2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)模擬匯編第四講圖形的性質(zhì)(一)

第四講圖形的性質(zhì)（1）一．幾何體的展開(kāi)圖（共1小題）1．（2022?南京一模）如圖是一個(gè)三棱柱和它的側(cè)面展開(kāi)圖，其中線段AB、EF、HI、DC分別表示這個(gè)三棱柱的側(cè)棱，若AD＝16，HD＝4，則AE的長(zhǎng)度可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8二．截一個(gè)幾何體（共2小題）2．（2022?鼓樓區(qū)一模）若用平面分別截下列幾何體：①三棱柱；②三棱錐；③正方體；④圓錐；⑤球，得到的截面可以得到三角形的是．（填寫正確的幾何體前的序號(hào)）3．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，用一個(gè)平面去截一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5、4、3的長(zhǎng)方體，當(dāng)截面（截出的面）的形狀是矩形時(shí)，它的面積的最大值是．三．平行線的性質(zhì)（共1小題）4．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，l1∥l2，若∠1＝20°，則∠2＝．四．三角形三邊關(guān)系（共1小題）5．（2022?南京一模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C為鈍角，則AB的長(zhǎng)的取值范圍是．五．三角形的外角性質(zhì)（共1小題）6．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APC的度數(shù)可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°六．全等三角形的判定（共1小題）7．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC．為證明“等邊對(duì)等角”這一結(jié)論，常添加輔助線AD，通過(guò)證明△ABD和△ACD全等從而得到角相等．下列輔助線添加方法和對(duì)應(yīng)全等判定依據(jù)有錯(cuò)誤的是（）A．角平分線AD，全等依據(jù)SAS B．中線AD，全等依據(jù)SSS C．角平分線AD，全等依據(jù)HL D．高線AD，全等依據(jù)HL七．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）8．（2022?南京二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使得BE＝BC，連接DE．若∠ADE＝38°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．68° B．69° C．71° D．72°八．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）9．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝°．九．等腰三角形的判定（共1小題）10．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．一十．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）11．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形，點(diǎn)B在x軸上，C，D分別是邊AO，AB上的點(diǎn)，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是．一十一．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）12．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，連接AC、BD．M是AC的中點(diǎn)，連接BM、DM．若AC＝10，則△BMD的面積為．一十二．勾股定理（共4小題）13．（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個(gè)月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．414．（2022秋?南京期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝時(shí)，△OAP是等腰三角形．15．（2022?南京一模）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，則AD的長(zhǎng)的最大值為．16．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的點(diǎn)，連接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，設(shè)CD＝x，AC＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為．一十三．勾股定理的逆定理（共1小題）17．（2022?鼓樓區(qū)二模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，BC＝．若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，則所有滿足條件的P組成的區(qū)域的面積為．一十四．三角形中位線定理（共1小題）18．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計(jì)一方法測(cè)量AB的距離，取點(diǎn)C，連接AC、BC，再取它們的中點(diǎn)D、E，測(cè)得DE＝15米，則AB＝米．一十五．平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）19．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長(zhǎng)為．（用含a，b的代數(shù)式表示）20．（2022?南京二模）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是21．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是°．22．（2022?南京一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．一十六．菱形的性質(zhì)（共2小題）23．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝°．24．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，連接OE．若OE＝5，BD＝12，則AC＝．一十七．菱形的判定（共1小題）25．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判斷這個(gè)平行四邊形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD一十八．