2021年上海中考數(shù)學(xué)母題講次16 銳角的三角比（教師版）

專題16銳角的三角比

母題揭秘中考四大考點(diǎn)：

1、銳角三角比的意義，特殊的銳角三角比的比值代數(shù)運(yùn)算問題；

2、解直角三角形，利用勾股定理和銳角三角比相互結(jié)合解直角三角形；

3、實(shí)際問題：測量問題、航海問題、坡度問題、方案設(shè)計(jì)問題等；

4、數(shù)學(xué)模型相互滲透問題：與四邊形結(jié)合、與相似形結(jié)合、與圓結(jié)合、與函數(shù)結(jié)合等綜合問題。

母題呈現(xiàn)

【母題來源1］（2020?上海中考真題）如圖，在山1BC中，AB=4,BC=1,匚8=60。，點(diǎn)。在邊8。上，CD=3,

聯(lián)結(jié)/D如果將口”。。沿直線翻折后，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,那么點(diǎn)￡到直線8。的距離為.

【答案】巫.

2

【解析】

過E點(diǎn)作EHOBC于H,證明ABD是等邊三角形，進(jìn)而求得「ADC=120。,再由折疊得到ADE=CADC=120°,

進(jìn)而求出口｝＜口￡=60。，最后在RtEHED中使用三角函數(shù)即可求出HE的長.

解：如圖，過點(diǎn)E作相口8。于

B

口BC=7,CZ>3,

BD=BC?CD=4,

□AB=4=BD,DB=60°,

4BD是等邊三角形,

口408=60。,

UADC=nADE=120°f

EDH=60。,

□EHBC,□□￡//D=90°.

DE=DC=3,

EH=DExsinUHDE=3x且=2^,

22

□￡到直線BD的距離為迪.

2

3

【母題來源2］（2018?上海中考真題）如圖，已知DABC中，AB=BC=5ntanlABC=-□

4

□1）求邊AC的長;

AD

□2）設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D,求黑的值.

DB

B

【解析】

(1)過A作AEE2BC,在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可；

□2)由DF垂直平分BC,求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股定理求

出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求.

解：口山如圖，過點(diǎn)A作AEUBC」

3

在Rt:ABE中，tanABC=—=-DAB=5H

BE4

□AE=3UBE=4l

□CE=BCCBE=5C4=in

在RtUAEC中，根據(jù)勾股定理得：AC=J^J=而口

□2"DF垂直平分BCO

5

□BD=CDJBF=CF=-□

2

DF3

□tanDBF=---=—□

BF4

15

□DF=—□

在RtUBFD中，根據(jù)勾股定理得：BD=J-+—=—L

2515

□AD=5D——=—□

88

【母題來源3］（2017?上海中考真題）我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形（n為整數(shù)，n>4）的最短對角線與最長對角

線長度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特征值”，記為入“那么乂=—.

【答案】趙

【解析】

解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE、CF交于點(diǎn)O,連接EC.

易知BE是正六邊形最長的對角線，EC的正六邊形的最短的對角線,

□□OBC是等邊三角形

□□OBC=LiOCB=LBOC=60°,

□OE=OC

□□OEC=DOCE,

□□BOC=OOEC+QOCE

□□OEC=UOCE=30°

□□BCE=90°,

BEC是直角三角形

.統(tǒng)加

□—=cos3(r=業(yè)，

.醒鬟

S.

母題揭秘

考點(diǎn)一、銳角三角比的概念

如圖所示，在Rt匚ABC中，口?=90。，DA所對的邊BC記為a,叫做1A的對邊，也叫做二B的鄰邊,

□B所對的邊AC記為b,叫做UB的對邊，也是UA的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

乙帕勺對邊a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做「A的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊

.NA的鄰邊b

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做UA的余弦，記作cosA,即nncosA=’『'；

即忸1)4=幺騏當(dāng)=@；

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做DA的正切，記作tanA,

乙曲勺鄰邊b

的對邊々c5，制警tan'，嗎當(dāng)，

同理sin3=

斜邊c斜邊c/砌鄰邊a

知識(shí)要點(diǎn)：

(1)銳角的正弦、余弦、正切是在直角三角形中定義的，反映了直角三角形邊與角的關(guān)系，是兩條線段

的比值.角的度數(shù)確定時(shí)，其比值不變，角的度數(shù)變化時(shí)，比值也隨之變化.

