振動(dòng)與波動(dòng)課件

第四章振動(dòng)與波動(dòng)vibrationandwave物體在一定的位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。機(jī)械振動(dòng)：(mechanicalvibration)振動(dòng)：波動(dòng)：振動(dòng)狀態(tài)在空間的傳播。簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng):任何物理量在某個(gè)數(shù)值附近作周期性的變化。振動(dòng)規(guī)律為時(shí)間最簡(jiǎn)周期函數(shù)的振動(dòng)。任何復(fù)雜振動(dòng)都可看作是由若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成。xo§4-1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)4-1-1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的基本特征彈簧振子：

一根輕彈簧和一個(gè)剛體構(gòu)成的一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)。Fx回復(fù)力遵守胡克定律：k為勁度系數(shù)(stiffness)(springoscillation)(restoringforce)（1）在彈性限度內(nèi)，回復(fù)力和位移成正比。（2）回復(fù)力與位移反向，始終指向平衡位置。由牛頓第一定律：得:令該方程的解即簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的三項(xiàng)基本特征：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：遵守余弦（或正弦）規(guī)律的物體運(yùn)動(dòng)。(simpleharmonicmotion)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的加速度：OωAT4-1-2描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量

周期T：完成一次全振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間振幅A

：最大位移值，x=±A角頻率

：頻率

：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成全振動(dòng)的次數(shù)(amplitude)(angularfrequency)(frequency)(period)又稱圓頻率(circularfrequency)相位：(

t+

)彈簧振子的頻率:彈簧振子的周期:彈簧振子的振動(dòng)頻率和周期僅與振子本身的性質(zhì)（k和m）有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。由振動(dòng)系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為固有頻率和固有周期。(naturalfrequency)(naturalperiod)(phase)(initialphase)初相位：

，取值一般在

之間速度相位比位移相位超前

/2

稱為加速度幅稱為速度幅加速度與位移反相位結(jié)論：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，其加速度與位移恒成正比，而方向相反。

即根據(jù)初始位移和初始速度，可確定振幅和初相位：設(shè)t=0時(shí)，x=x0，v=v0

兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的比較主要決定于兩者的相位差。相位差(phasedifference)同相(in

phase)反相(ofoppositephase)，2的相位超前于1，或1的相位滯后于2，2的相位滯后于1，或1的相位超前于2此為兩振動(dòng)同頻情況4-1-3簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量A在x軸上的投影點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：可見旋轉(zhuǎn)矢量投影點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。xPMyOt=0xM

旋轉(zhuǎn)矢量A旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間，即M點(diǎn)完成一次全振動(dòng)的周期

旋轉(zhuǎn)矢量的模A即振幅

旋轉(zhuǎn)矢量A的角速度

即角頻率

t=0時(shí)，A與x

軸的夾角即初相位

旋轉(zhuǎn)矢量A與x

軸的夾角(

t+

)即相位yxPO例1

一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為12cm，周期為2s。當(dāng)t=0時(shí),位移為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求(1)振動(dòng)方程;(2)t=0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度;(3)如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x=-6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。解：(1)設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式為已知：A=12cm,T=2s，初始條件：t=0時(shí)，x0=0.06m,v0

>00.06=0.12cos

振動(dòng)方程：yx所以(2)質(zhì)點(diǎn)在t=0.5s時(shí)的位置、速度和加速度(3)設(shè)在t1時(shí)刻

，x=-0.06m，應(yīng)有設(shè)在t2時(shí)刻

，x=0，應(yīng)有yxt1t2例2

兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)1在x1=A/2處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)2在x2=-A/2處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的相位差。解：A-AoA/2-A/2A-AoA/2-A/2例3

質(zhì)量為m的比重計(jì)，放在密度為

的液體中。已知比重計(jì)圓管的直徑為d。試證明，比重計(jì)被推動(dòng)后，將在豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并計(jì)算其振動(dòng)周期。解：取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)平衡時(shí)浮力

其中V為比重計(jì)的排水體積0mgF0xx不平衡時(shí)例4

一輕彈簧一端固定，另一端連一定質(zhì)量的物體。整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)位于水平面內(nèi)。今將物體沿平面向右拉長(zhǎng)到x0=0.04m處釋放，試求：1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程；

2.物體從初始位置運(yùn)動(dòng)到第一次經(jīng)過A/2處時(shí)的速度。解：4-1-4簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量彈簧振子動(dòng)能：彈簧振子勢(shì)能：其中彈簧振子的總機(jī)械能：總機(jī)械能（1）振子在振動(dòng)過程中，動(dòng)能和勢(shì)能分別隨時(shí)間變化，但任一時(shí)刻總機(jī)械能保持不變。（2）動(dòng)能和勢(shì)能的變化頻率是彈簧振子振動(dòng)頻率的兩倍。（3）頻率一定時(shí)，諧振動(dòng)的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論：彈性勢(shì)能例5

當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少？物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？解：§4-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成和分解4-2-1簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成1.

兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成某一質(zhì)點(diǎn)在直線上同時(shí)參與兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別表示為：兩個(gè)振動(dòng)方向相同，振動(dòng)頻率相同的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。結(jié)論：x

即同相即反相例6圖示為兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線

(1)求合振動(dòng)的振幅；

(2)求合振動(dòng)的振動(dòng)方程。解：反相疊加所以xTt角頻率為xyO因?yàn)?，t=0時(shí)，x1=x2=0，所以2.

兩個(gè)同方向不同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成相對(duì)于的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度：兩矢量同向重合時(shí)：合振動(dòng)振幅極大合振動(dòng)振幅極小兩矢量反向重合時(shí)：拍：頻率相差不大時(shí)合振幅時(shí)大時(shí)小的現(xiàn)象(beat)拍的周期：拍的頻率：拍的解析分析：調(diào)幅(amplitude-modulated)拍的圖像：3.

相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成考慮兩個(gè)同頻率相互垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成yx結(jié)論：兩相互垂直同頻率簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成振動(dòng)軌跡為橢圓(又稱“橢圓振動(dòng)”)。橢圓軌跡的形狀取決于兩個(gè)相互垂直振動(dòng)的振幅和相位差。當(dāng)yxyx當(dāng)xy當(dāng)李薩如圖形(Lissajoufigure)：

如果兩個(gè)相互垂直簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不相同，則合成振動(dòng)的軌跡取決于兩個(gè)振動(dòng)的振幅、頻率及相位差，所形成的閉合曲線稱為李薩如圖形。4-2-2簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的分解兩個(gè)頻率比為1:2的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成

將一系列角頻率是某個(gè)基本角頻率ω（亦稱主頻）的整數(shù)倍的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加，其合振動(dòng)仍然是以ω為角頻率的周期性振動(dòng)，但一般不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。頻率為ω的非簡(jiǎn)諧周期性函數(shù)f(t)，在一定條件下可以用傅里葉余弦級(jí)數(shù)表示：確定一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)包含的諧頻成分的過程稱為頻譜分析。根據(jù)基頻和諧頻的頻率值和振幅做出的圖稱為頻譜。(spectrumanalyzing)(frequency

spectrum)：基頻

(fundamentalfrequency)：n次諧頻(n-orderharmonicfrequency)小提琴和鋼琴振動(dòng)譜及頻譜的對(duì)比(基頻同為440Hz)§4-3阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振(dampedvibration、forcedvibration、resonance)簡(jiǎn)諧振動(dòng):阻尼振動(dòng):受迫振動(dòng):

稱為阻力系數(shù)(coefficientofresistance)F0為周期性驅(qū)動(dòng)力的力幅三種振動(dòng)形式的規(guī)律對(duì)比：簡(jiǎn)諧振動(dòng)阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)a：小阻尼b：過阻尼c：臨界阻尼共振頻率特別是當(dāng)阻尼力為零時(shí)，共振振幅趨向于無窮大。共振振幅共振現(xiàn)象(resonance)：當(dāng)阻尼力趨向于零時(shí)，共振頻率趨向于系統(tǒng)固有頻率。Ar零阻尼阻尼較小阻尼較大共振振幅與頻率的關(guān)系1940年，美國(guó)的TacomaNarrows大橋在通車4個(gè)月零6天后因大風(fēng)引起扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，因振動(dòng)頻率接近大橋的共振頻率而突然坍塌。例7

一物體懸掛在彈簧下作阻尼振動(dòng)。開始時(shí)其振幅為120mm，經(jīng)過2.4分鐘后，振幅減為60mm。問：(1)如振幅減至30mm時(shí)需要經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間；(2)阻尼系數(shù)為多少？解：阻尼振動(dòng)方程取兩不同的時(shí)刻

t1和

t2§4-4非線性振動(dòng)混沌4-4-1非線性振動(dòng)設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)和一個(gè)理想彈簧構(gòu)成一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)彈性力：阻力：策動(dòng)力：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程：令是一個(gè)關(guān)于的一次冪函數(shù)

二階線性微分方程：二階非線性微分方程：是一個(gè)關(guān)于的二次或高次冪函數(shù)

Ol

mgT單擺

θ很小，（<5°）得線性方程：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)若θ不是很小，則至少要保留至第二項(xiàng)。得非線性方程：相圖法：即運(yùn)用一種幾何的方法來討論非線性問題。將質(zhì)點(diǎn)的位置（或角位置）作為橫坐標(biāo)軸；將質(zhì)點(diǎn)的速度（或角速度）作為縱坐標(biāo)軸。相平面：相：某種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相點(diǎn)：在相平面內(nèi)表征運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的一個(gè)點(diǎn)。相跡（相圖）：相點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡（反映運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化）。單擺作小角度擺動(dòng)：一次積分后單擺作小角度擺動(dòng)時(shí)，其相跡為一正橢圓。封閉的相跡表示運(yùn)動(dòng)是周期性的往復(fù)運(yùn)動(dòng)。小角度阻尼擺動(dòng)：一條向內(nèi)旋進(jìn)的螺旋線，曲線最終趨向中心點(diǎn)。吸引子：對(duì)應(yīng)著系