2023-2024學年湖南省株洲市高一上學期第一次適應性檢測數(shù)學質量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年湖南省株洲市高一上學期第一次適應性檢測數(shù)學質量檢測模擬試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．集合，則（

）A． B．C． D．2．下列選項中表示同一函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與3．若集合,則能使成立的所有組成的集合為（

）A． B． C． D．4．若，則的最小值是（

）A． B． C． D．5．不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．6．對于、，規(guī)定，集合，則中元素的個數(shù)為（）A． B．C． D．7．已知，且，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．函數(shù)的定義域為，滿足，且時，，若，恒有，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．下列命題中的真命題有（

）A．當x＞1時，的最小值是3B．的最小值是2C．當0＜x＜10時，的最大值是5D．若正數(shù)x，y為實數(shù)，若x+2y＝3xy，則2x+y的最大值為310．下列說法正確的有（

）A．命題“若，則”的否定是“若，則”B．命題“，”的否定是“，”C．命題“，”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍為D．命題“，”是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為11．對于集合，定義，且，下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，則C．若，，或，則D．若，，則，或12．已知函數(shù)的定義域是，且，當時，，，則下列說法正確的是（

）A．B．函數(shù)在上是減函數(shù)C．D．不等式的解集為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．已知集合有且僅有兩個子集，則的取值集合為.14．已知函數(shù)，若對上的任意實數(shù)，恒有成立，那么的取值范圍是.15．已知函數(shù)，，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是.16．已知函數(shù)，則的最小值為．四、解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知A為方程的所有實數(shù)解構成的集合，其中a為實數(shù).(1)若A是空集，求a的范圍；(2)若A是單元素集合，求a的范圍：(3)若A中至多有一個元素，求a的取值范圍.18．（1）已知關于的不等式的解集是，求的值；（2）若正數(shù)，滿足，求的最小值．19．已知集合，集合．(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)是否存在實數(shù)，使得是的必要不充分條件？若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．20．已知定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式;(2)判斷的單調(diào)性（并用單調(diào)性定義證明）;(3)解不等式.21．已知二次函數(shù).（1）若的解集為，解關于的不等式.（2）若對任意，恒成立，求的最大值.（3）已知，，若對于一切實數(shù)恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.22．設數(shù)集由實數(shù)構成，且滿足：若（且），則.(1)若，試證明中還有另外兩個元素；(2)集合是否為雙元素集合，并說明理由；(3)若中元素個數(shù)不超過8個，所有元素的和為，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.1．D【分析】先求出集合的補集，再求出【詳解】因為，所以，因為，所以，故選：D2．D【分析】根據(jù)函數(shù)三要素，即定義域、對應關系、值域，三者只要有一個不相同，函數(shù)即不是同一函數(shù)，由此一一判斷各選項，即得答案.【詳解】對于A，的定義域為，而定義域為R，故二者不是同一函數(shù)；對于B，的定義域為R，與的定義域為，故二者不是同一函數(shù)；對于C，與對應關系不同，故二者不是同一函數(shù)；對于D，與的定義域以及對應關系、值域都相同，故二者為同一函數(shù)，故選：D3．C【分析】考慮和兩種情況,得到不等式組,解得答案.【詳解】當時,即,時成立;當時,滿足,解得;綜上所述:.故選:C.4．B【分析】利用基本不等式即可得解.【詳解】由，可得，，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故選：B.5．D【分析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.【詳解】由，解得，所以不等式成立的一個必要不充分條件是.故選：D.6．C【分析】分、的奇偶性相同和奇偶性不同兩種情況討論，列舉出滿足條件的元素，即可得出集合的元素個數(shù).【詳解】分、的奇偶性相同和奇偶性不同兩種情況討論：①如果、的奇偶性相同，且、，此時，可為：、、、、、、、、、、，共個；②如果、的奇偶性不同，且、，此時，可為：、、、，共個.因此，集合的元素個數(shù)為個.故選：C.7．C【分析】利用基本不等式求出的最小值，即可得到，從而得到，解得即可.【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，即，時取等號，所以，因為恒成立，所以，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C8．B【分析】根據(jù)給定條件分段求出解析式及對應函數(shù)值集合，再利用數(shù)形結合，可求得結果【詳解】因為，且時，，所以當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以當時，，解得或，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，

