平面平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

平面、平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用一、平面的基本性質(zhì)回想：涉及三個公理、三個推論、其中公理3，推論1，推論2，推論3分別提供了構(gòu)造平面的四種：

（1）選不共線的三點(diǎn)（2）選一條直線與直線外一點(diǎn)

（3）選兩條相交直線（4）選兩條平行直線

二、證明共面的兩種辦法：

1、構(gòu)造一種平面，證有關(guān)元素在這個平面內(nèi)；2、構(gòu)造兩個平面，證能擬定平面的元素同在這兩個平面內(nèi)（同一法）。

例1．已知a//b,A∈a,B∈b,C∈b.

求證：a,b及直線AB，AC共面。

思路（1）：由a//b可擬定平面α，再證ABα，ACα；

思路（2）：由a//b可擬定平面α，由直線AB，AC可擬定平面β。由于α，β都通過不共線的三點(diǎn)A、B、C，因此α，β重疊。

思路（3）：在思路（2）中的平面β，還能夠由不共線的A，B，C三點(diǎn)來構(gòu)造，或者由點(diǎn)A與直線b來構(gòu)造。

另外，同窗們在書寫證明過程的時候，一定要把公理及推論的題設(shè)交待清晰，建議同窗們書寫時注明理由，以下所示：

寫法（一）：

證明：∵a//b（已知）∴a,b擬定一種平面α（推論3）∵A∈a,b∈b,c∈b（已知）∴A∈α，B∈α，C∈α∴直線ABα，直線ACα（公理1）∴a,b,AB,AC共面。

寫法（二）：

證明：∵a//b（知）∵a,b擬定一種平面α（推3）∴A∈α，B∈b,C∈b（已知）∴a通過A，B，C三點(diǎn)，∵AB∩AC=A∴直線AB，AC擬定一種平面β（推論2）∴β通過A，B，C三點(diǎn)，

∵A∈a,B∈b,C∈b,a//b（已知）∴A，B，C不共線∴α與β重疊（公理3）∴a,b，AB，AC共面。

有關(guān)同一法證題的思路，請同窗們再看一道例題。

例2．如果三條互相平行的直線和同一條直線相交，求證：這四條直線共面。

分析：這是一種文字命題，規(guī)定畫圖，寫出已知，求證，然后進(jìn)行證明。另外，在寫已知，求證時，要盡量忠實原文的意思。

已知：a//b//c,a∩d=A，b∩d=B，c∩d=C

求證：a,b,c,d共面。

分析由a//b可擬定一種平面α；由b//c可擬定一種平面β。由于α，β都通過兩條相交的直線b和d,因此由推論2可知，α與β重疊。（注意：α和β都通過的元素，還可有其它的選用方法，請同窗們自己試一試）。

證明：∵a//b（已知）∴a,b擬定一種平面α（推論3）

∵b//c（已知）∴b,c擬定一種平面β（推論3）

∵A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α,∴直線ABα即dα（公理1）

同理可證：dβ,∴α，β都通過b和d，

∵b∩d=B∴α與β重疊（推論2）。

三、證明三線共點(diǎn)，三點(diǎn)共線的辦法

1．三線共點(diǎn)：證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上；

2．三點(diǎn)共線：證三點(diǎn)都是兩平面的公共點(diǎn)。

例3：已知如圖，α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.

求證：A∈l（或者a,b,l共點(diǎn)）

分析：只需證明A為α，β的公共點(diǎn)。

證明：∵a∩b=A,aα,bβ,∴A∈aα,A∈bβ,即A為α，β的一種公共點(diǎn)，

∵l是α和β的交線，∴A∈l.

例4：如圖，已知延長ΔABC三邊，AB∩α=D，BC∩α=E，AC∩α=F。

求證：D，E，F(xiàn)共線。

證明：∵ΔABC頂點(diǎn)不共線，∴A，B，C可擬定平面β,

∵D∈α且D∈ABβ,∴D是α，β的公共點(diǎn)。

同理可證：E，F(xiàn)也是α，β的公共點(diǎn)，

∴D，E，F(xiàn)都在α，β支線上，即D，E，F(xiàn)共線。

典型例題

一．求證兩兩相交且但是同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).

已知:直線AB、BC、CA兩兩相交,交點(diǎn)分別為A、B、C。

求證:直線AB、BC、CA共面。

證明:∵直線AB和AC相交于點(diǎn)A,∴直線AB和AC擬定一種平面α(推論2).

