一元一次方程的概念和解法同步輔導(dǎo)(含答案)-

一元一次方程解法和應(yīng)用一、知識點復(fù)習(xí)：1.用方程解決問題，有以下幾個步驟：設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程。通常求什么，就設(shè)什么為未知數(shù)．有些問題也可以間接地設(shè)未知數(shù)，求出這個未知數(shù)后，再利用它解出要求的未知數(shù)．未知數(shù)通常用x，也可以用字母表靠后的字母，如y、z等．列方程就是找出未知數(shù)和數(shù)之間的等量關(guān)系，建立等式．2.解方程的方法和技巧的依據(jù)就是等式的根本性質(zhì)：〔1〕等式的兩邊都加上〔或減去〕同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式．〔2〕等式的兩邊都乘同一個數(shù)〔或除以同一個不為0的數(shù)〕，所得結(jié)果仍是等式．如：解方程．解：兩邊都乘12，得．兩邊都減去1，得．兩邊都除以9，得．解這個方程的過程讓我們看到，解方程的過程，實際上就是把方程式不斷化簡的過程3．解方程解方程的步驟的依據(jù)就是等式的根本性質(zhì)．“等式的兩邊都加上〔或減去〕同一個代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式．〞具體操作起來又叫做移項，即把原方程中的一項改變符號后，從方程的一邊移到的另一邊．如，將方程6x+3=9中左邊的+3改變符號為-3，移到右邊得6x=9-3，即6x=6．再如，將方程6x=9x+3中右邊9x的改變符號為-9x，移到左邊得-9x+6x=3，即-3x=3．注意：移項要變號．解方程的過程，實際上就是把方程式不斷化簡的過程，一直把方程化為〔a是一個數(shù)〕．那么解方程應(yīng)該有哪些步驟呢？4.解方程的主要步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、未知數(shù)的系數(shù)化為1，把一個一元一次方程化為〔a是一個數(shù)〕的形式．如解方程．解：去分母，得 ．去括號，得 ．移項，得 ．合并同類項，得 ．方程兩邊都除以4，得．上述主要步驟，不一定解每個方程都會用到每一個步驟，也不一定必按上述次序，總的原那么是化簡，怎么樣能更好地化簡，就怎么做．【課堂練習(xí)】1.移項要。2.它們或者不含分母，或者分母中不含未知數(shù)，將它們經(jīng)過去分母，去、，合并等變形后，能轉(zhuǎn)化為最簡形式ax=b〔a≠0〕，它只含，并且未知數(shù)的次數(shù)是，系數(shù)不等，我們把這一類方程叫做。3.解一元一次方程的步驟是：去分母，，，，系數(shù)化成1。4.方程ax＋b=0〔其中x是未知數(shù)，a、b是數(shù)；并且a≠0〕叫做，這里a是未知數(shù)的；b是常數(shù)項，習(xí)慣上與ax寫在方程的左邊。二、例題講解例1以下方程中，一元一次方程的個數(shù)有〔〕〔1〕x=5〔2〕3x－2y=0〔3〕5x2－2=0〔4〕3x2=3(x2－2x)〔5〕=9〔6〕4x＋2=3x－(2－x)(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個指示思路：根據(jù)一元一次方程的概念：不含分母或者分母中不含未知數(shù)的方程經(jīng)過適當變形后，能化成最簡形式ax=b〔a≠0〕，它只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0，這一類方程叫一元一次方程。由此可知：〔1〕、〔4〕符合條件，故應(yīng)選〔B〕。