廣東省信宜市2024屆高三上學期摸底數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省信宜市2024屆高三上學期摸底數(shù)學試題一、單項選擇題1.設集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，得即，則故選：A.2.已知復數(shù)滿足：（i為虛數(shù)單位），則（）A. B.1 C. D.2〖答案〗C〖解析〗，故.故選：C.3.已知α：x>1，β：x≥2，則α是β的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗α：x>1，β：x≥2，所以βα，，如x=1.5，則α是β的必要不充分條件，

故選：B．4.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A.向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度B.向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度C.向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度D.向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度〖答案〗C〖解析〗由三角函數(shù)的圖象變換，把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移3個單位長度，可得，再向下平移2個單位長度可得.故選：C.5.在中，點為邊的中點．記，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為點D為邊的中點，所以，.故選：D.6.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（）A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6〖答案〗C〖解析〗由，當時，，則.故選：C.7.設O為坐標原點，A為圓C：上一個動點，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，當直線與圓相切時，A為切點，此時最大，易得,由，即，所以.故選：C.8.已知，且滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，且，所以，化簡得，兩邊平方化簡得，所以，即，則，兩式聯(lián)立求得，所以，故選：A二、多項選擇題9.已知，是平面外的兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則〖答案〗BC〖解析〗對于A，直線和可以相交或者異面，故A錯，對于B,，假設，，又，故，則，故B對,對于C,因為，，又，則，故C對,對于D,直線可以與平面平行，故D錯.故選：BC.10.有一組樣本數(shù)據(jù)，已知，，則該組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為2 B.中位數(shù)為2 C.方差為2 D.標準差為2〖答案〗AC〖解析〗由題意知，樣本數(shù)據(jù)，且，，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以A正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為中間的數(shù)據(jù)，所以不確定，所以B不正確.數(shù)據(jù)的方差為，所以C正確；標準差為，所以D錯誤；故選：AC.11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.若曲線表示兩條平行線，則B.若曲線表示雙曲線，則C.若，則曲線表示橢圓D.若，則曲線表示焦點在軸橢圓〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，若曲線表示兩條平行線，則有或，且.若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，若，則，此時曲線的方程為，可得或，合乎題意，故A錯；對于B選項，若曲線表示雙曲線，則，由于且，則，可得，則，B對；對于C選項，若曲線表示橢圓，則，解得且，C錯；對于D選項，若，則，則，曲線的方程可化為，此時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，D對.故選：BD.12.已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當時，，關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C.在上恰有三個零點 D.的最大值為2〖答案〗AD〖解析〗易知函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)．故A正確；因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，則，，所以是周期為4的函數(shù)，其部分圖象如下圖所示．所以當時，，當時，，單調(diào)遞減，B錯誤；在上零點的個數(shù)等價于在上零點的個數(shù)，而在上有無數(shù)個零點，故C錯誤；當時，易知的最大值為2，由偶函數(shù)的對稱性可知，當時，的最大值也為2，所以在整個定義域上的最大值為2，故D正確．故選：AD.三、填空題13.已知函數(shù)則______.〖答案〗2〖解析〗因為，所以，所以.故〖答案〗為：2.14.寫出一個定義域為，既是減函數(shù)又是奇函數(shù)的函數(shù)______．〖答案〗（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正確也可）〖解析〗對于函數(shù)，任取，均屬于，且，，由，所以，即，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，又，所以函數(shù)是上的奇函數(shù)，函數(shù)是上的減函數(shù)且為奇函數(shù).故〖答案〗為：.（〖答案〗不唯一，其它〖答案〗正確也可以）15.在的展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）〖答案〗24〖解析〗的展開式通項公式為，令，得，故的系數(shù)為24.故〖答案〗為：24.16.若存在實數(shù)使得，則的值為__________.〖答案〗〖解析〗由已知得，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，可得，所以，即，當且僅當即等號成立，此時的值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.在△中，內(nèi)角所對的邊分別為，已知．（1）求角的大?。唬?）若△面積，求的值．解：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得.18.已知等差數(shù)列的各項均為正數(shù).若分別從下表的第一?二?三列中各取一個數(shù)，依次作為，且中任何兩個數(shù)都不在同一行.第一列第二列第三列第一行4511第二行3109第三行876（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前項和為.求證：.（1）解：由題可得，故.（2）證明：且，則于是.19.如圖，已知等腰直角三角形，其中，.點?分別是?的中點，現(xiàn)將沿著邊折起到位置，使，連接?.（1）求證：；（2）求二面角的平面角的余弦值.（1）證明：∵點?分別是?的中點，∴，.又∵，沿著邊折起到位置，∴.∴.∴，∵，，∴平面∵平面，∴.（2）解：取的中點，連接?.∵，∴.∵，，∴平面.∵平面，∴，∵，∴平面.∵平面，∴.∴是二面角的平面角.在中，，在中，，.∴二面角的平面角的余弦值是.20.某地區(qū)對某次考試成績進行分析，隨機抽取100名學生的A，B兩門學科成績作為樣本．將他們的A學科成績整理得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定成績達到70分為良好．已知他們中B學科良好的有50人，兩門學科均良好的有40人．（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認為這次考試學生的A學科良好與B學科良好有關(guān)；B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好A學科不夠良好合計（2）用樣本頻率估計總體概率，從該地區(qū)參加考試的全體學生中隨機抽取3人，記這3人中A，B學科均良好的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列與數(shù)學期望．附：，其中．0.150.100.050.0250.0100.0050.0010.152.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282.072解：（1）由直方圖可得A學科良好的人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表如下：B學科良好B學科不夠良好合計A學科良好403070A學科不夠良好102030合計5050100假設：A學科良好與B學科良好無關(guān)，，所以有95%把握認為A學科良好與B學科良好有關(guān)．（2）AB學科均良好的概率，X的可能取值為0，1，2，3，且．所以，，，．所以X的分布列為X0123P因為，所以．21.已知函數(shù)，．（1）當時，求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍．解：（1）當時，，，定義域為，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時，取到最小值，，而，，，，因此函數(shù)值域為.（2）由，得，即在上恒成立，設，，則，∵，∴，，∴當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴當時，，因此，即的取值范圍是．22.已知拋物線：（）上的一點到準線的距離為1．（1）求拋物線的方程；（2）若正方形的三個頂點、、在拋物線上，求這種正方形面積的最小值．解：（1）拋物線的準線方程為，由拋物線上點到準線的距離為1，結(jié)合拋物線的定義得，∴，拋物線的方程為.（2）方法一：如圖設三個頂點有兩個在軸的右側(cè)（包括軸），設在拋物線上三個點，，點的坐標分別為，，，，的斜率為（）．則有，，即，．所以，，①又，所