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過(guò)1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過(guò)1次平移和1次翻折；③經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有3個(gè)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③一十九．矩形的判定（共1小題）27．（2022?鼓樓區(qū)一模）要判斷一個(gè)四邊形的窗框是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）A．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等 B．測(cè)量對(duì)角線是否相等 C．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分 D．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等二十．正方形的性質(zhì)（共3小題）28．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.829．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點(diǎn)．若BD＝2，則EF的長(zhǎng)是．30．（2022?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD與正方形AEFG中，點(diǎn)E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，則∠C＝°．二十一．正方形的判定（共2小題）31．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD（AB＞AD）的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．下列關(guān)于四邊形EFGH的說(shuō)法正確的是（）①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形；③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形；④存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是正方形A．① B．①② C．①②③ D．①②③④32．（2022?南京一模）已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD二十二．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）33．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°二十三．垂徑定理（共1小題）34．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．二十四．圓周角定理（共1小題）35．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過(guò)圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB＝34°，則∠BAC＝．二十五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共2小題）36．（2022?南京一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點(diǎn)，若∠B＝70°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．35° D．20°37．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是．二十六．切線的性質(zhì)（共5小題）38．（2022?南京二模）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AE＝2，CD＝1，以DE為直徑的半圓分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，則DE的長(zhǎng)為．39．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，∠P＝62°，C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（異于A，B），連接CA，CB，則∠C的度數(shù)為°．40．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑AB＝4cm，PB、PC分別與⊙O相切于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AB，AD∥CP，則PB＝cm．41．（2022?南京一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交AD、BC于M、N兩點(diǎn)，與DC切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是．42．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，是利用刻度尺和三角尺測(cè)得圓的直徑的一種方法，從圖中可知圓的直徑是cm，這樣測(cè)量直徑的依據(jù)是．二十七．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）43．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若∠BDE+∠CFE＝110°，則∠A的度數(shù)是°．二十八．正多邊形和圓（共5小題）44．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A、B、C、D、E、F是正n邊形的六個(gè)連續(xù)頂點(diǎn)，AE與CF交于點(diǎn)G，若∠EGF＝30°，則n＝．45．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，正九邊形ABCDEFGHI，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接AM、CG相交于點(diǎn)O．則∠AOG＝．46．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，BD、CE相交于點(diǎn)O．以O(shè)為圓心，OB為半徑畫弧，分別交AB，AE于點(diǎn)M，N．若BC＝2，則的長(zhǎng)為（結(jié)果保留π）．47．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是．48．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，連接AE，C1F相交于點(diǎn)G，則∠AGF的度數(shù)為°．二十九．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共1小題）49．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為4的⊙O上，若∠AOB＝130°，∠OAC＝70°，則的長(zhǎng)為．三十．扇形面積的計(jì)算（共1小題）50．（2022?南京二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交CD于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為．