例2解以下方程，并寫出檢驗過程：〔1〕6x－13=－1〔2〕10x＋1=14x－3指示思路：〔1〕移項，得6x=－1＋13合并同類項，得6x=12系數(shù)化成1，得x=2檢驗：把x=2代入方程，左邊=6×2－13=－1，右邊=－1∵左邊=右邊∴x=2是原方程的根。〔2〕移項，得10x－14x=－3－1合并同類項，得－4x=－4系數(shù)化成1，得x=1本例也可這樣求解：移項，得1＋3=14x－10x合并同類項，得4=4x系數(shù)化成1，得1=x即x=1檢驗：把x=1代入方程左邊=10×1＋1=11右邊=14×1－3=11∵左邊=右邊∴x=1為原方程的解。例3解方程：8y－(8－2y)=3y＋2(4y＋7)指示思路：方程中有括號，應(yīng)設(shè)法先去括號求解。去括號，得8y－8＋2y=3y＋8y＋14移項，得8y＋2y－3y－8y=14＋8合并同類項，得－y=22系數(shù)化成1，得y=－22去分母去括號時，不要漏掉乘括號中的項，并且要注意括號的符號；－y=22不是方程的解，必須把y的系數(shù)化成1，才能完成解方程的過程，解方程，去括號后可先把左，右兩邊合并同類項，化簡后再移項，再合并同類項，這樣較簡便，如8y－8＋2y=3y＋8y＋14合并同類項，得10y－8=11y＋14移項，得10y－11y=14＋8合并同類項，得－y=22系數(shù)化成1，得y=－22例4解方程：指示思路：方程中含有分母，應(yīng)注意的地方有：〔1〕確定分母的最小公倍數(shù)是30；〔2〕不能漏乘不含分母的項；〔3〕方程中的三個分子在去分母后都應(yīng)加上括號。去分母，得：，即6(x－2)－10(2x－5)=3(x＋3)－90去括號，得6x－12－20x＋50=3x＋9－90移項，得6x－20x－3x=9－90＋12－50合并同類項，得－17x=－119系數(shù)化成1，得x=7去分母時，為防止漏乘，初學(xué)時應(yīng)寫上開頭的第一步，熟練后可省去。從上例可以看出，分數(shù)線有兩層意義，一方面它是除號〔包含“除〞與“比〞的意義〕，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時應(yīng)將分子用括號括括上。例5解方程：提示思路：方程中的分子，分母均含有小數(shù)，直接去分母比擬麻煩，可先用分數(shù)的根本性質(zhì)，化成整數(shù)，然后再去分母。原方程可化為：去分母，得29×15－12(t＋3)=45t－5(4t－28)去括號，移項及合并同類項，得37t=259系數(shù)化成1，得t=7例6解方程：提示思路：此方程含有繁分式，應(yīng)用分數(shù)的根本性質(zhì)將繁分式化簡后，再確定最正確解法。原方程可化為：即亦即去分母，得144－4(2x－1)=18x－(25x－10)去括號，移項，合并同類項，得x=138由上觀之，解一元一次方程的五個步驟不一定要按照它的程序一定不變，要因題而異，靈活運用。如本例，先進行繁分式的化簡，再去分母等。對本例也可逐一去掉分母的解法。都可到達予期的效果。當?shù)竭_解一元一次方程十分得心應(yīng)手時，解方程的步驟便可不寫出來。例題精講2：例1根據(jù)題意列方程：小兵今年13歲，小軍的年齡的3倍比小兵年齡的2倍多10歲，求小軍的年齡．解：設(shè)小軍的年齡為x歲，小軍的年齡的3倍為3x，根據(jù)題意，得3x-2×13=10，即3x-26=10．說明：一定要弄清，誰比誰多10歲．例2用一根長為80厘米的鐵絲做成一個長方形的方框，長是寬的3倍，求它的寬．解：設(shè)長方形的寬為x厘米，那么它的長是3x厘米，根據(jù)題意，得2〔x+3x〕=80．例3解方程．解：去括號，得．合并同類項，得．移項，得．合并同類項，得．兩邊都乘-1，得說明：〔1〕移項時，通常把含有未知數(shù)的項移到一邊，把不含未知數(shù)的項移到另一邊；〔2〕本例中，為了化簡的方便，兩次合并同類項．