21．(1)(2)若選①，；若選②，；若選③，【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出等比數(shù)列的公比為，結(jié)合條件求解即可；（2）若選①，則根據(jù)分組求和法求和即可；若選②，根據(jù)裂項相消法求和即可；若選③，根據(jù)錯位相減法進行求和即可.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，則，解得，所以數(shù)列的通項公式.（2）若選①，則，所以.若選②，則，所以.若選③，則所以，則，兩式相減，得則.22．(1)150m(2)|OM|=10m【分析】試題分析：本題是應(yīng)用題，我們可用解析法來解決，為此以為原點，以向東，向北為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系.（1）點坐標(biāo)為，，因此要求的長，就要求得點坐標(biāo)，已知說明直線斜率為，這樣直線方程可立即寫出，又，故斜率也能得出，這樣方程已知，兩條直線的交點的坐標(biāo)隨之而得；（2）實質(zhì)就是圓半徑最大，即線段上哪個點到直線的距離最大，為此設(shè)，由，圓半徑是圓心到直線的距離，而求它的最