∵B∈AB,C∈AC,∴BCα(公理1).因此直線AB、BC、CA都在平面α內(nèi),即它們共面.

闡明:證明幾條直線共面,就是要找到一種平面,使得它們都在這個平面內(nèi),核心是如何找到這個平面。也就是如何擬定這個平面。(由公理3及它的三個推論我們懂得擬定平面有四種辦法).當(dāng)平面擬定后來,再證明都在這個平面內(nèi),即完畢了這個證明.

二.證明:如果一條直線和三條平行直線都相交,那么這四條直線在同一平面內(nèi).

已知:直線a、b、c、l,a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.

求證:a、b、c、l共面。

證明:∵a∥b.∴a與b擬定一種平面(推論3).

∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α,∴直線AB,即lα.

也就是a、b、l共面于α。同法可證明b、c、l共面于β.

這就是說b、l既在平面α內(nèi)又在平面β內(nèi).

而l∩b=B.由公理3的推論2可知α,β是同一種平面.∴a、b、c、l在同一平面內(nèi).

闡明:當(dāng)擬定一種平面后,闡明其它直線也在這個平面內(nèi)發(fā)生困難后,往往可采用“間接法”證明.本題采用了“同一法”,也可采用“反證法”來證明.

三．已知:延長△ABC三邊.AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R.

求證:P、Q、R共線。

證明:∵△ABC三頂點(diǎn)為不共線的三點(diǎn).∴A、B、C三點(diǎn)能夠擬定一種平面β.

∵P∈AB,ABβ,∴P∈β.

又∵AB∩α=P,即P∈α?！郟∈αβ=l.

同理可證Q∈l,R∈l,即P、Q、R共線。

闡明:在空間幾何中,證明幾點(diǎn)共線.往往要用到公理2.

四.證明:三個平面兩兩相交得到三條直線.

(1)如果其中兩條直線交于一點(diǎn),那么第三條直線也過這點(diǎn).

(2)如果其中兩條直線平行.那么第三條直線也和它們平行.

已知:α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c。

(1)若a∩b=0,求證:0∈c.(2)若a∥b,求證:a∥c,b∥c。

證明:(1)∵α∩β=a,α∩γ=b,a∩b=0?！?∈β，0∈γ。

而β∩γ=c.∴0∈c(公理2)。

(2)∵α∩β=a,β∩γ=c，∴aβ,cβ,即a、c共面于β?！郺或c成平行或相交.

假設(shè)a∩c=P,則由(1)的結(jié)論可知P∈b.

即a∩b=P,這與a∥b矛盾,∴假設(shè)不成立，故a∥c,

同理可知b∥c。

闡明:本題的結(jié)論是對三個平面兩兩相交,交線的位置關(guān)系的鑒定,它對此后的畫圖有著很重要的作用.應(yīng)予以重視.

[習(xí)題]：

1．a(chǎn),b,c交于同一點(diǎn)O，直線d與a,b,c分別交于A，B，C三點(diǎn)。求證：a,b,c,d共面。2．已知：平面α，β，γ，α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,且a//b=M。求證：a,b,c三線共點(diǎn)。

3.已知:α∩β=l,aα,bβ,a∩b=A.求證:A∈l.

4.如圖:α∩β=l,A∈α,B∈α,c∈β.試在β內(nèi)找一點(diǎn)D.使A、B、C、D四點(diǎn)為一梯形的四個頂點(diǎn),這樣的點(diǎn)D共有幾個1（提示：由a與d相交可知，a,d擬定一種平面α，再證：b,c在α內(nèi)）

2提示：由于a,b的交點(diǎn)已經(jīng)存在，因此只需證M點(diǎn)在C上即可。要證M在C上，

由于C是β，γ的交線，因此只需證M同在β，γ內(nèi)

3.證明:∵a∩b=A,aα,bβ.∴A∈α且A∈β,又∵α∩β=l,∴A∈l.

