弱空間的內(nèi)插結(jié)果及其應(yīng)用

弱空間的內(nèi)插結(jié)果及其應(yīng)用

1內(nèi)插定理對弱orlcz加入空間的嵌入關(guān)系在不久的將來，作為弱宇宙的補充分析和之前的涇算理論的應(yīng)用，弱宇宙的存在將越來越受到關(guān)注。特別是fe弗里曼和索納討論了wl1空間。威爾斯研究了弱宇宙空間和弱原子分解。許多關(guān)于弱空間的插值結(jié)果被獲得。首先，劉培德引入了弱或中等空間，并對其進行了比較系統(tǒng)的研究。1968年，caioxob首先介紹了m條件。在這項工作中，我們研究了滿足m條件的n-函數(shù)生產(chǎn)的弱or中等空間的插值理論。通過弱硬件條件下的弱原子分解，我們證明了該插值原則也適用于弱或略向空間。從應(yīng)用獲得的插值原則中，我們獲得了滿足一定條件的兩個n-函數(shù)生成的弱或略向空間的嵌入關(guān)系。設(shè)Φ是一個Young函數(shù),即Φ在[0,∞)是凸的和非減的,Φ(0)=0,limx→∞Φ(x)=∞.一個好的Young函數(shù)Φ,稱為N-函數(shù),是一個連續(xù)的Young函數(shù)滿足Φ(x)=0當且僅當x=0,limx→0Φ(x)/x=0;limx→Φ(x)/x==+∞.關(guān)于函數(shù)的進一步的性質(zhì)參見文獻.設(shè)(Ω,∑,P)是完備的概率空間,則Orlicz空間LΦ是滿足EΦ(cf)<∞,對某個c>0的可測函數(shù)的集合,其范數(shù)是E是關(guān)于∑的條件期望.容易驗證LΦ是Banach空間.關(guān)于LΦ的基本理論參見文獻.我們考慮所有可測函數(shù)的集合并且稱wLΦ為弱Orlicz空間.文獻表明wLΦ是一個擬Banach空間.當Φ(t)=tp時,wLΦ=wLp.設(shè)Φ1和Φ2是兩個Young函數(shù).稱Φ1強于Φ2,記作Φ1>Φ2(或Φ2<Φ1),如果對某個常數(shù)a>0和與a有關(guān)非負常數(shù)x0有設(shè)Φ(x)是一個可測函數(shù).稱Φ(x)滿足MΔ(p)條件,記作Φ∈MΔ(p),如果CaJIeXoB在1968年首先介紹了MΔ(p)條件,下面的性質(zhì)是容易驗證的:1)若N-函數(shù)Φ∈MΔ∈則Φ-1∈MΔ(1/p),Φ-1是Φ的反函數(shù).2)Φ0和Φ1是滿足Φ0∈MΔ(p1)和Φ2∈∈MΔ(p1)的N-函數(shù).如果那么Φ也是N一函數(shù),并且.例2?a>1,.應(yīng)該指出,一般情形下,,并且,這里Δ2是指存在常數(shù)c>0,使得Φ(2t)≤cΦ(t),?t>0.2p12p2p2p引理2.1設(shè)Φ1和Φ2是兩個Young函數(shù).1)Φ1<Φ2當且僅當,2)Φ1<Φ2,則,即存在c>0,使得.如果f∈wLΦ2,則?t>0,彐c>0,受約束于Φ2(ct)P(|f|>t)<∞,于是所以.若Φ1<Φ2不成立.可以選擇增加的實數(shù)序列un>0(n=1,2,...),使得令G1,…,Gn,…是G的不交子集,并且.考慮則所以.但Vλ>0,令m/2>1/λ,我們有所以f不屬于,這是一個矛盾.2)Φ1<Φ2,則存在k>0和x0≥0,使得Φ1(x)≤Φ2(kx),x≥x0.令β=Φ1(x0)+1≥1,所以.推論2.2Φ1～Φ2(即Φ1<Φ2并且Φ2<Φ1)當且僅當.引理2.3設(shè)N-函數(shù)Φ(x))∈MΔ(p),則?ε>01)xp-ε<Φ(x)<xp+ε,2)wLp+ε?wLΦ?wLp-ε(“?”表示連續(xù)嵌入).證明由MΔ(p)條件和引理2.1,容易證明.引理2.4設(shè)Φ1和Φ2是兩個N-函數(shù),Φ1∈MΔ(s),Φ2∈MΔ(r).如果T:wLp→wLq是有界的,其中1≤p<s,1≤r<q,那么T:是有界的,即存在常數(shù)c>0,使得證明選擇ε滿足p<s-ε,q>r+ε.由引理2.3所以因為T從到wLq是有界的,,?f∈wLp,于是,定理2.5設(shè)i=0,1,1≤p0<p1,1≤q0<q1,Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔMΔ(qi-δi),其中εi和δi是任意的非負實數(shù)滿足p0+ε0<p1+ε1,1≤q0-δ0<q1-δ1.令如果T從(i=0,1)是有界的,那么T從wLM到wLΦ是有界的,即存在c>0,使得證明容易知道M(x)和Φ(x)都是N-函數(shù),并且滿足M(x)∈MΔ(s),Φ(x)∈MΔ(r)其中而且對上述θ∈(0,1),設(shè)則1≤p<s,1≤r<q.