專題22.6 難點探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長、線段最值問題之三大考點（解析版）

專題22.6難點探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長、線段最值問題之三大考點【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用二次函數(shù)求面積最值問題】 1【考點二利用二次函數(shù)求周長最值問題】 12【考點三利用二次函數(shù)求線段最值問題】 26【典型例題】【考點一利用二次函數(shù)求面積最值問題】例題：（2022春·九年級單元測試）如圖，拋物線經(jīng)過點，與軸的另一個交點為．

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)點為拋物線上一動點（與點，不重合），設(shè)點的橫坐標為，連接，，若點在直線的下方運動，當?shù)拿娣e最大時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）將A、B兩點坐標代入拋物線，求解即可得出其解析式；（2）首先求出直線解析式，然后設(shè)點，則點，利用面積構(gòu)建二次函數(shù)，即可求出最值．【詳解】（1）由題意，得將代入拋物線，得解得，∴該拋物線的解析式為；（2）令，，解得：或，即點，過點P作軸的平行線交于點G，如圖所示：

設(shè)直線的解析式為，將B、C的坐標代入一次函數(shù)表達式，得，解得，直線為，設(shè)點，則點則，∴∴當時，其最大值為．【點睛】此題主要考查求二次函數(shù)解析式以及三角形面積的最值問題，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，點P是直線下方拋物線上一動點．

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)當動點P運動到什么位置時，使四邊形的面積最大，求出此時四邊形的面積最大值和P的坐標．【答案】(1)；(2)當時，四邊形ABCP的最大值是，．【分析】對于（1），直接將點A，B的坐標代入關(guān)系式，即可求出答案；對于（2），分別求出各線段的長，再表示出點P的坐標，然后根據(jù)列出二次函數(shù)，整理為頂點式，再討論極值即可得出答案．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點，

∴，解得：，∴這個二次函數(shù)的表達式為：；（2）當時，，∴點．∵，，∴，，．設(shè)點P的坐標為，，．∵，∴當時，四邊形的最大值是，此時點P的坐標為．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式，求特殊圖形的面積，求二次函數(shù)的極值等，將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積和是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·天津濱海新·九年級?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線的頂點為D點，點A的坐標為．

(1)求D點的坐標；(2)連接，說明；(3)若點P是直線下方拋物線上一動點，當點P位于何處時，的面積最大？求出此時點P的坐標．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）將代入求出拋物線表達式，化為頂點式可得結(jié)果；（2）求出點B，點C坐標，分別求出，，，得到，即可證明結(jié)果；（3）過點P作軸，垂足為R，與交于點Q，求出的解析式，設(shè)，則，得到，表示出的面積，再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解即可．【詳解】（1）解：將代入，則，解得：，，；（2）連接，如圖，∵，令，則，即，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴；

（3）如圖，過點P作軸，垂足為R，與交于點Q，設(shè)的解析式為，將，代入，得，解得：，∴的解析式為，設(shè)，則，∴，∴的面積為，∵點P在下方，∴，∴當時，的面積最大，此時，．

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角形的面積，二次函數(shù)的最值，勾股定理的逆定理，正確表示出的面積是解題關(guān)鍵．3．（2023年遼寧省營口市中考模擬考試（一模）數(shù)學(xué)試卷）已知直線l與軸、軸分別相交于、兩點，拋物線經(jīng)過點，交軸正半軸于點．

(1)求直線的函數(shù)解析式和拋物線的函數(shù)解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上取點，連接、，求面積的最大值及點的坐標．(3)拋物線上是否存在點使為直角三角形，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)一次函數(shù)解析式為：，二次函數(shù)解析式為：(2)，(3)存在，點的坐標為或或或．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)解析式，求得點B的坐標，從而可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)題意可以求得點A的坐標，然后根據(jù)題意和圖形可以用含m的代數(shù)式表示出S，然后將其化為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題；（3）分三種情況討論，分別當為斜邊時，利用勾股定理列方程即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)，把，代入得：，，，一次函數(shù)解析式為：，把代入，，，二次函數(shù)解析式為：；（2）解：連接，