4.分析:由于梯形是平面圖形,因此D在A、B、C三點(diǎn)擬定的平面γ內(nèi),但D又在β內(nèi),因此D在平面β與γ的交線上,由于α與γ的交線AB與l交于點(diǎn)P,易知β與γ的交線也過P點(diǎn),連CP,則D在直線CP上。連BC,在平面γ內(nèi)過A作AD∥BC交CP于D.連AC,在平面γ內(nèi)過B作BD′∥AC交CP于D′,D與D′即為所求.這樣的點(diǎn)只有兩個。在線測試選擇題

1．A,B,C為空間三點(diǎn)，通過這三點(diǎn)（）

A．能擬定一種平面B．能擬定無數(shù)個平面

C．能擬定一種或無數(shù)個平面D．能擬定一種平面或不能擬定平面2．空間交于一點(diǎn)的四條直線最多能夠擬定平面（）

A．4個B．5個C．6個D．7個3．空間不共線四個點(diǎn)A,B,C,D,在同一平面內(nèi)的射影A',B',C',D'在同一條直線上，那么A,B,C,D可擬定平面?zhèn)€數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個4．四個平面互不平行，也不重疊，則它們交線的數(shù)目不能是（）

A．6B．4C．2D．15．過直線l外兩點(diǎn)作與直線l平行的平面，能夠作（）

A．0個B．1個C．無數(shù)個D．0個，1個或無數(shù)個6．空間四點(diǎn)能夠擬定幾個平面

A．1個B．4個C．無數(shù)個D．以上狀況都可能7．三條直線兩兩相交，最多能夠擬定幾個平面

A．1個B．2個C．3個D．4個8．三條直線兩兩平行，最多能夠擬定幾個平面

A．1個B．2個C．3個D．1個或3個9．下列幾個說法中，對的的是：

A．空間的三個點(diǎn)擬定一種平面B．四邊形一定是平面圖形

C．六邊形一定是平面圖形D．梯形一定是平面圖形答案與解析解析：

1．如果這三點(diǎn)不在一條直線，則能夠擬定一種平面；如果這三點(diǎn)在一條直線上，則不能擬定平面。故本題應(yīng)選（D）。

2．?dāng)M定最多平面的狀況應(yīng)是每兩條直線所擬定的平面都不重疊，這樣若把四條直線依次編號，則相鄰兩號碼（1與4也當(dāng)作相鄰）共擬定4個平面，而相對兩號碼共擬定2個平面，最多時能擬定6個平面。故本題應(yīng)選（C）。

3．四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)的射影若在一條直線上，則這四個點(diǎn)在同一平面內(nèi)，故這四個點(diǎn)所擬定的平面是一種。故本題應(yīng)選（A）。

4．若四個平面交于一條直線，則交線有一條，若四個平面中每三個平面共點(diǎn)，則共有交線C=6條。若四個平面交于一點(diǎn)，但無公共交線，則共有交線四條，因此不可能有2條交線。故本題應(yīng)選（C）。

5.若兩點(diǎn)連線與l相交，則能夠作O個；若兩點(diǎn)連線與l平行，則能夠作無數(shù)個；若兩點(diǎn)連線與l異面，則能夠作1個。故本題應(yīng)選（D）。

6.四點(diǎn)若在同始終線上，通過這四點(diǎn)能夠有無數(shù)多個平面；四點(diǎn)若在同一平面內(nèi)，不管與否有三個點(diǎn)在同始終線上，都只能擬定一種平面；不在同一平面內(nèi)的四個點(diǎn)能夠擬定四個平面，因此四個點(diǎn)擬定平面的個數(shù)可能是1個、4個或無數(shù)多個,故本題應(yīng)選（D）。

7.三條直線兩兩相交，若共點(diǎn)且在同一平面內(nèi)，只能擬定一種平面；若共點(diǎn)不在同一平面內(nèi)，能擬定三個平面。若不共點(diǎn)，兩兩相交有三個公共點(diǎn)，只能擬定一種平面。故最多能夠擬定三個平面，故本題應(yīng)選（C）。

8.三條直線兩兩平行，如果一條直線在其它兩平行直線擬定的平面內(nèi)，這三條直線只能擬定一種平面；如果三條平等線不在同一平面內(nèi)，則能夠擬定三個平面，故最多能夠擬定三個平面,故本題應(yīng)選（C）。

9.若三個點(diǎn)在同始終線上，則能夠有無數(shù)個平面，因此（A）不對。四邊形、六邊形不一定是平面圖形，因此（B）、（C）不對,故本題應(yīng)選（D）。

事實上，由于梯形的一組對邊互相平行，因此擬定一種平面，于是得四個頂點(diǎn)在這個平面內(nèi)，從而推知梯形的兩腰也在這個平面內(nèi)，即梯形是一種平面圖形。

