教案微分中值定理

時間---------月---------日星期-----------------課題§3.1微分中值定理教學(xué)目的理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理，理解柯西中值定理。教學(xué)重點羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。教學(xué)難點羅爾定理、拉格朗日定理的應(yīng)用。課型基礎(chǔ)課備課組教法選擇講授教學(xué)過程教法運用及板書要點一、羅爾定理1.羅爾定理幾何意義：對于在上每一點都有不垂直于軸的切線，且兩端點的連線與軸平行的不間斷的曲線來說，最少存在一點C，使得其切線平行于軸。CAB從圖中能夠看出：符合條件的點出現(xiàn)在最大值和最小值點，由此得到啟發(fā)證明羅爾定理。為應(yīng)用方便，先介紹費馬（Fermat）引理費馬引理設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義并且在處可導(dǎo)如果對任意有(或)那么證明：不妨設(shè)時，（若，能夠類似地此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”局限性時可續(xù)頁證明）.于是對于,有,從而當(dāng)時,;而當(dāng)時,;根據(jù)函數(shù)在處可導(dǎo)及極限的保號性的得，因此,證畢.定義導(dǎo)數(shù)等于零的點稱為函數(shù)的駐點(或穩(wěn)定點，臨界點).羅爾定理如果函數(shù)滿足：（1）在閉區(qū)間上持續(xù)（2）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即那么在內(nèi)最少在一點使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零，即證明：由于在上持續(xù)，因此必有最大值M和最小值，于是有兩種可能的情形：（1），此時在上必然取相似的數(shù)值M，即由此得因此，任取，有（2），由于，因此M和最少與一種不等于在區(qū)間端點處的函數(shù)值.不妨設(shè)(若,可類似證明),則必然在有一點使.因此任取有,從而由費馬引理有.證畢【例1】驗證羅爾定理對在區(qū)間上的對的性解顯然在上持續(xù)，在上可導(dǎo)，且,又,取,有.闡明：1若羅爾定理的三個條件中有一種不滿足,其結(jié)論可能不成立;2使得定理成立的可能多于一種，也可能只有一種.【例2】證明方程有且僅有一種不大于1的正實根.證明：設(shè),則在上持續(xù)，且由介值定理存在使,即為方程的不大于1的正實根.設(shè)另有使由于在之間滿足羅爾定理的條件,因此最少存在一種（在之間）使得.但,矛盾,所覺得方程的唯一實根.拉格朗日（Lagrange）中值定理在羅爾定理中，第三個條件為(iii)，然而對普通的函數(shù)，此條不滿足，現(xiàn)將該條件去掉，但仍保存前兩個條件，這樣，結(jié)論對應(yīng)地要變化，這就是拉格朗日中值定理：定理2：若函數(shù)滿足：-2-112-0.75-0.5-2-112-0.75-0.5-0.250.250.50.75(ii)在上可導(dǎo)；則在內(nèi)最少存在一點，使得。即若此時，尚有，?？梢娏_爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊狀況，因而用羅爾中值定理來證明之。證明：上式又可寫為……(1)作一種輔助函數(shù)：……(2)顯然，在上持續(xù)，在上可導(dǎo)，且，因此由羅爾中值定理，在內(nèi)最少存在一點,使得。又或。注1：拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣；2：定理中的結(jié)論，能夠?qū)懗桑耸揭卜Q為拉格朗日公式，其中可寫成：……(3)若令……(4)3：若，定理中的條件對應(yīng)地改為：在上持續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則結(jié)論為：也可寫成可見，不管哪個大，其拉格朗日公式總是同樣的。這時，為介于之間的一種數(shù)，(4)中的不管正負，只要滿足條件，(4)就成立。4：設(shè)在點處有一種增量，得到點，在以和為端點的區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有即這精確地體現(xiàn)了和這兩個增量間的關(guān)系，故該定理又稱為微分中值定理。5：幾何意義：如果曲線在除端點外的每一點都有不平行于軸的切線，則曲線上最少存在一點，該點的切線平行于兩端點的連線。由定理還可得到下列結(jié)論：推論1：如果在區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)恒為0，則在上是一種常數(shù)。證明：在中任取兩點，在持續(xù)，在可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理，則在內(nèi)最少存在一點，使得由假設(shè)可知在上，，從而在上，，，因此，可見，在上的每一點都有：（常數(shù)）。【例3】證明當(dāng)時.證：設(shè)，顯然在[0，x]上滿足拉格朗日中值定理條件，故最少存在一點使由于，，，代入上式有即又由于因此即注：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）對的擬定區(qū)間左右端點，運用TH2可得.三、三、柯西中值定理定理3：若滿足：(1)在上持續(xù)；(2)在內(nèi)可導(dǎo)；(3)則在內(nèi)最少存在一點，使得。證明：令，顯然，在上持續(xù)，且在內(nèi)可導(dǎo)，更進一步尚有，事實上，因此滿足羅爾定理的條件，故在內(nèi)最少存在一點，使得，又由于，注1：柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，事實上，令，就得到拉格朗日中值定理；2：幾何意義：若用（）表達曲線，則其幾何意義同前一種?！纠?】【例4】