因為T從(i=0,1)是有界的,由Marcinkiewicz內(nèi)插定理,得到T從wLp到wLq是有界的,并且從引理2.4,T:wLM→wLΦ是有界的,而且3kt,f+a1kt,f我們將給出一個類似的弱Orlicz鞅空間內(nèi)插定理.設(shè)(Ω,∑,P)是完備的概率空間,{∑n}n≥0是∑的遞增的子σ-代數(shù)序列,滿足∑=∨∑n.我們用En表示關(guān)于∑n的條件期望.對任意的鞅f=(fn)n≥0,定義Δnf=fn-fn-1,n≥0(f-1=0,∑-1={Ω,Φ}),則極大算子、均方算子、條件均方算子分別定義如下:用Λ表示非負的、遞增的隨機變量序列的集合,其中ρ=(ρn)n≥0∈Λ滿足ρ∞=limn→∞ρn.稱鞅f=(fn)n≥0在Lp中有可料的控制是指存在序列ρ=(ρn)n≥0∈Λ,使得弱Lp空間是所有可測函數(shù)的集合,滿足記作wLp,其中f*(t)=inf{y:P(|f|>y)≤t}(t>0)是f的重排不變函數(shù).和平常一樣,我們定義下面的鞅空間如果在上面的定義中用wLp范數(shù)或者wLφ范數(shù)替換Lp范數(shù),則分別得到弱鞅空間wHp,wQp,wDp或者弱Orlicz鞅空間wHΦ,,wQΦ,wDΦ·設(shè)A0和A1是兩個連續(xù)嵌入一個拓撲空間A中的擬賦范空間.對0<θ<1,0<q≤∞,A0和A1的內(nèi)插空間是可測函數(shù)的集合f∈A0+A1滿足其中K(t,f;A0,A1)=inf{‖f0‖A0+t‖f1‖A1;f=f0+f1,fi∈Ai,i=0,1}現(xiàn)在給出個基本的內(nèi)插結(jié)果.引理3.1設(shè)T是定義在A0+A1上的擬線性算子,是有界的,則對0<θ<1,0<q≤∞,是有界的.通過弱鞅Hardy空間的弱原了分解,我們將給出一個引理,在下面的內(nèi)插定理證明中起到了重要作用.引理3.2設(shè)0<θ<1,,0<p1<p0<∞,則證明設(shè).由文獻中定理2.1,其中(ak)k∈Z是關(guān)于停時(vk)k∈Z的w-1-原子序列.對任意固定的t∈,令y=tα(sf)*(t)α=θ+1/p.對上述y,選擇j∈Z,使得2j≤y<2j+1.因為在{n≤vk}上,所以在集合{vk=∞}上s(ak)=0.另一方面,,于是所以,從而.注意到p1<p<p0,有.這也表明h從而我們得反過來,考慮次線性算子T:f→s(f).那么,T:和T:都是有界的.從文獻中得到由引理3.1有也是有界的.對,∞有引理證畢.注1因為wQp和wDp的弱原子分解也是成立的,所以用wQp或者wDp代替,引理3.2也成立.下面引理的證明類似引理2.4,不再贅述.引理3.3設(shè)Φ1和Φ2是兩個N-函數(shù),Φ1∈MΔ(s),Φ2∈MΔ(r).若T:是有界的,其中11<p<s,1<r,則T:是有界的,即存在c>0,使得定理3.4設(shè)i=0,1,1≤p0<p1,1≤q0<q1,Mj(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(qi+δi),其中εi和δi是任意正實數(shù),滿足p0+ε0<p1+ε1,1≤q0-δ0<q1-δ1.令若T:是有界的,i=0,1,則T從到wLΦ也是有界的,即存在c>0,使得證明類似的,M(x)和Φ(x)都是N-函數(shù),滿足M(x)∈MΔ(s),Φ(x)∈MΔ(r),其中容易看到對上述θ∈(0,1),令則1≤p<s,1≤r<q.對,分別由引理3.2和文獻中定理5.3.1,得到因為T從(i=0,1)是有界的,由引理3.1,T從到wLq是有界的,并且再通過引理3.3,T從到wLΦ是由界的,并且定理證畢.注2如果我們用wQp或者wDp替,那么定理3.4依然成立.推論3.5設(shè)i=0,1,1≤p0<p1,Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(qi+δi),其中εi和δi是任意正實數(shù),滿足p0+ε0<p1+ε1,1≤p0-δ0<p1-δ1.令若T:是有界的,i=0,1,則T從到wLΦ是有界的,即存在c>0,使得通過內(nèi)插定理我們給出弱Orlizc鞅空間的一些嵌入關(guān)系.首先介紹一個引理引理3.6對任意的鞅f=(fn)n≥0,下面的不等式成立:(i)0<p<2,(ⅱ)0<p<∞,定理3.7設(shè)i=0,1.Mi(x)∈MΔ(pi+εi),Φi(x)∈MΔ(pi-δi),其中εi和δi是任意正實數(shù),滿足p0+ε0<p1+ε1,1≤p0-δ0<p1-δ1.令則下面的不等式成立:證明設(shè)f*=Tf.對1≤p0<p1<2,