河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第四章模型特訓(xùn)3全等三角形模型

模型特訓(xùn)三全等三角形模型eq\a\vs4\al(平移模型)【模型點(diǎn)撥】把△ABC沿著某一條直線平行移動，稱所得到的△DEF與△ABC為平移型全等三角形．圖1、圖2是常見的平移型全等三角形．平移模型中，根據(jù)“兩直線平行，同位角(或內(nèi)錯角)相等”，可得到兩個三角形的兩組對應(yīng)角相等；反之，若兩個三角形全等，可得對應(yīng)角相等，從而得到兩直線平行．1．如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.若∠D＝65°，則∠EGC＝65°．2．(2021·衡陽中考)如圖，點(diǎn)A，B，D，E在同一條直線上，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF.求證：△ABC≌△DEF.證明：∵AC∥DF，∴∠CAB＝∠FDE.∵BC∥EF，∴∠CBA＝∠FED.在△ABC和△DEF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠CAB＝∠FDE，,AB＝DE，,∠CBA＝∠FED，)))∴△ABC≌△DEF(ASA).eq\a\vs4\al(翻折（軸對稱）模型)【模型點(diǎn)撥】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，稱其中全等的兩個三角形為翻折型全等三角形．此類圖形中要注意其隱含條件即公共邊或公共角相等．翻折(軸對稱)模型的圖形，可以看成一個軸對稱圖形，對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)圖形全等．3．如圖，AB＝AC，AD＝AE，BE，CD交于點(diǎn)O，則圖中全等的三角形共有(C)A．0對B．1對C．2對D．3對eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第4題圖）))4．如圖，在矩形ABCD中，AD＝4，將∠A向內(nèi)翻折，點(diǎn)A落在BC上，記為A1，折痕為DE.若將∠B沿EA1向內(nèi)翻折，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B1，則AB＝2eq\r(3).5．(2021·黔東南中考)在四邊形ABCD中，對角線AC平分∠BAD.【探究發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，若∠BAD＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°.求證：AD＋AB＝AC；【拓展遷移】(2)如圖②，若∠BAD＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°.①猜想AB，AD，AC三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AC＝10，求四邊形ABCD的面積．(1)證明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°.∵∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠ACD＝∠ACB＝30°.∴AD＝eq\f(1,2)AC，AB＝eq\f(1,2)AC.∴AD＋AB＝AC；(2)解：①AD＋AB＝AC.理由：過點(diǎn)C分別作CE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AB于點(diǎn)F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，CF⊥AB，∴CF＝CE.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EDC＋∠ADC＝180°，∴∠FBC＝∠EDC.又∵∠CFB＝∠E，∴△CFB≌△CED(AAS).∴FB＝DE.∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF.在四邊形AFCE中，由(1)知，AE＋AF＝AC，∴AD＋AB＝AC；②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝120°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°.在△CED和△CFB中，AC＝10，∴CE＝ACsin∠DAC＝10×sin60°＝5eq\r(,3).∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)AD·CE＋eq\f(1,2)AB·CF＝eq\f(1,2)(AD＋AB)·CE＝eq\f(1,2)AC·CE＝eq\f(1,2)×10×5eq\r(,3)＝25eq\r(,3).eq\a\vs4\al(旋轉(zhuǎn)模型)【模型點(diǎn)撥】將三角形繞著公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型全等三角形．識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，如圖1涉及對頂角相等；如圖2涉及等角加(減)公共角的條件．在旋轉(zhuǎn)圖形中，若某頂點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，則在這個頂點(diǎn)處根據(jù)“等量加(減)等量，和(差)相等”，可得出兩個新的角相等．6.如圖，△ABC，△ECD都是等邊三角形，且點(diǎn)B，C，D在一條直線上，連接BE，AD，點(diǎn)M，N分別是線段BE，AD上的兩點(diǎn)，且BM＝eq\f(1,3)BE，AN＝eq\f(1,3)AD，則△CMN的形狀是(C)A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．不等邊三角形eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第6題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第7題圖）))7．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在邊AC上，∠1＝∠2.(1)若∠C＝75°，則∠AEB＝30°；(2)若∠AEC＝90°，當(dāng)△AEC的外心在直線DE上時，CE＝2，則AE＝2eq\r(3)．8.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，∠EBF＝45°，△EDF的周長為8，則正方形ABCD的邊長為4．9．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝40°，連接BD，CE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，BD，CE也隨之運(yùn)動．(1)求證：BD＝CE；(2)在△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AE∥BC時，求∠DAC的度數(shù)．(1)證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝CA，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE；(2)解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，∴∠ABC＝eq\f(1,2)(180°－∠BAC)＝70°.當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的右側(cè)時，如題圖所示．∵AE∥BC，∴∠BAE＝180°－∠ABC＝110°.答圖∴∠CAD＝∠BAE－∠BAC－∠DAE＝30°；當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)時，如答圖所示．∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC＝70°.∴∠CAD＝∠BAC＋∠BAE＋∠DAE＝150°.綜上所述，當(dāng)AE∥BC時，∠DAC的度數(shù)為30°或150°.eq\a\vs4\al(三垂直模型)【模型點(diǎn)撥】此類圖形通常已知BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE(AC)，那么一定有∠B＝∠CAE(∠CDE)，常用到同(等)角的余角相等．在三垂直模型的圖形中，兩個三角形的對應(yīng)角相等，只需找出一組對應(yīng)邊相等，就可得這兩個三角形全等．10．(2021·陜西中考)如圖，AB，BC，CD，DE是四根長度均為5cm的火柴棒，點(diǎn)A，C，E共線．若AC＝6cm，CD⊥BC，則線段CE的長度是(D)A．6cmB．7cmC．6eq\r(,2)cmD．8cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10題圖）))e