把代入得，，或3，拋物線與軸的交點橫坐標為和3，設(shè)點，在拋物線上，且在第一象限內(nèi)，，的坐標為，，當時，取得最大值．此時的坐標為；（3）解：設(shè)點，則，，，當為斜邊時，則，解得（舍去）或，∴點；當為斜邊時，則，解得（舍去）或，∴點；當為斜邊時，則，解得（舍去）或（舍去）或或，∴點的坐標為或；綜上，點的坐標為或或或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查二次函數(shù)的最值、勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，作出合適的輔助線，利用數(shù)形結(jié)合的思想和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解答．4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線交直線于坐標軸上兩點，交軸于另一點，連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)點為線段上一點，過點作直線，交軸于點．連接，求面積的最大值；(3)若在直線上存在點，使得以點為頂點的四邊形為菱形，求點的坐標．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線，求出，，再代入二次函數(shù)解析式即可．（2）根據(jù)二次函數(shù)解析式，得到，從而得出，再根據(jù)直線，設(shè)，將代入得，得出，則，從而得出，得出面積最大值．（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)進行分類討論，①，根據(jù)，得出，求出的值從而求解；②，，，得出，求出的值從而求解．【詳解】（1）直線于坐標軸上兩點，，，拋物線的圖象過兩點，代入得，，解得，拋物線的解析式為：；（2）如圖，拋物線的解析式為：，當時，，解得：，，，，直線，設(shè)，點為線段上一點，設(shè)，代入得，，，，，，當時，有最大值．

（3）存在，理由如下：，，，以點為頂點的四邊形為菱形，①，，，，，點為線段上一點，，直線，以點為頂點的四邊形為菱形，，，②，，，，當時，與點重合，不符合題意，舍去，當時，，直線，以點為頂點的四邊形為菱形，，，綜上所述：的坐標為或

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、面積最值、平面直角坐標系中兩點之間的距離等相關(guān)知識點，知曉兩直線平行，斜率相等是解決本題的關(guān)鍵．【考點二利用二次函數(shù)求周長最值問題】例題：（2023秋·河南周口·九年級統(tǒng)考期末）已知拋物線的圖象與軸交于點A、B（A在B的左側(cè)），與軸交于點，頂點為D．(1)試確定的值，并直接寫出D點的坐標．(2)試在軸上求一點P，使得的周長取最小值．【答案】(1)，(2)點P的坐標為；的周長最小值為．【分析】（1）將點C坐標代入拋物線解析式中，求出a，直接寫成頂點坐標D，即可得出結(jié)論；（2）利用對稱性即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵拋物線過點，∴，∴，∴，∴頂點D的坐標為；（2）解：如圖，∵是定值，的周長要最小，∴最小，作點C關(guān)于x軸的對稱點連接，交x軸于P，即：點P為所求作的點；∵，∴，設(shè)直線的解析式為，把代入得，解得，∴直線的解析式為，令，則，∴點P的坐標為；∵，∵，，∴．【點睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，求出點P的坐標是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點，，與y軸交于點，點D為拋物線的頂點．(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖，拋物線的對稱軸上是否存在點F，使得△BCF周長最小，若存在求點F坐標，并求周長的最小值；若不存在，請說明理由【答案】(1)(2)存在，；【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出拋物線的對稱軸，即可得出，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長．【詳解】（1）將，，代入得:,解得:所以拋物線的函數(shù)表達式：（2）存在；∵拋物線的解析式為：，∴拋物線的對稱軸，，∴，設(shè)直線的解析式為：，∵，∴解得，∴