例4解方程．解：去分母，得．去括號，得．移項、合并同類項，得到3=18x．兩邊都除以18，得，即．說明：〔1〕要特別注意，去分母時，是兩邊都乘同一個數(shù)，不含有發(fā)母的項也要乘；〔2〕本例移項時，將含有未知數(shù)的項移到方程的右邊，是為了使未知數(shù)的系數(shù)是正數(shù)．例5解方程．解：兩邊都乘6，得．移項、合并同類項，得．兩邊都乘4，得．移項、合并同類項，得．兩邊都乘3，得．移項、合并同類項，得．兩邊都乘2，得x=8．【課后練習(xí)1】1.解方程：〔1〕〔2〕〔3〕2.解關(guān)于x的方程：〔a≠b〕3.〔1〕試用x的代數(shù)式表示y；〔2〕試用y的代數(shù)式表示x；【課后練習(xí)2】1.甲、乙兩個同時從相距65千米的A、B兩地相向而行，甲的速度為17.5千米/時，乙的速度為15千米/時，經(jīng)過幾小時，甲、乙兩人相距32.5千米？2.A、B兩地相距24.5千米，甲以16.5千米/時的速度從A地出發(fā)，乙以9千米/時的速度從B地出發(fā)，兩人同時同向而行〔開始時甲在乙的后面〕，問經(jīng)過多少小時，兩人相距14千米？3.甲騎摩托車，每小時行40km。乙騎腳踏車，每小時行20km，上午七時他們從相距140千米的A、B兩地同時出發(fā)。(1)相向而行，在什么時刻他們相距20km?(2)同向而行，在什么時刻他們相距20km？【課后練習(xí)1】1.〔1〕由原方程變形，得：去分母，得〔20x－5〕－3(60x－4)=5(12－10x)去括號，得20x－5－180x＋12=60－50x移項，得20x－180x＋50x=60＋5－12合并同類項，得－110x=53系數(shù)化成1，得x=〔2〕去括號，得移項合并同類項，得系數(shù)化成1，得〔3〕由原方程，得即去分母，得x－6=6x－(1－x)－[4x－(2x＋3)]去括號，得x－6=6x－1＋x－[4x－2x－3]x－6=7x－1－2x＋3合并同類項，得x－6=5x＋2移項，合并同類項，得－8=4x系數(shù)化為1，得－2=x即x=－22.移項，得去分母，得bx－ax=－－ (b－a)x=－(＋)∵a≠b∴b－a≠0系數(shù)化成1，得3.〔1〕去分母，得3〔x－y〕－4(x＋2y)=－12去括號，得3x－3y－4x－8y=－12移項，得3x－4x＋12=3y＋8y合并同類項，得12－x=11y系數(shù)化成1，得〔2〕同〔1〕可求：12－x=11y，即12－11y=x故x=12－11y【課后練習(xí)2】1.設(shè)經(jīng)過x小時，甲、乙兩人相距32.5km依題意，本例應(yīng)分兩種情況；相遇前相距32.5km，相遇后相距32.5km，于是有：〔一〕相遇前相距32.5km時，那么 17.5x＋15x=65－32.5解這個方程，得x=1〔二〕相遇后相32.5km時，那么 17.5x＋15x=65＋32.5解這個方程，得x=3答：經(jīng)過1小時或3小時，甲、乙兩人相距32.5km。2.設(shè)經(jīng)過x小時，兩人相距14km，據(jù)題意，兩人從A、B兩地同向而行，因之，應(yīng)有兩種情況；甲沒有追上乙而相距14km；甲追上乙而超過乙而相距14km，那么有〔一〕甲沒有追上乙而相距14km時，那么 16x－9x=24.5－14解這個方程，得x=1.5〔二〕甲追上乙而后超過乙而相距14km時，那么 16x－9x=24.5＋14解這個方程，得x=5.5答：經(jīng)過1.5小時或5.5小時兩人相距14km。3.設(shè)經(jīng)過x小時他們相距20km，據(jù)題意：〔一〕相向而行，應(yīng)分兩種情況：〔i〕相遇前他們相距20km，那么 40x＋20x=140－20解這個方程，得