由圖可知，，恒有，必有，即的取值范圍是，故選：B關鍵點點睛：函數(shù)不等式恒成立問題，考查二次函數(shù)的性質，考查分段函數(shù)的性質，解題的關鍵是根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)解析式畫出圖象，利用圖象求解即可，考查數(shù)形結合思想，屬于較難題.9．AC【分析】對于A、C利用基本不等式分析判斷，對于B由對勾函數(shù)的性質分析判斷，對于D根據(jù)基本不等式的變形分析判斷.【詳解】對于選項A因為，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故選項A正確；對于選項B因為，等號成立的條件是，顯然不成立，所以等號不成立，不能使用基本不等式，即最小值不為2，令，則在上單調(diào)遞增，所以時取得最小值，故選項B錯誤；對于選項C因為，則所以，當且僅當，即時，等號成立，故選項C正確；對于選項D由得，故，當且僅當時取等號，故選項D錯誤.故選：AC.10．BCD【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定及存在量詞命題的否定可判斷AB，根據(jù)全稱量詞命題及存在量詞命題的真假結合二次函數(shù)的性質可判斷CD.【詳解】命題“若，則”為全稱量詞命題，它的否定為存在量詞命題“，則，故A不正確；命題“，”的否定是“，”，故B正確；“，”是假命題，則它的否定“，”是真命題，則當時，，不合題意，當時，則，解得，故C正確；“，”是真命題，則，又，則，解得，故D正確．故選：BCD．11．ABC【分析】根據(jù)集合新定義即，且，一一判斷各選項，可得答案.【詳解】因為，且，所以若，則，故A正確，若，則,則，故B正確;，，或，則，故C正確，若，，則，，或，故D錯誤.故選：ABC12．ABD【分析】對于A，利用賦值法求得，從而得以判斷；對于B，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義結合抽象函數(shù)的性質，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；對于C，利用抽象函數(shù)的性質求得式子的值，由此得以判斷；對于D，先求得，再將不等式轉化為，從而得到關于的不等式，解之即可判斷.【詳解】對于A，因為，令，得，所以，故A正確；對于B，令，得，所以，任取，且，則，因為，所以，即，所以，所以在上是減函數(shù)，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，因為，，所以，又因為，所以由得，故，因為在上是減函數(shù)，所以，解得，所以不等式的解集為，故D正確.故選：ABD．關鍵點睛：對于解含抽象函數(shù)的不等式問題，一般先利用抽象函數(shù)的性質求得其在定義域上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“”，轉化為解不等式(組)的問題.13．【分析】根據(jù)題意集合A有一個元素，考慮和兩種情況，計算得到答案即可.【詳解】由題意，集合有且僅有兩個子集，則集合只有一個元素，當時，，解得，符合題意；當時，，解得或，當時，，符合題意，當時，，符合題意.綜上所述，的取值集合為.故答案為.14．【分析】根據(jù)是R上的減函數(shù)，列出不等式組，解該不等式組即可得答案.【詳解】因為函數(shù)滿足對上的任意實數(shù)，恒有成立，所以函數(shù)在R上遞減，所以，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為.15．【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求得函數(shù)和的值域構成的集合，結合題意，得到，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，可得，即函數(shù)的值域構成集合，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即函數(shù)的值域構成集合，又由，，使成立，即,則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為.結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．16．1【分析】畫出的圖象后可求其最小值.【詳解】的圖象如圖所示，故的最小值為1，故1.17．(1)；(2)或；(3)或.【分析】（1）討論，根據(jù)可得結果；（2）討論，根據(jù)可得結果；（3）轉化為方程至多有一個解，由（1）（2）可得結果.【詳解】（1）若A是空集，則方程無解，當時，方程有解，不符合題意；當時，，得.綜上所述.（2）若A是單元素集合，則方程有唯一實根，當時，方程有唯一解，符合題意；當時，，得.綜上所述：或.（3）若A中至多有一個元素，則方程至多有一個解，當方程無解時，由（1）知，；方程有唯一實根時，由（2）知，或.綜上所述：或.18．（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)分式不等式解法求出含參的解集即可求的值；（2）用“1”的代換即可構造基本不等式求最小值.【詳解】解：（1）可化為，因為不等式的解集是，所以，即，由，解得．（2），因為，所以．因為，而，當且僅當，時，等號成立，所以，所以，當且僅當，時，等號成立．19．(1)或；(2)存在，.【分析】（1）化簡集合N，求出其補集，由列出不等式組求解即可；（2）根據(jù)必要不充分條件轉化為，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意，，所以或，因為，所以或，解得或，所以實數(shù)m的取值范圍是或.（2）假設存在實數(shù)m，使得是的必要不充分條件，則，即，則，解得，故存在實數(shù)使得是的必要不充分條件.20．(1)(2)函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明見解析；(3)【分析】（1）由題意得，又，求解、，即可得出答案；（2）判斷出函數(shù)在上是增函數(shù)，任取、且，作差，通分、因式分解后判斷的符號，即可證得結論成立；（3）根據(jù)單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式轉化為自變量的不等式，解得即可，需注意函數(shù)的定義域.【詳解】（1）定義在上的奇函數(shù)，則，即，解得，又，即，解得，，經(jīng)檢驗符合題意；（2）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因為，則，，故，即，因此函數(shù)在上是增函數(shù).（3），，，解得，不等式的解集為．21．（1）；（2）最大值為1；（3）.【分析】（1）利用的解集為，得出，，的關系，再解關于的不等式；（2）對任意，恒成立，等價于，且，借助均值不等式可得最大值；（3）由對于一切實數(shù)恒成立，可得，由存在，使得成立可得，結合均值不等式得到結果.【詳解】解：（1）∵的解集為，∴，，，，∴，∴解集為，（2）∵對任意，恒成立，∴，且∴，，故，∴，當，時取“”，∴的最大值為1；（3）由對于一切實數(shù)恒成立，可得即，由存在，使得成立可得，∴，∴，又，∴，當且僅當時“”成立.22．(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析