(2)sinA,cosA,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào)，是一個(gè)整體，不能寫成仇”?工，三

三，不能理解成sin與NA,cos與NA,tan與/A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略/A的角的記號(hào)“N”,

但對三個(gè)大寫字母表示成的角（如/AEF）,其正切應(yīng)寫成“tanNAEF"，不能寫成“tanAEF"；另外，‘三、

.■f.：r需產(chǎn)

--------n—*,tv———

一廣一!、廠一常與成1-^、---、----

（3）任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角比值，不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.

（4）由銳角三角比的定義知：

當(dāng)角度在0°<NA<90。之間變化時(shí)，^tanA>0.

考點(diǎn)二、特殊角的三角比的比值

利用銳角三角比的定義，可求出0。、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，歸納如下:

0°30°45°60°90°

三角函缸

V2

sina0旦1

~2T2

422

cosa10

227

tana0叵173不存在

3

知識(shí)要點(diǎn)：

（1）通過該表可以方便地知道0°、30。、45。、60。、90。角的各三角比的比值，它的另一個(gè)應(yīng)用就是：如果

知道了一個(gè)銳角的三角比的比值，就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù)，例如：若庭〉二=,則銳角.二.

（2）仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn)：

sinO。、：三、三、三、sin90°的值依次為。、二、，二、二、1,而cosO°、二、

三？三？cos90°的值的順序正好相反，三、三;、三;的值依次增大，其變化規(guī)律

可以總結(jié)為：

當(dāng)角度在0OVNAV90。之間變化時(shí)，

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?/p>

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?

考點(diǎn)三、銳角三角比之間的關(guān)系

如圖所示，在RSABC中，ZC=90°.

(1)互余關(guān)系：I[口—^^~T，/

(2)平方關(guān)系：A?

:—:、、'、

⑶倒數(shù)關(guān)系：一|或廣)|]v三卜

(4)商數(shù)關(guān)系：，">

母題呈現(xiàn)

3

【母題來源4](2018?上海中考真題)如圖，已知E3ABC中，AB=BC=5DtanDABC=-□

4

□1)求邊AC的長;

An

□2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D,求黑的值.

DB

…”,I—AD3

【答案】□1DAC=V1O0020——=-□

BD5

【解析】

(1)過A作AEDBC,在直角三角形ABE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC的長即可;

BC

(2)由DF垂直平分BC,求出BF的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，利用勾股

定理求出BD的長，進(jìn)而求出AD的長，即可求出所求.

解：U1LJ如圖，過點(diǎn)A作AEUBC.

在RtlABE中，tan匚ABC=—=--□AB=5^

BE4

□AE=3DBE=4Q

□CE=BCDBE=5C4=in

在RtEJAEC中，根據(jù)勾股定理得:AC=732+l2=ViOQ

□2EJEIDF垂直平分BCD

5

□BD=CD0BF=CF=-0

2

DF3

□tanDDBF=-----=—□

BF4

15

□DF=——□

8

在RtrBFD中，根據(jù)勾股定理得:

2515

口AD=5U—=—

88

AD3

貝!!---——□

BD5

上

BFEC

【母題來源5］（2019?上海中考真題）如圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備

箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60。時(shí)，箱蓋ADE落在

ADE的位置（如圖2所示）.已知AD=90厘米，DE=30厘米，EC=40厘米.

（1）求點(diǎn)D到BC的距離;

（2）求E、F兩點(diǎn)的距離.