直線的解析式為：，把代入直線的解析式，得，∴；∴∴【點睛】本題考查二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式是解題的關(guān)鍵，利用對稱軸求出坐標是解（2）題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江溫州·九年級期末）如圖，拋物線與x軸交于、兩點，與軸交于點，且．(1)求拋物線的解析式及頂點的坐標；(2)判斷的形狀，證明你的結(jié)論；(3)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當周長最小時，求點的坐標及的最小周長；(4)在該拋物線位于第四象限內(nèi)的部分上是否存在點，使得的面積最大？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)拋物線的解析式為：；(2)是直角三角形(3)，的最小周長為：(4)存在，【分析】（1）根據(jù)點在拋物線上，解出，得到拋物線的解析式，根據(jù)頂點坐標公式，即可求出點的坐標；（2）根據(jù)（1）得拋物線的解析式，求出點的坐標，根據(jù)勾股定理的逆定理即可；（3）當點在與對稱軸的交點上，根據(jù)點，點是對稱點，連接，則且，，三點在一條直線上，距離最短，設(shè)的解析式為：，求出的解析式，則得到點的坐標，即可；（4）以為底，則，當點到的距離最遠時，的面積最大如圖所示，作直線,當直線與拋物線僅有一個交點時，最大，交點即為點．【詳解】（1）∵點在拋物線上，∴，∴，∴拋物線的解析式為：；∵頂點坐標公式為：，∴點．∴拋物線的解析式為：；．（2）∵拋物線與軸交于點，∴，，∴，∵拋物線與軸交于點，點，∴，∴，，∴點，∴，，，∵；；，∴，∴是直角三角形．（3）∵點，點是對稱點，點在與對稱軸的交點上，∴此時，，三點在一條直線上，距離最短，；設(shè)的解析式為：，∴，解得：，∴當時，，∴點；∴點的坐標為，的最小周長為：．（4）存在，理由如下：∵以為底，∴，當點到的距離最遠時，的面積最大，作直線，且與僅有一個交點，設(shè)直線的解析式為，∵，∴，即，∵直線與僅有一個交點，∴僅有一個實數(shù)根，∴，解得，∴直線的解析式為：，由，解得，∴點．【點睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解析式，勾股定理的逆定理，線段的距離．3．（2022秋·江蘇連云港·九年級連云港市新海實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知拋物線的對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過，兩點，與x軸的另一個交點為點B，其頂點為點D．(1)求拋物線的解析式．(2)在拋物線的對稱軸上找一點M．使的周長最小，求出點M的坐標．(3)在（2）的條件下，連接，點E是直線上的一個動點，過點E作交拋物線于點F，以M，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請直接寫出點E的坐標；若不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)能；E點坐標為或或【分析】（1）由對稱軸得到a、b的關(guān)系，再將，代入即可求解析式；（2）作點C關(guān)于直線的對稱點，連接，與直線交點M，當A、M、三點共線時，的周長最小，求出直線解析式即可求M；（3）求出直線的解析式，設(shè)，，只需即可求E點坐標．【詳解】（1）∵對稱軸為直線，∴，∴，∴為，將點，代入，得，∴，∴；（2）令；則，∴，如圖1，作C點關(guān)于直線的對稱點，連接，與直線交點M，∵∴，∴當A、M、三點共線時，的周長最小，∴，設(shè)直線的解析式為，得，∴，∴，當時，，∴；（3）如圖2，以M、D、E、F為頂點的四邊形能為平行四邊形，理由如下：∵的頂點為，∴，∵，∴當時，以M、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，令，則，∴或，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴，∵點E是直線上的一個動點，設(shè)，∵，∴，∴，∴，解得（舍）或或或，∴或或，綜上所述：以M、D、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形時，E點坐標為或或．【點睛】本題考查二次函數(shù)與四邊形的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·山西大同·九年級大同一中校考階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點的坐標為，

(1)求的值及拋物線的頂點坐標(2)點是拋物線對稱軸上的一個動點，當?shù)闹荛L最小時，求點的坐標．(3)點為拋物線在第一象限上的一個點，連接，，當?shù)拿娣e最大時，求出的最大面積和點的坐標；【答案】(1)，拋物線的頂點坐標為；(2)點坐標為，；(3)的最大面積為，點的坐標為：．【分析】（1）將點的坐標為代入解析式中，即可求得的值，然后利用頂點坐標公式求得拋物線的頂點坐標；（2）根據(jù)、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，先連接交拋物線對稱軸于點，則此時的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，從而求出點坐標；（3）過點作軸交與點，利用、所在的圖像設(shè)出坐標，再利用“鉛垂高水平寬”求出面積與坐標的關(guān)系，最后利用頂點坐標求最值即可得解．【詳解】（1）解：將點的坐標為代入解析式中得：解得：∴拋物線的解析式為：頂點坐標的橫坐標為：，代入解析式中得，∴拋物線的頂點坐標為：；（2）解：將代入到中，得：，∴∴點的坐標為，，令中，得，解得，或，∴，∴，，∴，∵根據(jù)、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，∴連接交拋物線對稱軸于點，則此時的值最小，即的周長最小，

設(shè)直線的解析式為：，將、的坐標分別代入得：解得：所以直線的解析式為：將代入到得：∴點坐標為，；（3）解：過點作軸交與點，設(shè)的坐標為，的坐標為，到的距離為，到的距離為，由圖可知，