三十一．圓錐的計(jì)算（共8小題）51．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，把矩形紙片ABCD分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓．若它們恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AD：AB為（）A．3：2 B．7：4 C．9：5 D．2：152．（2022?建鄴區(qū)二模）若一個(gè)扇形的半徑是18cm，這個(gè)扇形圍成的圓錐的底面半徑是6cm，則這個(gè)扇形的圓心角等于（）A．110° B．120° C．150° D．100°53．（2022?秦淮區(qū)二模）若一個(gè)圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長(zhǎng)為．54．（2022?建鄴區(qū)二模）圓錐底面半徑長(zhǎng)為6，側(cè)面展開(kāi)扇形的圓心角為120°，則圓錐的母線長(zhǎng)是．55．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開(kāi)并展平，得到一個(gè)扇形．若扇形的半徑R＝6cm，扇形的圓心角θ＝120°，該圓錐的高為cm．56．（2022?鼓樓區(qū)二模）將半徑為5cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面半徑為cm．57．（2022?玄武區(qū)一模）圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面圓的面積為9π，則圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)為°．58．（2022?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）若將一個(gè)圓心角為60°，半徑為4的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為．三十二．命題與定理（共1小題）59．（2022?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，下列命題：①若AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，則四邊形ABCD是平行四邊形；②若OA＝OC，∠ABC＝∠ADC，則四邊形ABCD是平行四邊形；③若AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，則四邊形ABCD是矩形；④若AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝90°，則四邊形ABCD是矩形．其中所有真命題的序號(hào)是．三十三．軌跡（共1小題）60．（2022?鼓樓區(qū)一模）在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）且滿足∠PBC≤∠PCB，則所有點(diǎn)P組成的區(qū)域的面積為．第四講圖形的性質(zhì)（1）參考答案與試題解析一．幾何體的展開(kāi)圖（共1小題）1．（2022?南京一模）如圖是一個(gè)三棱柱和它的側(cè)面展開(kāi)圖，其中線段AB、EF、HI、DC分別表示這個(gè)三棱柱的側(cè)棱，若AD＝16，HD＝4，則AE的長(zhǎng)度可能是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】根據(jù)圖形先求出AE與EH的和，然后設(shè)AE＝x，表示出EH＝12﹣x，然后利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列出不等式組，求解得到AB的取值范圍，即可得解．【解答】解：由圖可知，AD＝AE+EH+HD，∵AD＝16，HD＝4，∴AE+EH＝12，設(shè)AE＝x，則EH＝12﹣x，所以，解不等式①得x＞4，解不等式②得，x＜8，所以，不等式組的解集是4＜x＜8，∴AE長(zhǎng)度的取值范圍是4＜x＜8，∴AE的長(zhǎng)度可能是6．故選：C．二．截一個(gè)幾何體（共2小題）2．（2022?鼓樓區(qū)一模）若用平面分別截下列幾何體：①三棱柱；②三棱錐；③正方體；④圓錐；⑤球，得到的截面可以得到三角形的是①②③④．（填寫正確的幾何體前的序號(hào)）【分析】當(dāng)截面的角度和方向不同時(shí)，球的截面無(wú)論什么方向截取球都不會(huì)截得三角形．【解答】解：①三棱柱能截出三角形；②三棱錐能截出三角形；③正方體能截出三角形；④圓錐沿著母線截幾何體可以截出三角形；⑤球不能截出三角形．故得到的截面可以三角形的是①②③④．故答案為：①②③④．3．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，用一個(gè)平面去截一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為5、4、3的長(zhǎng)方體，當(dāng)截面（截出的面）的形狀是矩形時(shí)，它的面積的最大值是25．【分析】觀察長(zhǎng)方體可知，當(dāng)截面（截出的面）的形狀是矩形時(shí)，它的面積的最大值是長(zhǎng)5，寬為直角邊分別為4、3的三角形斜邊長(zhǎng)的長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形面積公式計(jì)算即可求解．【解答】解：由勾股定理得，＝5，則當(dāng)截面（截出的面）的形狀是矩形時(shí)，它的面積的最大值是5×5＝25．故答案為：25．三．平行線的性質(zhì)（共1小題）4．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，l1∥l2，若∠1＝20°，則∠2＝56°．【分析】連接AC，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到等式∠2+∠ACB＝∠1+∠CAE，據(jù)此可得∠2的度數(shù)．【解答】解：如圖所示，連接AC，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠B＝∠BAE＝108°，∠ACB＝∠CAB＝36°，∴∠CAE＝108°﹣36°＝72°，∵l1∥l2，∴∠2+∠ACB＝∠1+∠CAE，即∠2+36°＝20°+72°，解得∠2＝56°，故答案為：56°．四．三角形三邊關(guān)系（共1小題）5．（2022?南京一模）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若∠C為鈍角，則AB的長(zhǎng)的取值范圍是5＜AB＜7．【分析】由三角形的性質(zhì)可得BC﹣AC＜AB＜AC+BC，將AC、BC的值代入該不等式求出AB的取值范圍．【解答】解：由三角形的性質(zhì)得：BC﹣AC＜AB＜AC+BC（三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊），即：4﹣3＜AB＜4+3，1＜AB＜7．∵∠C為鈍角，∴AB邊最長(zhǎng)，∴5＜AB＜7，故答案為：5＜AB＜7．五．三角形的外角性質(zhì)（共1小題）6．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝55°，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則∠APC的度數(shù)可能是（）A．