【答案】（1）點(diǎn)D，到BC的距離是（456+70）厘米；（2）E、E，兩點(diǎn)的距離是30廂厘米。

【解析】

（1）過點(diǎn)D作DH口BC,垂足為點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F,利用矩形的性質(zhì)得到DAFD=IBHD'=90°,再解直

角三角形即可解答

（2）連接AE、AE\EE',得出DAEE是等邊三角形，利用勾股定理得出AE,即可解答

解：

過點(diǎn)D作DHDBC,垂足為點(diǎn)H,交AD于點(diǎn)F.

由題意，得AD』AD=90（厘米），IDAD'=60°.

匚四邊形ABCD是矩形，DADDBC,□□AFD'=DBHD'=90°.

在RtUAD'F中，D'F=AD'sinLDAD'=90xsin600=45ji（厘米）.

又匚CE=40（厘米），DE=30（厘米），：2FH=DC=DE+CE=7O（厘米）、

D'H=D'F+FH=（45右+70）（厘米）.

答：點(diǎn)D倒BC的距離是（456+70）厘米.

（2）連接AE、AE\EE，.由題意，得AE，=AE,CEAE'=60°.

□匚AEE，是等邊三角形

EE'=AE,

四邊形ABCD是矩形，

□CADE=90°

在READE中，AD=90（厘米），DE=30（厘米）：

□AE=^ALf+DE2=A/9O2+3O2=3OV1O（厘米）

□EE'-3OV1O（厘米）.

答：E、E，兩點(diǎn)的距離是30西厘米。

【母題來源6】（2017?上海中考真題）如圖，一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是UABC,水平橫梁BC長18米，中柱

AD高6米，其中D是BC的中點(diǎn)，且ADBC口

□1）求sinB的值；

2）現(xiàn)需要加裝支架DEE3EF,其中點(diǎn)E在ABEBED2AE,且EF「BC,垂足為點(diǎn)F,求支架DE的長.

【答案】DlOsinBL^11JU2UDED5D

13

【解析】

(1)在RtABD中，利用勾股定理求出AB,再根據(jù)sinB=——計(jì)算即可；

A.B

EFBFBE2

(2)由EFUAD,BE=2AE,可得——=——=——=一,求出EF、DF即可利用勾股定理解決問題;

ADBDBA3

解：

(1)在Rt匚ABD中，DBD=DC=9,AD=6,

i----------------,----------f—AD62A/13

匚AB=JBlf+AD2也2+6?=3713.DsinB=—=^-j^=——.

EFBFBE2EFBF2

(2)DEFAD,BE=2AE,匚——=——=——=一，0——=——=一，QEF=4,BF=6,

ADBDBA3693

匚DF=3,在RtEJDEF中，DE={EF?+DF?="+3?=5.

母題褐秘

考點(diǎn)四、解直角三角形

在直角三角形中，由己知元素（直角除外）求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個(gè)元素，即三條邊和兩個(gè)銳角.

設(shè)在Rt^ABC中，ZC=90°,NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c,則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2（勾股定理）.

②銳角之間的關(guān)系：ZA+ZB=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

sin5=—,cosB=—,tanB=—.

④,h為斜邊上的高.

知識(shí)要點(diǎn)：

（1）直角三角形中有一個(gè)元素為定值（直角為90°）,是已知的值.

（2）這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系（如不等關(guān)系）.

（3）對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.

考點(diǎn)五、解直角三角形的常見類型及解法

..11：--O已知條件解法步驟

由tan工=士求NA,

b

兩直角邊（a,b）

ZB=90°-ZA,

c-+/

兩

邊

RtAABC

由sin4=3求NA,

\

\c

\

\斜邊，一直角邊（如c,a）

/ZB=90°-ZA,

/

/

b=Jd

ZB=90°-ZA,

銳角、鄰邊

b

（如/A,b）c=-------

邊一直角邊a=8?tan工，cos/

和一銳角

角銳角、對邊ZB=90°-ZA,

（如NA,a）

sinA,莊

ZB=90°-ZA,

斜邊、銳角(如c,ZA)

知識(shí)要點(diǎn)：

1.在遇到解直角三角形的實(shí)際問題時(shí)，最好是先畫出一個(gè)直角三角形的草圖，按題意標(biāo)明哪些元素是

已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進(jìn)行計(jì)算.

