2024年中考數(shù)學(xué)常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國(guó)通用）：專題02 三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型（原卷版）

專題02三角形中的導(dǎo)角模型-飛鏢模型、風(fēng)箏模型、角內(nèi)翻模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就飛鏢型、風(fēng)箏模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2圖3條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。條件：如圖3，線段AO平分∠DAB，線段CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”：如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢？下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說，就是一個(gè)角“凹”進(jìn)去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A＋∠B＋∠C）理由如下：方法一：如圖2，連接AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又∵在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連接CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，......大家在探究的過程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論，你有自己的方法嗎？任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；(2)探索：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫出該證明過程的剩余部分；(3)應(yīng)用：如圖4，AE是∠CAD的平分線，BF是∠CBD的平分線，AE與BF交于G，若∠ADB=150°，∠AGB=110°，請(qǐng)你直接寫出∠C的大?。?．（2023·廣東河源·八年級(jí)校考期末）（1）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請(qǐng)?zhí)骄颗c、、的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分，平分，，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．例3．（2022秋·廣西八年級(jí)期中）如圖，，的角平分線交于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)（

）A． B． C． D．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.例5．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）圖1圖21）風(fēng)箏（鷹爪）模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）風(fēng)箏（鷹爪）模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）例2．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．在數(shù)學(xué)探究課上，老師出了這樣一個(gè)題：如圖1，銳角內(nèi)部有一點(diǎn)D，在其兩邊和上各取任意一點(diǎn)E，F(xiàn)，連接．求證：．小麗的證法小紅的證法證明：如圖2，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)M，，（

依據(jù)

），又∵，，∴．證明：∵，（量角器測(cè)量所得），∴，（計(jì)算所得）．∴（等量代換）．任務(wù)：(1)小麗證明過程中的“依據(jù)”是指數(shù)學(xué)定理：________________________；(2)下列說法正確的是____________．A．小麗的證法用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理B．小麗的證法還需要改變的大小，再進(jìn)行證明，該定理的證明才完整C．小紅的證法用特殊到一般的方法證明了該定理D．小紅的證法只要將點(diǎn)D在的內(nèi)部任意移動(dòng)100次，重新測(cè)量進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理(3)如圖，若點(diǎn)D在銳角外部，與相交于點(diǎn)G，其余條件不變，原題中結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，請(qǐng)?zhí)剿髦g的關(guān)系．例3．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于如何證明這個(gè)定理呢？我們知道，平角是，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，請(qǐng)根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】

已知：如圖①，求證：．（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)D、E分別是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D、E分別是四邊形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為__________．（7）分別作和的平分線，交于點(diǎn)O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

模型3、角內(nèi)翻模型圖1圖2條件：如圖1，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；條件：如圖2，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處，如果，那么的度數(shù)為．

例2．（2022秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．例3．（2023春·重慶黔江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，中，，，．點(diǎn)是邊上的定點(diǎn)，點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，沿折疊，折疊后點(diǎn)落在點(diǎn)處．下面我們來研究折疊后的有一邊與原三角形的一邊平行時(shí)的值．

(1)首先我們來研究邊．因?yàn)楹偷?、相交，所以只有一種可能的情況（如圖2），，此時(shí)．(2)其次，我們來研究邊．因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當(dāng)時(shí)（如下圖），則．

當(dāng)時(shí)（如下圖），則．(3)最后，我們來研究邊．因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以可能與的邊、邊分別平行．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．例4．（2023·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的內(nèi)部的點(diǎn)M處，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖，將沿折疊，使點(diǎn)A落在的外部的點(diǎn)M處．求圖中，，之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，將、一起沿折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M、N分別落在射線的左右兩側(cè)，，，、的數(shù)量關(guān)系．(直接寫結(jié)果，不需要過程）課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，將沿折疊，使得點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)F處，若且，則的度數(shù)為（

）

A．30° B．40° C．50° D．60°2．（2023·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCED的外部時(shí)，則∠A與∠1和∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，請(qǐng)?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律，你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是（

