人教B版數(shù)學必修二講義第1章1.21.2.2第2課時平面與平面平行Word版含答案

第2課時平面與平面平行學習目標核心素養(yǎng)1.掌握空間兩個平面的位置關系，并會判斷．(重點)2.掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質定理，并能應用這兩個定理解決問題．(重點)3.平面與平面平行的判定定理和性質定理的應用．(難點)1.通過學習空間兩平面的位置關系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).2.借助兩平面平行的判定與性質的學習，提升邏輯推理、數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).1．兩個平面的位置關系位置關系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行α∥β0個兩平面相交α∩β＝l無數(shù)個點(共線)思考：如何從有無公共點的角度理解兩平面位置關系？[提示]如果兩個平面有一個公共點，那么由基本性質3可知：這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面相互平行．2．平面與平面平行的判定與性質(1)平面與平面平行的判定①文字語言：如果一個平面內有兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．②符號語言：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.③圖形語言：如圖所示．推論：如果一個平面內有兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條直線，那么這兩個平面平行．(2)平面與平面平行的性質定理①文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．②符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.③圖形語言：如圖所示．④作用：證明兩直線平行．(3)三個平面平行的性質兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例．1．已知平面α∥平面β，過平面α內的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a，b的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定A[由面面平行的性質定理可知選項A正確．]2．底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，與平面BB1C1C平行的平面是()A．平面AA1D1D B．平面AA1B1BC．平面DD1C1C D．平面ABCDA[根據(jù)圖形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D1D.]3．過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A1，C1，B的平面與底面ABCD所在的平面的交線為l，則l與A1C1的位置關系是________．平行[由于平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，所以l∥A1C1.]4．下列命題：①兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯誤命題的序號為________．①②[對于①，兩個平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個公共點，故①錯誤；對于②，借助于正方體ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D相交，故②錯誤．]平面與平面間的位置關系【例1】已知下列說法：①若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b；②若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；④若兩個平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面；⑤若兩個平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．其中正確的是________(將你認為正確的序號都填上)．③④[①錯．a與b也可能異面；②錯．a與b也可能平行；③對．∵α∥β，∴α與β無公共點．又∵a?α，b?β，∴a與b無公共點；④對．由已知及③知：a與b無公共點，那么a∥b或a與b異面；⑤錯．a與β也可能平行．]兩個平面的位置關系有兩種：平行和相交，沒有公共點則平行，有公共點則相交．熟練掌握這兩種位置關系，并借助圖形來說明，是解決本題的關鍵．1．如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能確定C[如圖所示，由圖可知C正確．]平面與平面平行的判定【例2】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[解](1)因為G，H分別是A1B1，A1C1的中點，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1.又因為B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點共面．(2)因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC.因為EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因為A1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因為A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因為A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.判定面面平行的常用方法(1)定義法：兩個平面沒有公共點；(2)判定定理：一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面；(3)轉化為線線平行：平面α內的兩條相交直線與平面β內的兩條相交直線分別平行，則α∥β；(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[證明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP?平面PBC，NQ?平面PBC，∴NQ∥平面PBC.∵四邊形ABCD為平行四邊形．∴BC∥AD，∴MQ∥BC.又∵BC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.面面平行的性質定理的應用[探究問題]1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點．你能證明直線EG∥平面BDD1B1嗎？[提示]如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1.∴直線EG∥平面BDD1B1.2．上述問題中，條件不變，請證明平面EFG∥平面BDD1B1.[提示]連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例3】如圖，已知平面α∥β，P?α，且P?β，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝________.[思路探究]面面平行?線線平行?分線段比例相等．eq\f(24,5)[因為AC∩BD＝P，所以經過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).]1．將本例改為：若點P位于平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．[解]與本例同理，可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.2．將本例改為：已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C與D，E，F(xiàn).已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，求AC.[解]由題圖可知eq\f(DE,DF)＝eq\f(AB,AC)?AC＝eq\f(DF,DE)·AB＝eq\f(5,2)×6＝15.應用平面與平面平行性質定理的基本步驟1．本節(jié)課的重點是空間兩平面位置關系的判斷和平面與平面平行的性質定理與判定定理，難點是平面平行的判定定理與性質定理的應用．2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)能夠判斷空間兩個平面的位置關系．(2)平面與平面平行的判定定理．(3)平面與平面平行的性質定理．3．本節(jié)課的易錯點是應用平面與平面平行的判定定理與性質定理進行證明時條件應用不全面致誤.1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)沒有公共點的兩平面平行． ()(2)若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行． ()(3)若一個平面內有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行． ()[答案](1)√(2)×(3)×[提示](1)由平面與平面平行的定義知正確．(2)若兩個平面都平行于同一條直線，兩平面可能平行，也可能相交，故錯誤．(3)兩平面可能相交．2．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，下列推理正確的是()A．若α與β相交，a?α，b?β，則a與b一定相交B．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥bD[A錯誤，a與b，可能平行也可能是異面直線；由平面與平面平行的判定定理知B、C錯誤；由平面與平面平行的性質定理知，D正確．]3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關系是________．CD∥α[因為AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α.]4．