2.若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個(gè)條件為邊.

考點(diǎn)六、解直角三角形的應(yīng)用

解直角三角形的知識(shí)應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某--------------、

些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)T\

v=htl

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念,IT

然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題

轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系眼睛

解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.視線

拓展：

在用直角三角形知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母震表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離斗勺比叫做坡度，用字母i表示，則/〉=,如圖,

坡度通常寫成i=也:一的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角,

如圖.

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA,

PB,PC的方位角分別為是40。，135。，245°.

1=2I

[=“：

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方

向線OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30。，南偏東45。，南偏西80。，北偏西60。.特別如：東

南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏

西45°.

知識(shí)要點(diǎn)：

1.解直角三角形實(shí)際是用三角知識(shí)，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫

出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

例如：

3.解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖,

進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.

母題呈現(xiàn)

【母題來源7](2019?上海中考真題)如圖1,AD、BD分別是IZABC的內(nèi)角E1BAC、DABC的平分線，過

點(diǎn)A作AE上AD,交BD的延長線于點(diǎn)E

(1)求證：口￡=!□€：；

2

(2)如圖2,如果AE=AB,且BD：DE=2：3,求cosEOABC的值:

s

(3)如果UABC是銳角，且DABC與nADE相似，求DABC的度數(shù)，并直接寫出誠的值.

、ABC

s

【答案】⑴見解析；(2)cosUABC的值為2口3；⑶口人8?=30?；蜇蜛BC=45。，廠些的值2—行或2-6

【解析】

(1)由AELJAD,得至iJ」DAE=90。，LE=90°-DADE,再由AD平分」BAC,得至lJ；」ABD=(LBAC,即

可解答

(2)延長AD交BC于點(diǎn)F,得出F=",再利用三角函數(shù)即可即可

AEDE

Is

(3)根據(jù)題意得出ABC=UE=-DC,繼而可得ABC=30。，丁江=2-0,ABC=45。,

2S杵

誠^=2-6，即可解答

〉A(chǔ)BC

證明：DAE匚AD,

DAE=90°,E1E=9O。一ADE.

□AD平分DBAC,□□BAD=-DBAC,同理匚ABD=L[JBAC

22

Xn□ADE=DBAD+□ABD,匚BAC+DABC=180。一DC,

ICADE=-(DBAC+DBAC)=-(180°-QC).

22

11

□□E=90°——(180°-DC)=-OC

22

解：延長AD交BC于點(diǎn)F.

□AE=AB,□JABE=CE.

BE平分「ABC,DLABE=DCBE,□匚CBE=_E

AEDBC.

BFBD

ECAFB=DFAE=90°,——=——

AEDE

又LBDUDE=23

BFBFBD

□cosDABC=------=------=------

ABAEDE

匚cos1ABC的值為203.

(3)解：ABC與DADE相似，且UDAE=90。,

CCABC中必有一個(gè)內(nèi)角等于90°.

□ABC是銳角,

匚匚ABC￥90°.

若匚BAC=E1DAE=9O。，

11

□LE=y□C,JLJABC=UE=yJC

s

□CABC+DC=90°,□□ABC=30°.這時(shí)^-^=2一及

'ABC

s

綜上所述，□ABC=30?；颉魽BC=45。，于盛的值2-亞或2-6

【母題來源8]（2018?上海中考真題）己知UO的直徑AB=2,弦AC與弦BD交于點(diǎn)E.且ODUAC,垂足

為點(diǎn)F

C1）如圖1,如果AC=BD,求弦AC的長；

□2）如圖2,如果E為弦BD的中點(diǎn)，求UABD的余切值；

□3）聯(lián)結(jié)BCCICDtZDA,如果BC是口0的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是10的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊,

求匚ACD的面積.