）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠23．（2023秋·重慶開州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將沿翻折交于點(diǎn)，又將沿翻折，點(diǎn)落在上的處，其中，，則原三角形中的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，將沿直線m翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，則．5．（2023·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接，若，則．6．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，連接，將沿著翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)G重合，若，，則的度數(shù)為．

7．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將沿翻折后，點(diǎn)A落在邊上的點(diǎn)處，如果，那么的度數(shù)為．

8．（2023·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，若≌，且，，則．9．（2023春·四川·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在四邊形中，，．

(1)如圖1，若，則__________度；(2)如圖2，作的平分線交與點(diǎn)E，若，求的度數(shù)；(3)如圖3，作和的平分線交于點(diǎn)E，求的度數(shù)．10．（2023·浙江杭州·八年級(jí)專題練習(xí)）（2018十三中開學(xué)考）已知，在中，∠A=60°，（1）如圖①，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=；（2）如圖②，∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，則；（3）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，（內(nèi)部有個(gè)點(diǎn)），則；（4）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，，若，求n的值．11．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫序號(hào)）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫出結(jié)果）．12．（2023·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．13．（2023·四川達(dá)州·中考模擬）箭頭四角形,模型規(guī)律:如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用:（1）直接應(yīng)用：①如圖2，．②如圖3，的2等分線（即角平分線）交于點(diǎn)F，已知，則③如圖4，分別為的2019等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為．已知，則度14．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）如圖（1）是一個(gè)三角形的紙片，點(diǎn)D、E分別是邊上的兩點(diǎn)，研究（1）：如果沿直線折疊，寫出與的關(guān)系，并說明理由．研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想和的關(guān)系，并說明理由．15．（2022秋·河北唐山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，在四邊形ABCD中，．

（1）求證：．（2）如圖1，若DE平分，BF平分的外角，寫出DE與BF的位置關(guān)系，并證明．（3）如圖2，若BF、DE分別平分，的外角，寫出BF與DE的位置關(guān)系，并證明．16．（2023春·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們知道：光線反射時(shí)，反射光線、入射光線分別在法線兩側(cè)，反射角等于入射角．如圖1，為一鏡面,為入射光線，入射點(diǎn)為點(diǎn)O，為法線（過入射點(diǎn)O且垂直于鏡面的直線），為反射光線,此時(shí)反射角等于入射角，由此可知等于．（1）兩平面鏡、相交于點(diǎn)O，一束光線從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡兩次反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)B．①如圖2，當(dāng)為多少度時(shí)，光線？請(qǐng)說明理由．②如圖3，若兩條光線、所在的直線相交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)和分別為一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角的平分線，則與之間滿足的等量關(guān)系是_______．（直接寫出結(jié)果）（2）三個(gè)平面鏡、、相交于點(diǎn)M、N，一束光線從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過平面鏡三次反射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)E，請(qǐng)直接寫出、、與之間滿足的等量關(guān)系．17．（2023·江西新余·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，P為第四象限一動(dòng)點(diǎn)，Q為x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，R在下方且為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖①，若，，，求；(2)如圖②，若、分別平分，P、Q、R在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在．請(qǐng)說明理由；(3)如圖③，若將R點(diǎn)改為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，且在P、Q及（2）中的條件不變的前提下，又有何數(shù)量關(guān)系？18．（2023·山東·八年級(jí)假期作業(yè)）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，則．因?yàn)榘妓倪呅涡嗡萍^，其四角具有“”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用：（1）直接應(yīng)用：①如圖2，，則__________；②如圖3，__________；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，、的2等分線（即角平分線）、交于點(diǎn)，已知，，則__________；②如圖5，、分別為、的10等分線．它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則__________；③如圖6，、的角平分線、交于點(diǎn)D，已知，則__________；④如圖7，、的角平分線、交于點(diǎn)D，則、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．19．（2023春·山東·七年級(jí)校聯(lián)考期中）實(shí)驗(yàn)探究：（1