55° B．62° C．120° D．130°【分析】如圖，連接CP．利用三角形的外角的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：如圖，連接CP．∵AB＝AC，∠A＝55°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣55°）＝62.5°，∵∠APC＝∠B+∠PCB，∴62.5°＜∠APC＜125°，故選：C．六．全等三角形的判定（共1小題）7．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC．為證明“等邊對(duì)等角”這一結(jié)論，常添加輔助線AD，通過(guò)證明△ABD和△ACD全等從而得到角相等．下列輔助線添加方法和對(duì)應(yīng)全等判定依據(jù)有錯(cuò)誤的是（）A．角平分線AD，全等依據(jù)SAS B．中線AD，全等依據(jù)SSS C．角平分線AD，全等依據(jù)HL D．高線AD，全等依據(jù)HL【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【解答】解：A、當(dāng)AD是角平分線時(shí)，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故A不符合題意；B、當(dāng)AD是中線時(shí)，則利用SSS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故B不符合題意；C、當(dāng)AD是角平分線時(shí)，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故C符合題意；D、當(dāng)AD是角平分線時(shí)，則利用SAS可判定△ABD≌△ACD，從而可解，故D不符合題意；故選：C．七．全等三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）8．（2022?南京二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)E，使得BE＝BC，連接DE．若∠ADE＝38°，則∠ADB的度數(shù)是（）A．68° B．69° C．71° D．72°【分析】先證明△BDE≌△BDC（SAS），可得∠BDE＝∠BDC，根據(jù)∠ADB+∠CDB＝180°，即可求出∠ADB的度數(shù)．【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠CBD，在△BDE和△BDC中，，∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BDE＝∠BDC，∵∠ADE＝38°，∴∠BDC＝∠ADB+38°，∴∠ADB+∠ADB+38°＝180°，∴∠ADB＝71°，故選：C．八．線段垂直平分線的性質(zhì)（共1小題）9．（2022秋?南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，若∠EAG＝20°，則∠BAC＝80°或100°．【分析】當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，設(shè)∠BAG＝α，∠CAE＝β，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：∠ABC＝∠EAB＝20°+α，∠C＝∠CAG＝β+20°，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∠BAC＝∠B+20°+∠C，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解答】解：當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，如圖1，設(shè)∠BAG＝α，∠CAE＝β，∵∠EAG＝20°，∴∠EAB＝∠EAG+∠BAG＝20°+α，∠CAG＝∠CAE+∠EAG＝β+20°，∠BAC＝α+β+20°，∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，∴∠ABC＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴α+β+20°+20°+α+β+20°＝180°，∴α+β＝60°，∴∠BAC＝α+β+20°＝60°+20°＝80°；當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，如圖2，∵DE、FG分別垂直平分AB、AC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝∠CAG，∴∠BAC＝∠EAB+∠EAG+∠CAG＝∠B+20°+∠C，∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∴∠B+20°+∠C+∠B+∠C＝180°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°；綜上所述，∠BAC＝80°或100°．故答案為：80°或100°．九．等腰三角形的判定（共1小題）10．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個(gè)點(diǎn)（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若邊OB上有且只有1個(gè)點(diǎn)P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是a＝4或a＞8．【分析】分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＝MN時(shí)，a＝8，即可求出a的取值范圍；②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．【解答】解：①作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P，連接PM，PN，如圖所示：則PM＝PN，此時(shí)△PMN是等腰三角形，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H，當(dāng)MH＞MN，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，∵M(jìn)N＝4，∠AOB＝30°，當(dāng)MH＝4時(shí)，OM＝2MH＝8，∴當(dāng)a＞8時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，②當(dāng)△PMN是等邊三角形時(shí)，滿足條件的點(diǎn)P恰好只有一個(gè)，此時(shí)MN＝MP，∠NMP＝60°，∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，∴OM＝MP＝MN＝4，∴a＝4，綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝4或a＞8，故答案為：a＝4或a＞8．一十．等邊三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）11．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB是等邊三角形，點(diǎn)B在x軸上，C，D分別是邊AO，AB上的點(diǎn)，且CD∥OB，OC＝2AC，若CD＝2，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，3）．