第02講 三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）（原卷版）

第02講三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）【知識(shí)梳理】一、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱(chēng)三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．二、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形．【考點(diǎn)剖析】題型一、三角形的高例1．如圖，△ABC中AB邊上的高是（）A．線段AD B．線段AC C．線段CD D．線段BC【變式1】小華在電話(huà)中問(wèn)小明：“已知一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為4，9，12，如何求這個(gè)三角形的面積?”小明提示：“可通過(guò)作最長(zhǎng)邊上的高來(lái)求解．”小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()．【變式2】如圖，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．例2．如圖，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，試作出BC邊上的高AE，并求AE的長(zhǎng)．例3．如圖，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)O．（1）在△BOC中，OB邊上的高是，OC邊上的高是，BC邊上的高是．（2）在△AOC中，OA邊上的高是，OC邊上的高是，AC邊上的高是．（3）在△AOB中，OA邊上的高是，OB邊上的高是，AB邊上的高是．題型二、三角形的中線例4．BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長(zhǎng)的差是．【變式1】已知BD是△ABC的一條中線，△ABD與△BCD的周長(zhǎng)分別為21，12，則AB﹣BC的長(zhǎng)是．例5.如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長(zhǎng)．例6.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長(zhǎng)．題型三、三角形的三條重要線段例7．已知△ABC，如圖，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)△ABC的角平分線AD、中線AE和高線AF．例8．在△ABC中，線段AP，AQ，AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ【變式】如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說(shuō)法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AF＝FB．A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④題型四：三角形面積例9．若△ABC中，∠ACB是鈍角，AD是BC邊上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，則△ABC的面積等于．【變式1】如圖所示，在△ABC中，D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，且，則為_(kāi)_______．【變式2】如圖，AD為△ABC的中線，BE為△ABD的中線．（1）猜想：△ABD與△ADC的面積有何關(guān)系？并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；（2）在△BED中作BD邊上的高；（3）若△ABC的面積為40，BD=5，則△BDE中BD邊上的高為多少？題型五：重心例10．（2022秋·湖北恩施·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)，，，均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)是的（

）A．三條內(nèi)角角平分線的交點(diǎn) B．三條中線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn) D．無(wú)法確定【變式】（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示的網(wǎng)格由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成，點(diǎn)在小正方形的頂點(diǎn)上，則的重心是點(diǎn)______．（從中選擇）題型六、三角形的穩(wěn)定性例11.如圖所示，木工師傅在做完門(mén)框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條(即AB、CD)，這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【變式1】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【變式2】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．三角形的高、中線、角平分線都是線段 B．三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部C．銳角三角形的三條中線一定交于同一點(diǎn) D．三角形的三條高交于同一點(diǎn)2．（2023秋·廣東汕頭·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，若是的中線，，則（

）A．12 B．10 C．16 D．83．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，，分別是的高、角平分線、中線，則下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．4．（2023春·廣東東莞·八年級(jí)校聯(lián)考期中）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相等的兩部分的是（

）A．三角形的中線 B．三角形的角平分線 C．三角形的高 D．以上答案均正確5．（2023秋·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四個(gè)圖形中，線段是的高的是（

）A． B．C． D．6．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)?？计谥校┤切稳龡l（

）的交點(diǎn)叫做三角形的重心A．高 B．角平分線 C．外角角平分線 D．中線7．（2023秋·浙江湖州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．4 B．5 C．5.5 D．6二、填空題8．（2023秋·湖南株洲·八年級(jí)校考期末）如圖，是的中線，已知的周長(zhǎng)為，比長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__．9．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是的_________邊上的高；在中，是_________上的高，還是_________的高；是_________的_________邊上的高．10．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，分別是的高和中線，已知，，則的面積為_(kāi)____________．11．（2023春·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊的中點(diǎn)，且面積等于，則的面積等于______．12．（2023秋·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，G是上的一點(diǎn)，且，連接，若的面積為6，則圖中陰影部分的面積是__________．13．（2023秋·四川眉山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的中線，已知的周長(zhǎng)為，比長(zhǎng)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)___．14．（2023秋·湖南郴州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，已知點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則陰影部分的面積為_(kāi)______15．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，則△ABD的面積為_(kāi)____________．三、解答題16．（2023秋·安徽宣城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的兩條中線、相交于點(diǎn)O，已知的面積為14，的面積為3，求四邊形的面積．17．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在銳角中，，，、分別是的邊、上的高，且，求的長(zhǎng)．18．（2023春·黑龍江綏化·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知分別是的高和中線，，，求：(1)的面積；(2)的長(zhǎng)；(3)和的周長(zhǎng)的差．19．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，線段的交點(diǎn)稱(chēng)作格點(diǎn)，請(qǐng)按下列要求作圖并填空(1)畫(huà)出中，邊上的高；(2)畫(huà)出中，邊上的高；(3)直接寫(xiě)出的面積是______.20．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知．(1)畫(huà)出的中線和角平分線；(2)畫(huà)出的高，．21．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為個(gè)單位長(zhǎng)度，的三個(gè)頂點(diǎn)的位置