江蘇省南通市如皋市2024屆高三上學(xué)期9月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市如皋市2024屆高三上學(xué)期9月診斷測(cè)試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.已知集合，定義叫做集合的長(zhǎng)度，若集合的長(zhǎng)度為4，則的長(zhǎng)度為（）A.3 B.4 C.5 D.10〖答案〗D〖解析〗方程的兩根為，的兩根為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則，因?yàn)榈拈L(zhǎng)度為4，所以或，得或，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，，則所以的長(zhǎng)度為10，故選：D.2.設(shè)是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，這里.則下列各數(shù)一定是方程的根的是（）.A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由于是已知方程的一個(gè)根，于是，.也就是說是方程的根.由于實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根成對(duì)出現(xiàn)，故也是①的根.相應(yīng)地，是原方程的根.選B.3.設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗解法一根據(jù)題意，有，其中，令，解得，于是，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為．解法二令，其中，則，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為．解法三根據(jù)題意，有，等號(hào)當(dāng)，且即時(shí)取得，因此所求最大值為．故選：A.4.已知滿足，且在上單調(diào)，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗滿足，，，即，，在上單調(diào)，，即，當(dāng)時(shí)最大，最大值為，故選：B.5.15個(gè)人圍坐在圓桌旁，從中任取4人，他們兩兩互不相鄰的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗15個(gè)人圍坐在圓桌旁從中任取4人，他們兩兩互不相鄰，則可先把11個(gè)人入坐好，再讓其余4人插空，共有種不同的圍坐方法，所以所求概率是，故選A．6.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一（如圖）.給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A① B.② C.①② D.①②③〖答案〗C〖解析〗由得,,,所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.由得,,解得,所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示,易知,四邊形的面積,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于,即“心形”區(qū)域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.7.已知數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減并化簡(jiǎn)得，也符合上式，所以，令，為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)，所以，對(duì)稱軸為，由于對(duì)任意的恒成立，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：A.8.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，即；解法一：?gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，可得，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋瑒t，所以，則，即；解法二：構(gòu)造，則，令，解得，則在上單調(diào)遞減，所以，即，則，可得；綜上所述：.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題9.已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，下列說法正確的是（）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的體積最大值為〖答案〗ABD〖解析〗A.棱長(zhǎng)為2的正四面體的外接球與棱長(zhǎng)為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)為R，則：，所以，所以A對(duì).B.設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，，，，設(shè)正四面體的高為d，由等體積法可得：，所以為定值，所以B對(duì).C.設(shè)中點(diǎn)為D，連接，，則，則為所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值為，所以C錯(cuò).D.要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的外接球在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，由于正四面體的外接球與內(nèi)切球半徑之比為，所以正四面體的外接球半徑為，設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則，所以，故體積，所以D對(duì).故選：ABD10.歷史上著名的伯努利錯(cuò)排問題指的是：一個(gè)人有封不同的信，投入個(gè)對(duì)應(yīng)的不同的信箱，他把每封信都投錯(cuò)了信箱，投錯(cuò)的方法數(shù)為例如兩封信都投錯(cuò)有種方法，三封信都投錯(cuò)有種方法，通過推理可得：.高等數(shù)學(xué)給出了泰勒公式：，則下列說法正確的是（）A.B.為等比數(shù)列C.D.信封均被投錯(cuò)概率大于〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)封信分別為，，，，當(dāng)在第二個(gè)信箱時(shí)，有，，共種錯(cuò)投方式，同理可得在第與第個(gè)信箱時(shí)，也分別有種錯(cuò)投方式，故共有種錯(cuò)投方式，所以，故A正確；因?yàn)?，所以，又，所以為等比?shù)列，首項(xiàng)為，公比為，故B正確；所以，所以，因?yàn)?，所以時(shí)，，故C正確；裝錯(cuò)信封的概率為，，則，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，綜上所述：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.下述正確的是（）A.若，則的最大值是25B.若，則的最大值是C.若，則的最小值是4D.若，則的最小值是12〖答案〗ABD〖解析〗選項(xiàng)A，或時(shí)，，因此最大值在時(shí)取得，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；選項(xiàng)B，，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以，最大值為，B正確；選項(xiàng)C，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，由于等號(hào)不成立，C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，在即時(shí)，取得最小值0，綜上，即時(shí)，取得最小值，D正確．故選：ABD．12.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的，已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是B.的取值范圍是C.面積的最大值為D.的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗設(shè)點(diǎn)，依題意，，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解不等式得：，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，則，顯然，因此，B正確；對(duì)于C，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在以線段MN為直徑的圓上，由解得，所以面積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上，當(dāng)點(diǎn)P為此點(diǎn)時(shí)，，D錯(cuò)誤.