【分析】根據(jù)三角形相似，可以求得BO的長(zhǎng)，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)．【解答】解：∵CD∥OB，∴△ACD∽△AOB，∴，∵OC＝2AC，CD＝2，∴AO＝3AC，∴，解得OB＝6，作AE⊥OB于點(diǎn)E，∵△AOB是等邊三角形，∴OE＝OB＝3，OA＝OB＝6，∴AE＝＝＝3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），故答案為：（3，3）．一十一．直角三角形斜邊上的中線（共1小題）12．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，連接AC、BD．M是AC的中點(diǎn)，連接BM、DM．若AC＝10，則△BMD的面積為．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM＝DM＝AC，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠BMD＝2∠BAD，即可得△BDM是等腰直角三角形，即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM＝DM＝AC＝AM＝5，∠MBD＝∠MDB，∠CAB＝∠ABM，∠DAC＝∠ADM，由三角形的外角性質(zhì)得，∠BMC＝∠ABM+∠CAB＝2∠BAC，∠CMD＝∠ADM+∠DAC＝2∠DAC，∴∠BMD＝∠BMC+∠CMD＝2（∠BAC+∠DAC）＝2∠BAD，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BCD＝135°，∴∠BAD＝45°，∴∠BMD＝2∠BAD＝90°，∴S△BMD＝BM?DM＝×5×5＝．故答案為：．一十二．勾股定理（共4小題）13．（2022秋?南京期末）如圖，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AB＝2，以邊AB、AC、BC為直徑畫半圓，其中所得兩個(gè)月形圖案AFCD和BGCE（圖中陰影部分）的面積之和等于（）A．8 B．4 C．2 D．4【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求解AC＝CB＝2，進(jìn)而可求得S△ACB＝2，再利用陰影部分的面積＝以AC為直徑的圓的面積+△ACB的面積﹣以AB為直徑的半圓的面積計(jì)算可求解．【解答】解：在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝2，∴AC2+BC2＝AB2＝8，∴AC＝CB＝2，∴S△ACB＝AC?BC＝2，∴S陰影＝π（）2+S△ACB﹣π（）2＝π+2﹣π＝2，故選：C．14．（2022秋?南京期末）如圖，已知點(diǎn)P是射線OM上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B重合），∠AOM＝45°，OA＝2，當(dāng)OP＝或2或2時(shí)，△OAP是等腰三角形．【分析】分三種情況，當(dāng)OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可求出答案．【解答】解：當(dāng)△AOP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①如圖，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP＝；②如圖，OA＝OP＝2；③如圖，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP＝＝＝2．綜上所述，OP的長(zhǎng)為或2或2．故答案為：或2或2．15．（2022?南京一模）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝60°，DC⊥BC，DC＝BC，則AD的長(zhǎng)的最大值為+．【分析】過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于E，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DE＝CD，設(shè)DC＝BC＝x，AC＝y(tǒng)，則DE＝x，CE＝x，再由勾股定理得AD2＝AE2+DE2＝（y+x）2+（x）2＝x2+y2+xy，當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，AD最大，此時(shí)，△ABC為等邊三角形，則x＝y(tǒng)＝AB＝2，AD2＝x2+y2＝8+4，即可解決問(wèn)題．【解答】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于E，如圖所示：∵∠ACB＝60°，DC⊥BC，∴∠DCE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴DE＝CD，設(shè)DC＝BC＝x，AC＝y(tǒng)，則DE＝x，CE＝＝＝x，∴AE＝AC+CE＝y(tǒng)+x，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2＝AE2+DE2＝（y+x）2+（x）2＝x2+y2+xy，∵（x﹣y）2≥0，∴xy≤（x2+y2），當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，取等號(hào)，∴AD2＝x2+y2+xy≤x2+y2+（x2+y2），∴當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，AD最大，∵∠ACB＝60°，∴AD最大時(shí)，△ABC為等邊三角形，此時(shí)，x＝y(tǒng)＝AB＝2，AD2＝x2+y2+（x2+y2）＝22+22+（22+22）＝8+4，∵AD＞0，∴AD＝+，故答案為：+．16．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓O上的點(diǎn)，連接CD，AC，OD，且AB＝4，OD∥AC，設(shè)CD＝x，AC＝y(tǒng)，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為y＝4﹣x2．【分析】連接BC，交OD于點(diǎn)E，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠OEB∠CED＝90°，根據(jù)勾股定理得出OE＝2﹣x2，根據(jù)題意推出OE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)即可得解．【解答】解：連接BC，交OD于點(diǎn)E，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AC，OA＝OB，∴∠OEB＝∠CED＝∠ACB＝90°，CE＝BE，∴CE2＝CD2﹣DE2，BE2＝OB2﹣OE2，∴CD2﹣DE2＝OB2﹣OE2，∵CD＝x，OB＝OD＝2，∴x2﹣DE2＝22﹣（2﹣DE）2，∴DE＝x2，∴OE＝2﹣x2，∵OA＝OB，CE＝BE，∴OE是△ABC的中位線，∴AC＝2OE，∵AC＝y(tǒng)，∴y＝4﹣x2，故答案為：y＝4﹣x2．一十三．勾股定理的逆定理（共1小題）17．（2022?鼓樓區(qū)二模）在△ABC中，AB＝2，AC＝1，BC＝．