/7_）

【答案】□iaAC=^nn2Dcot3ABD=72ACD=V^

【解析】

（1）由AC=BD知A。+。。=CD+BC，得AZ）=BC，根據(jù)。DUAC知CO，從而得

AD=CD=BC，即可知AOD=DOC=LBOC=60°,利用AF=AOsinL；AOF可得答案；

□2）連接BC,設(shè)OF=t,證OF為口ABC中位線及DDEFBEC得BC=DF=2t,由DF=lElt可得

t=g,即可知BC=DF=],繼而求得EF=,AC=立，由余切函數(shù)定義可得答案；

3343

口3）先求出BCUCDUAD所對圓心角度數(shù)，從而求得BC=AD=00F=^,從而根據(jù)三角形

面積公式計(jì)算可得.

解：nianoDDAcn

□A￡>=C￡>UUAFO=90°U

又DAC=BD口

aAC=BD^即AO+CD=CO+6C口

aAD=BCa

□AO=CQ=BC」

□□AOD=口DOC=□BOC=60°D

□AB=2

□AO=BO=in

□AF=AOsinnAOF=1x立=①口

22

則AC=2AF=G

□2）如圖1,連接BC

□AB為直徑，ODAC口

□□AFO=UC=90°1

□ODFIBCD

舊D=dEBC口

UDE=BEIJLDEF=BEC

□QDEFaE1BEC匚ASAD□

□BC=DFUEC=EF

又UAO=OB」

□OF是「IABC的中位線，

設(shè)OF=t,則BC=DF=2t口

□DF=DOCOF=lLlt口

□iDt=2ta

解得:t=9

貝ijDF=BC=|AC=y/AB2-BC2=F-(I)=半IJ

1IJi

□EF=-FC=-AC=—□

243

□OB=ODO

ABD-D

2

DF3/T

則cotABD=cotlD=—=-7=-=v2□

EF<2

T

□3）如圖2口

圖2

□BC是口。的內(nèi)接正n邊形的一邊，CD是口0的內(nèi)接正（n+4）邊形的一邊,

360360

□□BOC=——□□AOD=」COD=-----□

n〃+4

360360

則nl——+2x-------=180口

n幾+4

解得：n=4D

□□BOC=90。□□AOD=口COD=45。口

□BC=AC=V2□

□□AFO=90°

歷

□OF=AOcos□AOF=□

2

則DF=ODLlOF=in—□

2

□SACD=-AC?DF=

2

母題揭秘

考點(diǎn)七、解直角三角形與其他幾何知識(shí)結(jié)合問題

如圖所示，在RtElABC中，」C=90。，

(1)三邊之間的關(guān)系：CT+〃2=C2；

(2)兩銳角之間的關(guān)系：口人+口3=90。；

(3)邊與角之間的關(guān)系：sinA=cosB=—,cosA=cosB=—,cosA=sinB=—,tanA=—=—!—

cccfttanB

(4)如圖，若直角三角形ABC中，CDDAB于點(diǎn)D,設(shè)CD=h,AD

DPB

c

=q,DB=p,則

由」CBDDABC,得a2=pc；

由」CADUUBAC,得b2=qc；

由：:ACDEIEICBD,得l?=pq；

由CJACDEIIZIABC或由DABC面積，得ab=ch.

(5)如圖所示，若CD是直角三角形ABC中斜邊上的中線，則

1

UCD=AD=BD=—AB；

2

□點(diǎn)D是RtlABC的外心，外接圓半徑R=-AB.

2

(6)如圖所示，若r是直角三角形ABC的內(nèi)切圓半徑，則.=”1.￡二—一.

2a+b+c

直角三角形的面積:

□如圖所示，SAABC==.(h為斜邊上的高)

□如圖所示，=^r(a+b+c).

知識(shí)考點(diǎn)概括:

BDrC

解

勾

股

定

直理

與

結(jié)

合

四

邊

角形

三

銳

角

三

角

形

相

似

形

結(jié)

各

-

I

角與

巧

圓

結(jié)

合

形f

直

角

角

形

「

解

三

、

選

一

單

題

2

8

h

A

C

D

上

賢

模

，

桿

高

兩

拉

與

相

直