DFT信號(hào)頻譜分析

一，實(shí)驗(yàn)名稱(chēng)：DFT的頻譜分析二，實(shí)驗(yàn)?zāi)康模杭由顚?duì)DFT原理的理解，熟悉DFT的性質(zhì)。掌握離散傅里葉變換的有關(guān)性質(zhì)，利用Matlab實(shí)現(xiàn)DFT變換深刻理解利用DFT分析信號(hào)頻譜的原理，分析實(shí)現(xiàn)過(guò)程中出現(xiàn)的現(xiàn)象及解決方法三，實(shí)驗(yàn)原理：所謂信號(hào)的頻譜分析就是計(jì)算信號(hào)的傅里葉變換。連續(xù)信號(hào)與系統(tǒng)的傅里葉分析顯然不便于直接用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，使其應(yīng)用受到限制，而DFT是一種時(shí)域和頻域均離散化的變換，適合數(shù)值運(yùn)算，成為分析離散信號(hào)和系統(tǒng)的有力工具。工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到的連續(xù)信號(hào)Xa(t),其頻譜函數(shù)Xa(jW)也是連續(xù)函數(shù)。數(shù)字計(jì)算機(jī)難于處理，因而我們采用DFT來(lái)對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行逼近，進(jìn)而分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜。離散傅里葉變換是有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換，它相當(dāng)于把信號(hào)的傅里葉變換進(jìn)行等頻率間隔采樣，并且有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換和周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)本質(zhì)是一樣的?？焖俑道锶~變換〔FFT〕并不是一種新的變換，它是離散傅里葉變換的一種快速算法，并且主要是基于這樣的思路而開(kāi)展起來(lái)的：〔1〕把長(zhǎng)度為N的序列的DFT逐次分解成長(zhǎng)度較短的序列的DFT來(lái)計(jì)算?！?〕利用WN(nk)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，在DFT運(yùn)算中適當(dāng)?shù)姆诸?lèi)，以提高運(yùn)算速度?！矊?duì)稱(chēng)性，;周期性，r為任意整數(shù)〕離散傅里葉變換的推導(dǎo)：離散傅里葉級(jí)數(shù)定義為〔1-1〕將上式兩端乘以并對(duì)n在0~N-1求和可得因?yàn)樗赃@樣用k代替m得〔1-2〕令，那么〔1-2〕成為DFS〔1-3〕〔1-1〕成為IDFS〔1-4〕式〔1-3〕、〔1-4〕式構(gòu)成周期序列傅里葉級(jí)數(shù)變換關(guān)系。其中都是周期為N的周期序列，DFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)正變換，IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)反變換。習(xí)慣上，對(duì)于長(zhǎng)為N的周期序列，把0nN-1區(qū)間稱(chēng)為主值區(qū)，把稱(chēng)為的主值序列，同樣也稱(chēng)為的主值序列。由于，對(duì)于周期序列僅有N個(gè)獨(dú)立樣值，對(duì)于任何一個(gè)周期進(jìn)行研究就可以得到它的全部信息。在主值區(qū)研究與是等價(jià)的，因此在主值區(qū)計(jì)算DFS和DFT是相等的，所以DFT計(jì)算公式形式與DFS根本相同。其關(guān)系為，所以離散傅里葉正變換0kN-1離散傅里葉變換(DFT)定義：設(shè)有限長(zhǎng)序列x(n)長(zhǎng)為N〔0nN-1〕，其離散傅里葉變換是一個(gè)長(zhǎng)為N的頻率有限長(zhǎng)序列〔0kN-1〕，其正變換為0kN-1〔〕離散傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是：把有限長(zhǎng)序列當(dāng)做周期序列的主值序列進(jìn)行DFS變換，x(n)、X(k)的長(zhǎng)度均為N，都是N個(gè)獨(dú)立值，因此二者具有的信息量是相等的。x(n)可以唯一確定X(k),X(k)可以唯一確定x(n)。雖然離散傅里葉變換是兩個(gè)有限長(zhǎng)序列之間的變化，但它們是利用DFS關(guān)系推導(dǎo)出來(lái)的，因而隱含著周期性四，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與程序：1，對(duì)離散確定信號(hào)作如下譜分析：截取使成為有限長(zhǎng)序列N()，(長(zhǎng)度N自己選)寫(xiě)程序計(jì)算出的N點(diǎn)DFT,畫(huà)出時(shí)域序列圖xn～n和相應(yīng)的幅頻圖。解：1〕求x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的X(ejw)、X(k)。MATLAB程序：N=10;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,10,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1;stem(w1/pi,abs(Xk),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,10]);x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-1所示。圖1-1x(n)的前10點(diǎn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)2〕將x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)，求N=100點(diǎn)的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=10;n=0:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);N1=100;n1=0:N1-1;x1=[xn(1:10)zeros(1,90)];subplot(3,1,1)stem(n1,x1,'.k');title('時(shí)域序列圖x1');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:2047)/2048;X1=x1*exp(-j*n1'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(X1));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,10]);subplot(3,1,3)Xk=dft(x1,N1);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,10]);x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。