∴∴，∵∴當時，的面積最大，最大面積為，將代入中，得：，故當?shù)拿娣e最大時點的坐標為：．【點睛】此題考查的是①待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；②求兩條線段之和最小時確定動點的位置問題；③利用“鉛垂高水平寬”求面積最值問題．解決此題的關(guān)鍵是掌握如何確定兩條線段之和最小時動點的位置和把面積最值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題．5．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點，，矩形的邊在線段上（點B在點A的左側(cè)），點C，D在拋物線上，設(shè)，當時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．【答案】(1)(2)當時，矩形的周長有最大值，最大值為(3)4【分析】（1）設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為，求出點C的坐標，將點C的坐標代入即可求出該拋物線的函數(shù)表達式；（2）由拋物線的對稱性得，則，再得出，根據(jù)矩形的周長公式，列出矩形周長的表達式，并將其化為頂點式，即可求解；（3）連接A，相交于點P，連接，取的中點Q，連接，根據(jù)矩形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)推出四邊形是平行四邊形，則，．求出時，點A的坐標為，則，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的函數(shù)表達式為．∵當時，，∴點C的坐標為．將點C坐標代入表達式，得，解得．∴拋物線的函數(shù)表達式為．（2）解：由拋物線的對稱性得：，∴．當時，．∴矩形的周長為．∵，∴當時，矩形的周長有最大值，最大值為．（3）解：連接，相交于點P，連接，取的中點Q，連接．

∵直線平分矩形的面積，∴直線過點P．．由平移的性質(zhì)可知，四邊形是平行四邊形，∴．∵四邊形是矩形，∴P是的中點．∴．當時，點A的坐標為，∴．∴拋物線平移的距離是4．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達式的方法和步驟，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，矩形的性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)．【考點三利用二次函數(shù)求線段最值問題】例題：（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知拋物線：，拋物線與關(guān)于點中心對稱，與相交于A，B兩點，點M在拋物線上，且位于點A和點B之間；點N在拋物線上，也位于點A和點B之間，且軸．(1)求拋物線的表達式；(2)求線段長度的最大值．【答案】(1)(2)8【分析】（1）先求出拋物線：的頂點坐標為，然后求出點關(guān)于對稱后的點坐標為，再拋物線的解析式為：；（2）先求出A、B兩點橫坐標分別為和，設(shè)，其中，則，求出最大值即可．【詳解】（1）解：拋物線：的頂點坐標為，點關(guān)于對稱后的點坐標為，∵拋物線與拋物線關(guān)于成中心對稱，∴拋物線的解析式為：．（2）解：∵拋物線：與：交于A、B，∴令，解得：或，則A、B兩點橫坐標分別為和，設(shè)，，其中，則，∴當時，最大為8．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，中點坐標公式，二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，利用對稱的特征，再根據(jù)頂點情況求解析式以及根據(jù)二次函數(shù)解析式求最大值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過點和，其頂點的橫坐標為．

(1)求拋物線的表達式．(2)若直線與軸交于點，在第一象限內(nèi)與拋物線交于點，當取何值時，使得有最大值，并求出最大值．(3)若點為拋物線的對稱軸上一動點，將拋物線向左平移個單位長度后，為平移后拋物線上一動點．在（）的條件下求得的點，是否能與、、構(gòu)成平行四邊形？若能構(gòu)成，求出點坐標；若不能構(gòu)成，請說明理由．【答案】(1)(2)當時，有最大值為(3)能，【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）設(shè)，進而分別表示出，得出關(guān)于的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，，即可求得最大值；（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為，由（2）知，設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．根據(jù)中點坐標公式，分類討論即可求解，①當以為對角線時，②當以為對角線時，③當以為對角線時．【詳解】（1）解：拋物線的頂點橫坐標為對稱軸為與x軸另一交點為

∴設(shè)拋物線為∴拋物線的表達式為（2）在拋物線上∴設(shè)在第一象限

∴當時，有最大值為（3）由（1）知，向左平移后的拋物線為由（2）知設(shè)，假設(shè)存在以、、、為頂點的平行四邊形．

①當以為對角線時，平行四邊形對角線互相平分，即在拋物線上的坐標為

②當以為對角線時同理可得，即則的坐標為

③當以為對角線時，即則的坐標為綜上所述：存在以、、、為頂點的平行四邊形．的坐標為【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)的平移，待定系數(shù)法求解析式，線段最值問題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點．與y軸交于點．(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；(2)若點P是直線下方拋物線上的一動點，過點P作x軸的平行線交于點K，過點P作y軸的平行線交x軸于點D，求與的最大值及此時點P的坐標；(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使得是以為一條直角邊的直角三角形：若存在，請求出點M的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的最大值為，(3)或【分析】（1）將、、代入拋物線解析式求解即可；（2）可求直線的解析式為，設(shè)（），可求，從而可求，即可求解；（3）過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，設(shè)，可求，，由，可求，進而求出直線的解析式，即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，解得：，拋物線的解析式為．（2）解：設(shè)直線的解析式為，則有，解得：，直線的解析式為；設(shè)（），，解得：，，，，，，，當時，的最大值為，，．故的最大值為，．（3）解：存在，如圖，過作交拋物線的對稱軸于，過作交拋物線的對稱軸于，連接，∵拋物線的