評注：從上述的分析和解答中能夠看出，由已知條件找出擬定平面的個數(shù)問題，其根據(jù)是擬定平面的條件。分析問題時，首先要在空間中考慮問題，并全方面考慮全部可能出現(xiàn)的狀況。平面的基本性質(zhì)平面的概念：是一種不加定義的基本概念，對于平面概念的理解重要應(yīng)注意兩個基本特性，即很平和能夠無限延展。平面普通用一種平行四邊形來表達(dá)，畫兩相交平面時，一定要畫出它們的交線，當(dāng)一種平面的一部分被另一種平面遮住時，要把被遮住的部分的線段畫成虛線或不畫，以增強(qiáng)立體感。

平面的基本性質(zhì)：

1.如果一條直線上有兩個點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么這條直線上的全部點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。

該性質(zhì)是鑒定直線在平面內(nèi)的根據(jù)，用集合符號表達(dá)為：

lα。根據(jù)直線在平面內(nèi)，能夠判斷點(diǎn)在平面內(nèi)，即A∈l,lαA∈α.

2．如果兩個平面有一種公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線。

該性質(zhì)是鑒定兩平面有交線以及擬定交線位置的根據(jù)，用集合符號表達(dá)為：A∈α，A∈βα∩β=α且A∈α。

由此易知，如果兩個平面有兩個公共點(diǎn)，那么這兩個平面相交于由這兩點(diǎn)擬定的一條直線，即

α∩β=AB。

根據(jù)兩平面相交的意義，能夠判斷點(diǎn)在直線上，即A∈α，A∈β，α∩β=αA∈α。

3．通過不在同始終線上的三點(diǎn)，有且只有一種平面。

4．通過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一種平面。

5．通過兩條相交直線，有且只有一種平面。

6．通過兩條平行直線，有且只有一種平面。

上述四個性質(zhì)是擬定一種平面的根據(jù)，擬定平面是建立空間圖形的基礎(chǔ)，擬定平面的條件對解題時引入輔助平面及作幾何體的截面起著重要作用。

重點(diǎn)問題剖析

如果直線上全部的點(diǎn)都在某一種平面內(nèi)，那么就稱這條直線在這個平面內(nèi)，其判斷的根據(jù)是只要直線上有兩個點(diǎn)在一種平面內(nèi)時，這條直線上全部的點(diǎn)就都在這個平面內(nèi)，從而這條直線就在這個平面內(nèi)。這是性質(zhì)1給出的平面的一種基本性質(zhì)。

運(yùn)用性質(zhì)2能夠鑒定兩個平面與否相交或證明若干個點(diǎn)共線，其它性質(zhì)用于擬定平面。擬定平面是將空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的重要條件。

精確地使用數(shù)學(xué)中的字母和符號，能夠使命題的敘述和證明顯得簡捷明快，符號語言、文字語言、圖形語言間的互相轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)能力的構(gòu)成部分和重要體現(xiàn)。另外還要理解用反證法證明命題的思路，并會用反證法證明簡樸命題。典型例題例題一：不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，求證這四條直線在同一平面內(nèi)。

分析不共點(diǎn)的四條直線兩兩相交，是指這四條直線沒有公共點(diǎn)，但其中每兩條直線都有一種交點(diǎn)，可分兩種狀況來考慮。第一種狀況，有三條直線共點(diǎn)，第二種狀況沒有任何三條直線共點(diǎn)，證明這四條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)根據(jù)已知條件先擬定一種平面，然后證明全部四條直線都在這個擬定平面內(nèi)，文字?jǐn)⑹龅拿}應(yīng)先寫出已知和求證。

已知直線a、b、c、d不共點(diǎn)，且兩兩相交，求證：a、b、c、d在同一平面內(nèi)。證明：第一種狀況：

a、b、c、d中有三條共點(diǎn)的狀況，設(shè)直線a、b、c相交于一點(diǎn)Q,Q不在d上，直線d與直線a、b、c分別相交于M、N、P，如圖1.

∵Qd,∴點(diǎn)Q與直線d擬定一種平面a.∵M(jìn)∈d,∴M∈α,又∵Q∈α,∴aα.

同理可證bα,cα.∴a、b、c、d在同一平面內(nèi)。

第二種狀況：a、b、c、d中沒有三條直線共點(diǎn)的狀況。

設(shè)直線c與直線a、b分別交于M、N，如圖2

∵a、b是相交直線?！郺、b擬定一種平面a.