若點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部（含邊界）且∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，則所有滿足條件的P組成的區(qū)域的面積為π﹣．【分析】作△ABC，作BC的垂直平分線DE交∠ABC的角平分線BD于點(diǎn)D，作△BCD的外接圓弧，圓心為O，連接OB，OC，OE，利用∠PBC≤∠PCB≤∠PBA，判斷出點(diǎn)P所在區(qū)域，利用扇形COD的面積減去△OCE的面積即可求解．【解答】解：如圖，作△ABC，作BC的垂直平分線DE交∠ABC的角平分線BD于點(diǎn)D，作△BCD的外接圓弧，圓心為O，連接OB，OC，OE，∵AB＝2，AC＝1，BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∵sin∠A＝＝，∴∠A＝60°，∠ABC＝30°，∵∠PBC≤∠PBA，∴點(diǎn)P在BD左側(cè)，∵∠PBC≤∠PCB，∴點(diǎn)P在DE下側(cè)，∵BC＝，∴CE＝，∵∠DBE＝∠ABC＝15°，∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝75°，∴∠BDC＝2∠BDE＝150°，當(dāng)點(diǎn)P在圓弧CD上時(shí)，∠BPC＝∠BDC＝150°，∴∠PBC+∠PCB＝30°，∵∠PBC+∠PBA＝30°，∴∠PCB＝∠PBA，∵∠PCB≤∠PBA，∴點(diǎn)P在圓弧內(nèi)側(cè)，∵OB＝OC＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝75°，∴∠OBE＝60°，∴△OBC為等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝，∠OCD＝30°，在Rt△OCE中，由勾股定理可得：OE＝＝，∴S扇形OCD＝π?OB2＝π，S△OCE＝CE?OE＝，∴點(diǎn)P組成的區(qū)域的面積為π﹣，故答案為：π﹣．一十四．三角形中位線定理（共1小題）18．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB是池塘兩端，設(shè)計(jì)一方法測(cè)量AB的距離，取點(diǎn)C，連接AC、BC，再取它們的中點(diǎn)D、E，測(cè)得DE＝15米，則AB＝30米．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理得出AB＝2DE，再代入求出答案即可．【解答】解：連接AB，∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE＝AB，即AB＝2DE，∵DE＝15米，∴AB＝30（米），故答案為：30．一十五．平行四邊形的性質(zhì)（共4小題）19．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在?ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分線分別交AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．若AB＝a，CF＝b，則BE的長(zhǎng)為．（用含a，b的代數(shù)式表示）【分析】過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，連接AH，AH交BE于O，證四邊形ABHE是菱形，得AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，再證四邊形AHCF是平行四邊形，得AH＝CF＝b，則OA＝AH＝，然后由勾股定理得OB＝，即可得出結(jié)論．【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB交BC于H，連接AH，AH交BE于O，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠AEB＝∠EBH，四邊形ABHE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBH，∴AB＝AE，∴四邊形ABHE是菱形，∴AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，∴∠AHB＝∠HAD＝∠BAD，∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠BCD，∴∠AHB＝∠FCB，∴AH∥CF，∴四邊形AHCF是平行四邊形，∴AH＝CF＝b，∴OA＝AH＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝，∴BE＝2OB＝，故答案為：．20．（2022?南京二模）在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），則點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，6）【分析】利用平行四邊形的判定可得結(jié)論．【解答】解：∵?ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（5，6），故答案為：（5，6）．21．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，正六邊形ABCDEF與平行四邊形GHMN的位置如圖所示，若∠ABG＝19°，則∠NMD的度數(shù)是41°．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得GH∥MN，則∠NMD＝∠H，再由正六邊形的性質(zhì)得∠ABC＝∠BCD＝120°，則∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，然后由三角形的外角性質(zhì)得∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝41°，即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵四邊形GHMN是平行四邊形，∴GH∥MN，∴∠NMD＝∠H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×＝120°，∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，∴∠NMD＝41°，故答案為：41．22．（2022?南京一模）如圖Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)，連接PA，以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接PQ，則PQ的最小值為．【分析】以PA，PC為鄰邊作平行四邊形PAQC，由平行四邊形的性質(zhì)可知O是AC中點(diǎn)，PQ最短也就是PO最短，所以應(yīng)該過(guò)O作BC的垂線P′O，然后根據(jù)△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∵四邊形APCQ是平行四邊形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴過(guò)O作BC的垂線OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴，∴＝，∴OP′＝，∴則PQ的最小值為2OP′＝，故答案為：．一十六．菱形的性質(zhì)（共2小題）23．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，菱形ABCD和正五邊形AEFGH，F(xiàn)，G分別在BC，CD上，則∠1﹣∠2＝36°．