圖1-2x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-2所示。由圖可見(jiàn)，x(n)補(bǔ)零至100點(diǎn)，只是改變X(k)的密度，截?cái)嗪瘮?shù)的頻譜混疊作用沒(méi)有改變，這時(shí)的物理分辨率使X(k)仍不能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個(gè)頻率分量。這說(shuō)明，補(bǔ)零僅僅是提高了計(jì)算分辨率，得到的是高密度頻譜，而得不到高分辨率譜。3〕求x(n)的前100點(diǎn)數(shù)據(jù)，求N=100點(diǎn)的X(ejw)、X(k)。MATLAB主要程序如下：N=100;n=0:1:N-1;xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);Xk=dft(xn,N);subplot(3,1,1)stem(n,xn,'.k');title('時(shí)域序列圖xn');xlabel('n');axis([0,100,-2.5,2.5]);w=2*pi*(0:1:2047)/2048;Xw=xn*exp(-j*n'*w);subplot(3,1,2);plot(w/pi,abs(Xw));title('幅頻特性曲線X(ejw)');xlabel('w');axis([0,1,0,50]);subplot(3,1,3);k1=0:1:49;w1=2*pi/100*k1;stem(w1/pi,abs(Xk(1:1:50)),'.k');title('頻域序列圖Xk');xlabel('頻率〔單位：pi〕');axis([0,1,0,50]);100點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)如圖1-3所示圖1-3100點(diǎn)x(n)對(duì)應(yīng)的x(n)、X(ejw)、X(k)由圖可見(jiàn)，截?cái)嗪瘮?shù)的加寬且為周期序列的整數(shù)倍，改變了頻譜混疊作用，提高了物理分辨率，使X(k)能正確分辨w1=0.48π、w2=0.52π這兩個(gè)頻率分量。這說(shuō)明通過(guò)增加數(shù)據(jù)的記錄長(zhǎng)度Tp來(lái)提高物理分辨率可以得到分辨率譜。2，離散序列x(n)=cos(0.48πn)+cos(0.52πn)0≤n≤10時(shí)，用DFT估計(jì)x(n)的頻譜；將x(n)補(bǔ)零加長(zhǎng)到長(zhǎng)度為100點(diǎn)序列用DFT估計(jì)x(n)的頻譜。要求畫(huà)出相應(yīng)波形。0≤n≤100時(shí)，用DFT估計(jì)x(n)的頻譜，并畫(huà)出波形MATLAB程序：n=[0:10];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);y=fft(x);subplot(3,1,1);stem(n,y,'filled');xn=[x,zeros(1,90)]; yn=fft(xn);holdon;nn=[0:100];subplot(3,1,2);stem(nn,yn,'filled');n1=[0:100];x1=cos(0.48*pi*n1)+cos(0.52*pi*n1);y1=fft(x1);subplot(3,1,3);stem(n1,y1,'filled');運(yùn)行結(jié)果：五，實(shí)驗(yàn)結(jié)果思考分析：1，將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的1中(1)(2)(3)的圖，說(shuō)明補(bǔ)零DFT的作用。答：由圖〔1-1〕、〔1-2〕、〔1-3〕可知DFT是有限長(zhǎng)序列的頻譜等間隔采樣所得到的樣本值，這就相當(dāng)于透過(guò)一個(gè)柵欄去觀察原來(lái)信號(hào)的頻譜，因此必然有一些地方被柵欄所遮擋，這些被遮擋的局部就是未被采樣到的局部，這種現(xiàn)象稱(chēng)為柵欄效應(yīng)。如下列圖由于柵欄效應(yīng)總是存在的，因而可能會(huì)使信號(hào)頻率中某些較大的頻率分量由于被“遮擋〞二無(wú)法得到反映。此時(shí)，通常在有限長(zhǎng)序列的尾部增補(bǔ)假設(shè)干個(gè)零值，介意改變?cè)蛄械拈L(zhǎng)度。這樣加長(zhǎng)的序列作DFT時(shí)，由于點(diǎn)數(shù)增加就相當(dāng)于調(diào)整了原來(lái)柵欄的間隙即間隔頻率，可以使得原來(lái)的不到反映的那些較大的頻率分量落在采樣點(diǎn)上而得到反映。但要注意，由于柵欄效應(yīng)，使得被分析的頻譜變得較為稀疏，為此，在采樣樣本序列x(n)后補(bǔ)零，在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度不變的情況下，可以改變頻譜的頻率取樣密度，得到高密度頻譜。2，分析第2題實(shí)驗(yàn)結(jié)果，思考利用DFT計(jì)算頻譜時(shí)如何提高頻譜的分辨率；對(duì)序列補(bǔ)零加長(zhǎng)是否能提高頻譜的分辨率。答：更長(zhǎng)的時(shí)域信號(hào)能夠提供更高的頻域分辨率，因?yàn)橐粋€(gè)N點(diǎn)的時(shí)域信號(hào)能被分解為N/2+1個(gè)余弦信號(hào)和N/2+1個(gè)正弦信號(hào)，N增大那么(N/2+1)也增大，頻域間隔(1/2的時(shí)域采樣頻率)/(N/2+1)減小，所以頻域分辨率提高了。所以利用DFT計(jì)算頻譜時(shí)增加取樣點(diǎn)的長(zhǎng)度范圍可以提高分辨率。補(bǔ)零加長(zhǎng)并不會(huì)改變頻域的間隔，所以不能提高分辨率。六，實(shí)驗(yàn)心得過(guò)該課程設(shè)計(jì)，我們受益匪淺，對(duì)DFT在進(jìn)行頻譜的分析上有了根深刻的理解和掌握。DFT實(shí)現(xiàn)了頻域采樣，同時(shí)DFT存在快速算法FFT，所以在實(shí)際應(yīng)用中，可以利用計(jì)算機(jī)，用DFT來(lái)逼近連續(xù)時(shí)間信號(hào)的