∵M(jìn)∈a,N∈b,∴M∈α,N∈α,∵M(jìn)∈c,N∈c,∴cα.同理可證d∈α,

∴a、b、c、d在同一平面內(nèi)。

注意證明幾條直線在同一平面內(nèi)，應(yīng)先由已知的直線或點(diǎn)，根據(jù)擬定平面的條件擬定一種平面，再由公理1證明其它直線都在所擬定的平面內(nèi)。

例題二：已知直線a//b，直線a與平面α相交于點(diǎn)A，求證b與平面α必有一種公共點(diǎn)。分析運(yùn)用a//b，巧妙地構(gòu)造輔助平面b，把有關(guān)元素集中使用，不僅發(fā)明了新的線面關(guān)系，并且將三維降至二維，使得平面幾何知識有了用武之地。

證明∵a//b,∴可設(shè)直線a、b擬定一種平面β.又∵a∩α=A且aβ，

∴A∈β，由公理2知，α∩β＝c,即有a、b、cβ，

在平面β內(nèi)，∵a//b,a∩c=A,∴b與c必相交于一點(diǎn)，設(shè)為B（平面幾何知識的應(yīng)用），又∵cα，

∴B∈α,∴b與α有一種公共點(diǎn)B。

例題三：已知ABCD-A1B1C1D1是平行六面體，G是三角形A1BD的重心，求證：A、G、G1三點(diǎn)共線。

分析：要證三點(diǎn)共線，只要證明G在AC1上，進(jìn)一步證明平行六面體對角線AC1與三角形一條中線的交點(diǎn)就是重心即可。證明：連AC交BD于O，則O為BD的中點(diǎn)，重心G必在A1O上，在平行六面體的對角面AA1C1C中，A1O與AC1必相交，設(shè)交點(diǎn)為G'，如圖1-11，由于對角面AA1C1C是平行四邊形，故可證得：△AG'O∽△A1G'G1，且有

，即.∴G'與G重疊，故A、G、C1三點(diǎn)共線。

注意在證明若干點(diǎn)共線的時候，普通辦法有：

①分析分別證M、N、D'是截面ACD‘和截面BD'的公共點(diǎn)。

證明∵AC∩BD=M,∵AC截面ACD'，BD截面BD'，∴M是截面AD'C=N，

∴N∈截面AD'C，又∵DB'∈截面BD'，∴N∈截面BD'，N是兩截面的公共點(diǎn)，

又∵D'也是截面ACD'和截面BD'的公共點(diǎn)，∴M、N、D'三點(diǎn)在截面ACD'和截面BD'的交線D'M上。

因此，M、N、D'三點(diǎn)在同一條直線上。

例題五：已知在四周體ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H、M、N分別為AB、BC、CD、DA、AC、BD的中點(diǎn)。求證：EG、FH、MN三線共點(diǎn)。

分析本題先證EFGH是平行四邊形，故EG與HF的交點(diǎn)為O，最后證MN也過O點(diǎn)。

連結(jié)EF、FG、GH、HE?！郋HBD.同理FGBD.∴EHFG.

故EFGH是平行四邊形，設(shè)EG與FH相交于O。因此EG通過HF的中點(diǎn)O。

連結(jié)MF、FN、NH、HM。同理：MN通過FH的中點(diǎn)O。故EG、FH、MN相交于一點(diǎn)O。

課外練習(xí)

判斷題答案對的的在括號內(nèi)打“√”，不對的的在括號內(nèi)打“×”號。

（1）兩條直線擬定一種平面。（）

（2）通過一點(diǎn)的三條直線能夠擬定一種平面。（）

（3）點(diǎn)A在平面α內(nèi)，也在直線α上，則直線α在平面α內(nèi)。（）

（4）平面α和平面β相交于不同在一條直線上的三個點(diǎn)A、B、C。（）

（5）兩兩相交的三條直線不共面。

分析與解答：

（1）兩條直線能否擬定平面，應(yīng)看這兩條直線的位置，不給出位置關(guān)系要分狀況討論后，得出結(jié)論。兩條相交直線可擬定一種平面，兩條平行直線可擬定一種平面，除此之外的任何兩條直線,不能擬定平面。因此，“兩條直線擬定一種平面”這個命題是錯的，應(yīng)當(dāng)畫“×”號。