【分析】過(guò)M作EM∥BC，由正五邊形的性質(zhì)得∠AEF＝∠EAH＝108°，再由菱形的性質(zhì)得AD∥BC，則AD∥EM，然后由平行線的性質(zhì)得∠2＝72°﹣∠AEM，∠1＝108°﹣∠AEM，即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，過(guò)M作EM∥BC，∵五邊形AEFGH是正五邊形，∴∠AEF＝∠EAH＝×（5﹣2）×180°＝108°，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AD∥EM，∴∠AEM+∠DAE＝180°，即∠AEM+∠2+∠EAH＝180°，∴∠2＝180°﹣∠AEM﹣∠EAH＝180°﹣∠AEM﹣108°＝72°﹣∠AEM，∵EM∥BC，∴∠1+∠AEM＝108°，∴∠1＝108°﹣∠AEM，∴∠1﹣∠2＝108°﹣∠AEM﹣（72°﹣∠AEM）＝108°﹣∠AEN﹣72°+∠AEM＝36°，故答案為：36．24．（2022?鼓樓區(qū)一模）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，連接OE．若OE＝5，BD＝12，則AC＝16．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得OE是Rt△DOC斜邊上的中線，由此可求出DC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵菱形ABCD對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴DO⊥CO，DO＝BO＝BD＝6，∵E是DC邊上的中點(diǎn)，∴OE＝DC，∴DC＝10，∴OC＝＝8，∴AC＝2OC＝16，故答案為：16．一十七．菱形的判定（共1小題）25．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，下列條件中，不能判斷這個(gè)平行四邊形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)．菱形的判定方法即可一一判斷．【解答】解：A、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A選項(xiàng)不符合題意；B、對(duì)角線平分對(duì)角的平行四邊形是菱形，故B選項(xiàng)不符合題意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能夠判斷這個(gè)平行四邊形是菱形，故C選項(xiàng)符合題意；D、對(duì)角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．一十八．菱形的判定與性質(zhì)（共1小題）26．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD與菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD經(jīng)過(guò)怎樣的圖形變化得到？下列結(jié)論：①經(jīng)過(guò)1次平移和1次旋轉(zhuǎn)；②經(jīng)過(guò)1次平移和1次翻折；③經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)共有3個(gè)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】依據(jù)旋轉(zhuǎn)變換以及軸對(duì)稱變換，分別畫圖可得結(jié)論．【解答】解：①如圖1，先將菱形ABCD向右平移，再繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形AEFG，故①正確；②如圖2，將菱形ABCD先平移，再沿直線l翻折可得菱形AEFG，故②正確；③如圖3，經(jīng)過(guò)1次旋轉(zhuǎn)，且平面內(nèi)可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點(diǎn)有A和G，共有2個(gè)，故③不正確；故選：A．一十九．矩形的判定（共1小題）27．（2022?鼓樓區(qū)一模）要判斷一個(gè)四邊形的窗框是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）A．測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等 B．測(cè)量對(duì)角線是否相等 C．測(cè)量對(duì)角線是否互相平分 D．測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等【分析】由平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、測(cè)量對(duì)角線是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、測(cè)量對(duì)角線是否互相平分，可以判定為平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、測(cè)量對(duì)角線交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D．二十．正方形的性質(zhì)（共3小題）28．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，P是正方形ABCD的邊AD上一點(diǎn)，連接PB，PC，則tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8【分析】點(diǎn)P在正方形邊AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)D重合時(shí)，∠BPC最小，此時(shí)tan∠BPC的值也最小，此時(shí)tan∠BPC＝tan45°＝1；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，∠BPC最大，此時(shí)tan∠BPC的值也最大，取AD中點(diǎn)P′，連接BP′，CP′，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CP′于點(diǎn)E，證明△BCE∽△CP′D，然后得到1≤tan∠BPC≤，進(jìn)而可以進(jìn)行判斷．【解答】解：點(diǎn)P在正方形邊AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與點(diǎn)A或點(diǎn)D重合時(shí)，∠BPC最小，此時(shí)tan∠BPC的值也最小，此時(shí)tan∠BPC＝tan45°＝1；當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，∠BPC最大，此時(shí)tan∠BPC的值也最大，如圖，取AD中點(diǎn)P′，連接BP′，CP′，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CP′于點(diǎn)E，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則AP′＝DP′＝，∴BP′＝＝＝，同理CP′＝＝＝，∵BE⊥CP′，∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，∴∠BCE＝∠CP′D，∴△BCE∽△CP′D，∴＝＝，∴＝＝，∴BE＝，CE＝，∴P′E＝CP′﹣CE＝﹣＝，∴tan∠BP′C＝＝×＝，∴1≤tan∠BPC≤，∴tan∠BPC的值可能是1.2，故選B．