故選：BC.三?填空題13.設(shè)等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為___________．〖答案〗〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得，，解得.所以，于是當(dāng)或時(shí)，取得最大值.14.已知的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，若，則________．〖答案〗〖解析〗由的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為128，則，∴．設(shè)，則，則，∴，，∴．故〖答案〗為：15.已知平面直角坐標(biāo)系中向量的旋轉(zhuǎn)和復(fù)數(shù)有關(guān)，對(duì)于任意向量，對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)，向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得到復(fù)數(shù)，于是對(duì)應(yīng)向量．這就是向量的旋轉(zhuǎn)公式．已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是，根據(jù)此公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．（任寫一個(gè)即可）〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，則，從而對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，若由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因此，解得，則的坐標(biāo)是；若由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，因此，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．故〖答案〗為：（或）16.定義：如果函數(shù)在上存在，滿足，則稱數(shù)，為上的“對(duì)望數(shù)”，函數(shù)為上的“對(duì)望函數(shù)”，給出下列四個(gè)命題：(1)二次函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對(duì)望函數(shù)”；(2)函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”；(3)函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”；(4)為上的“對(duì)望函數(shù)”，則在上不單調(diào)；其中正確命題的序號(hào)為__________(填上所有正確命題的序號(hào))〖答案〗(1)(2)(3)〖解析〗(1)二次函數(shù)導(dǎo)函數(shù)是一次函數(shù)，在上不可能存在，滿足，故二次函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對(duì)望函數(shù)”正確；(2)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，，令，解得：且，故函數(shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”正確；(3)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，，令，因?yàn)閮山?；即函?shù)是上的“對(duì)望函數(shù)”，正確；(4)為上的“對(duì)望函數(shù)”，函數(shù)在上單調(diào)，不正確.故正確命題的序號(hào)為(1)(2)(3).四?解答題17.在中，角所對(duì)的邊分別為.已知.（1）求角；（2）求的值.解：（1）因?yàn)椋?，故，所?因?yàn)?，所以因?yàn)?，所?（2）由正弦定理，得，解得.因?yàn)?，所以，所?所以，所以18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，數(shù)列滿足，，，都有．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）解：因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，即，又因?yàn)?，則，滿足，所以，數(shù)列為常數(shù)列，故，則，因?yàn)閿?shù)列滿足，，，都有，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則（2）解：因?yàn)棰伲寓?，由①②得，所?又，所以不等式，即為，即恒成立，構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，則滿足條件；當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)性質(zhì)知不恒成立；當(dāng)時(shí)，由于，則在上單調(diào)遞減，則恒成立，則滿足條件，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19.已知底面是正方形，平面，，，點(diǎn)、分別為線段、的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，說明理由．（1）證明：因?yàn)榈酌媸钦叫危移矫?，所以兩兩互相垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，，又平面，所以平面.（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，當(dāng)，可取，假設(shè)存在點(diǎn)，，設(shè)，所以，所以，得，所以，得，解得或，所以或20.為豐富學(xué)生課外生活，某市組織了高中生鋼筆書法比賽，比賽分兩個(gè)階段進(jìn)行：第一階段由評(píng)委為所有參賽作品評(píng)分，并確定優(yōu)勝者；第二階段為附加賽，參賽人員及獲獎(jiǎng)情況由組委會(huì)按規(guī)則另行確定，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)員對(duì)第一階段的分?jǐn)?shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，這些分?jǐn)?shù)X都在區(qū)間內(nèi)，記，以5為組距得出的分布如下：XY當(dāng)時(shí)，若，其中，則.（1）求k的值；（2）組委會(huì)確定：在第一階段比賽中低于85分的學(xué)生無(wú)緣獲獎(jiǎng)也不能參加附加賽；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生評(píng)為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生評(píng)為二等獎(jiǎng)，且通過附加賽每人有的概率提升為一等獎(jiǎng)；分?jǐn)?shù)在內(nèi)的學(xué)生評(píng)為三等獎(jiǎng)，且通過附加賽每人有的概率提升為二等獎(jiǎng)（所有參加附加賽的獲獎(jiǎng)學(xué)生均不降低獲獎(jiǎng)等級(jí)，且附加賽獲獎(jiǎng)等級(jí)在第一階段獲獎(jiǎng)等級(jí)基礎(chǔ)上，最多升高一級(jí)）.設(shè)參加附加賽的學(xué)生獲獎(jiǎng)提升情況互相獨(dú)立.在所有最初參賽學(xué)生中隨機(jī)選擇一名學(xué)生A.①求學(xué)生A最終能獲得一等獎(jiǎng)的概率；②已知學(xué)生B在第一階段獲得二等獎(jiǎng)，求學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生B最終獲獎(jiǎng)等級(jí)的概率.（1）解：根據(jù)題意，由，解得.（2）解：①由于參賽學(xué)生很多，可以把頻率視為概率.由（1）知，學(xué)生A的分?jǐn)?shù)屬于區(qū)間的概率分別是：.故學(xué)生A最終獲得一等獎(jiǎng)的概率是②我們用符號(hào)（或）表示學(xué)生A（或B）在第一輪獲獎(jiǎng)等級(jí)為i，通過附加賽最終獲獎(jiǎng)等級(jí)為j的概率，其中記“學(xué)生A最終獲獎(jiǎng)等級(jí)不低于學(xué)生B的最終獲獎(jiǎng)等級(jí)”為事件W，由事件的互斥性和獨(dú)立性，可得：.21.已知橢圓的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）過A點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，與橢圓交于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.解：