（2）通過一點(diǎn)的兩條直線擬定一種平面，三條直線不能擬定平面，應(yīng)畫“×”號。

（3）根據(jù)命題的條件，直線α上只有一種點(diǎn)在平面α內(nèi)，而根據(jù)公理1，直線α上必須有兩個點(diǎn)在平面α內(nèi)，直線α才干在平面α內(nèi)，這個命題是錯的，應(yīng)畫“×”號。

（4）平面α和平面β的公共點(diǎn)一定在一條直線上，因此，平面α和平面β相交于不同在始終線上的三個點(diǎn)A、B、C是錯的，應(yīng)畫“×”號。

（5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時這三條直線必共面，應(yīng)畫“×”號。高考題萃例1．用集合符號看圖填空：（1）如圖1-1，A___m,A___a,B____l,B____a,l___a,m___a=___.

（2）如圖1-2，A____a,A____b,A____l,a____b=___,AB____b=___.

分析：本例是圖形語言與符號語言間的互相轉(zhuǎn)化問題，認(rèn)真觀察圖形，用精確的符號表達(dá)其意義。

解：（1）A∈m,Aa,Bl,B∈a,la,m∩a=B.（2）A∈a,Ab,Al,a∩b=l,AB∩b=B.

評注：用符號語言精確表達(dá)圖形的實際意義是邏輯推理的基礎(chǔ)，同時它能夠使推理過程十分簡捷。

例2．判斷題（對的在括號內(nèi)打“√”號，不對的的在括號內(nèi)打“×”號）

（1）兩條直線擬定一種平面。（）

（2）通過一點(diǎn)的三條直線能夠擬定一種平面。（）

（3）點(diǎn)A在平面a內(nèi)，也在直線l上，則直線l在平面a內(nèi)。（）

（4）平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個點(diǎn)A、B、C。（）

（5）三條直線兩兩相交則不共面。（）

（6）任何三個點(diǎn)都不在同始終線上的四點(diǎn)必不共面。（）

分析與解答：

（1）應(yīng)對兩條直線的位置關(guān)系進(jìn)行討論。當(dāng)兩條直線相交或平行時可擬定一種平面，除此之外的任何兩條直線不能擬定平面。因此，“兩條直線擬定一種平面”這個命題是錯的，應(yīng)打“×”號。

（2）通過一點(diǎn)的兩條直線擬定一種平面，三條直線不能擬定平面，應(yīng)打“×”號。

（3）由公理1知，一條直線上必須含有有兩個點(diǎn)在一種平面內(nèi)，那么這條直線才干在這個平面內(nèi)，而命題的條件是直線a上只有一種點(diǎn)在平面a內(nèi)，因此這個命題是錯的，應(yīng)打“×”號。

（4）若平面a和平面b相交，則其公共點(diǎn)一定在一條直線上，因此，平面a和平面b相交于不同在一條直線上的三個點(diǎn)A、B、C是錯的，應(yīng)打“×”號。

（5）三條直線兩兩相交，若不共點(diǎn)時這三條直線必共面，應(yīng)打“×”號。

（6）如矩形的四個頂點(diǎn)，沒有任何三點(diǎn)在一條直線上，但四個頂點(diǎn)是共面的，故應(yīng)打“×”號。

評注：平面的基本性質(zhì)是學(xué)習(xí)立體幾何的基礎(chǔ)，必須精確地掌握這些性質(zhì)的條件和結(jié)論，并能靈活運(yùn)用性質(zhì)分析解答有關(guān)問題。

例3．已知直線a//b//c，直線d和直線a、b、c分別相于點(diǎn)A、B、C（如圖），求證：四條直線a、b、c、d共面。

分析：要證明a//b,∴a,b擬定一種平面，記為a,

∵A∈a,B∈b,∴A∈a,B∈a,

又∵A∈d,B∈d,∴da,

∵C∈d,∴C∈a,且Ca,∴平面a也是直線a和點(diǎn)C擬定的平面

∵C∈c且c//a,∴ca,故直線a、b、c、d都在同一種平面a內(nèi)，即四條直線a、b、c、d共面。

評注：通過上述的證明，能夠把命題推廣為：與同一條直線相交的全部平行線都在同一種平面內(nèi)。

例4．已知空間四點(diǎn)A、B、C、D不在同一種平面內(nèi)，求證：直線AB和直線CD既不相交也不平行。

分析：要證明直線AB和直線CD既不相交也不平行，可借助于反證法，運(yùn)用公理3的推論2、3來證明出矛盾即可。

證明：（反證法）假設(shè)直線AB和直線CD相交或平行，由公理3的推論2和推論3知，這兩條直線擬定一種平面。

設(shè)這個平面為a，于是得ABa，CDa。

由公理1知A∈a，B∈a，C∈a，D∈a，即四個點(diǎn)A、B、C、D同在平面a內(nèi)，這與已知矛盾。

從而假設(shè)不成立，故AB和CD既不相交也不平行。

評注：在運(yùn)用反證法證明問題時，要注意原結(jié)論相反的方面是只有一種狀況還是有若干狀況。如果只有一種情形，那么只需就這種情形導(dǎo)出矛盾；如果有若干情形，那么必須針對每一種情形分別去導(dǎo)出矛盾。由此可知，若命題結(jié)論的背面情形多于兩種時，用反證法就不適宜了。

例5．已知空間四邊形ABCD，E、F、G、H分別在AB、BC、CD、DA上，并且EFGH是平面圖形，試判斷EH和FG相交的交點(diǎn)位置。

分析：由已知條件EFGH是平面圖形且EH和FG相交，根據(jù)平面的基本性質(zhì)判斷交點(diǎn)的位置。

解：∵ABCD是空間四邊形，

∴A、B、D三點(diǎn)不在同一條直線上，能夠擬定一種平面ABD

同理，B、C、D三點(diǎn)也能夠擬定平面BCD

∵B、D是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，

∴平面ABD和平面BCD相交于過B、D的一條直線，即直線BD

由于EH和FG相交，設(shè)交點(diǎn)為P。

∵E、H兩點(diǎn)分別在AB、DA上，∴EH在平面ABD內(nèi)∴交點(diǎn)P也在平面ABD內(nèi)，

同理，交點(diǎn)P也在平面BCD內(nèi)，即交點(diǎn)P是平面ABD和平面BCD的公共點(diǎn)，

∴點(diǎn)P在BD上。

評注：在上述解答過程中，運(yùn)用了平面的基本性質(zhì)。由公理2，兩個相交平面的公共點(diǎn)都在同一條相交直線上，由公理1，分別在這兩個相交平面內(nèi)的兩條相交直線的交點(diǎn)必是兩平面的公共點(diǎn)。因此，分別在兩相交平面內(nèi)的兩相交直線的交點(diǎn)必在兩平面的交線上，同時解答中要特別注意平面的無限延展性。課內(nèi)拓展題目一：三個正方形兩兩垂直，求過這三個正方形的中心的平面與三個正方形的交線。分析1連O1O2，由于O1、O2皆為正方形的中心，兩個正方形又都垂直于面DF，因此可猜想O1O2//平面DF。為了證明這個猜想，方便進(jìn)一步分析，不妨在平面AC內(nèi)作O1M⊥DC，則O1M=CB,O1M⊥平面DF。同樣，可作出O2M=CB,O2N⊥平面DF。于是得到矩形O1O2NM.進(jìn)而得O1O2//MN，又能推出O1O2//平面DF。根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理知，過O1、O2、O3的平面與平面DF的交線過O3且與O1O2平行，這樣的直線只能是DF，其它兩條顯然是BD、BF。

分析2許多人在解此題時，未必作過前面所做的具體分析。人的思維是很“怪”的，在許多狀況下，直覺將幫我們很大的忙，就以本題而言，當(dāng)人們看到已知的是這樣三個特殊點(diǎn)時，就很容易產(chǎn)生一種念頭：另外三個點(diǎn)也可能是特殊點(diǎn)。而圖中正好就有與O1、O2、O3關(guān)系比較近的三個點(diǎn)B、D、F。對于平面幾何知識較熟的人來說，自然會對的地把它們連起來，從而得到解法。

分析3前兩種分析，本質(zhì)上是同樣的：都是在面DF內(nèi)找到一條交線，一下子便把問題解決了。因此不同的是，一種通過分析，一種通過“猜想”?，F(xiàn)在我們給自己提出任務(wù)：用其它辦法試著在某個面內(nèi)再找一種除中心外的公共點(diǎn)。

假定我們想在面BF上找另一種公共點(diǎn)，這并不難，只要在O1O2上任取一點(diǎn)S（除O2），過O3S的直線與平面BF的交點(diǎn)就是符合條件的點(diǎn)。這種想法較好，但實際難以操作。重要是由于S是任取的點(diǎn)，因此無法擬定直線O3S與平面BF交