29．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點(diǎn)．若BD＝2，則EF的長(zhǎng)是1．【分析】連接AC，由題意可得，EF是△ABC的中位線，所以EF＝AC，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，AC＝BD＝2．從而求出EF的長(zhǎng)．【解答】解：連接AC，如圖所示，∵四邊形ABCD是正方形．∴AC＝BD＝2．∵E，F(xiàn)分別是BA，BC的中點(diǎn)．∴EF是△ABC的中位線．∴EF＝AC＝×2＝1．故答案為：1．30．（2022?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD與正方形AEFG中，點(diǎn)E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，則∠C＝115°．【分析】由條件可求得∠BEA，在△ABE中由三角形內(nèi)角和定理可求得∠B，再利用平行四邊形的性質(zhì)可求得∠C．【解答】解：∵四邊形AEFG為正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠CEF＝90°﹣13°＝77°，∵∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，∴∠B＝180°﹣38°﹣77°＝65°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B＝115°，故答案為：115．二十一．正方形的判定（共2小題）31．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形ABCD（AB＞AD）的四條邊上，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH．下列關(guān)于四邊形EFGH的說(shuō)法正確的是（）①存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是平行四邊形；②存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形；③存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形；④存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是正方形A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，正方形的判定，平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【解答】解：①如圖，∵四邊形ABCD是矩形，連接AC，BD交于O，過(guò)點(diǎn)O直線EG和HF，分別交AB，BC，CD，AD于E，F(xiàn)，G，H，則四邊形EFGH是平行四邊形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是平行四邊形；故①正確；②如圖，當(dāng)EG＝HF時(shí)，四邊形EFGH是矩形，故存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是矩形；故②正確；③如圖，當(dāng)EG⊥HF時(shí)，存在無(wú)數(shù)個(gè)四邊形EFGH是菱形；故③正確；④當(dāng)四邊形EFGH是正方形時(shí)，EH＝EF，則△AEH≌△BFE（AAS），∴AH＝BE，AE＝BF，∵BF＝DH，∴AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，四邊形EFGH是正方形，故④錯(cuò)誤；故選：C．32．（2022?南京一模）已知四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD【分析】先判斷四邊形ABCD是矩形，由正方形的判定可直接判斷D正確．【解答】解：在四邊形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形ABCD為矩形，而判斷矩形是正方形的判定定理為：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D正確，故選：D．二十二．圓的認(rèn)識(shí)（共1小題）33．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在扇形AOB中，D為上的點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)與OB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，若CD＝OA，∠O＝75°，則∠A的度數(shù)為（）A．35° B．52.5° C．70° D．72°【分析】連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，由于CD＝OA＝OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠DOC＝n，則利用三角形外角性質(zhì)得到∠ADO＝2n，所以∠A＝2n，然后利用三角形內(nèi)角和定理得到75°+n+2n＝180°，然后解方程求出n，從而得到∠A的度數(shù)．【解答】解：連接OD，如圖，設(shè)∠C的度數(shù)為n，∵CD＝OA＝OD，∴∠C＝∠DOC＝n，∴∠ADO＝∠DOC+∠C＝2n，∴OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝2n，∵∠AOC+∠C+∠A＝180°，∠AOC＝75°，∴75°+n+2n＝180°，解得n＝35°，∴∠A＝2n＝70°．故選：C．二十三．垂徑定理（共1小題）34．（2022?南京一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)圓與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B、C、D四點(diǎn)．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣4）．【分析】設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，先根據(jù)垂徑定理可得EA＝EB＝4，F(xiàn)C＝FD，進(jìn)而可求出OE＝2，再設(shè)P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程即可求出m值，進(jìn)而可得點(diǎn)D坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)圓心為P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，則EA＝EB＝＝4，F(xiàn)C＝FD，∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，∴E（2，0），設(shè)P（2，m），則F（0，m），連接PC、PA，在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，在Rt△APE中，PA2＝m2+42，∵PA＝PC，∴（3﹣m）2+22＝m2+42，∴m＝﹣，∴F（0，），∴CF＝DF＝＝，∴OD＝OF+DF＝＝4，∴D（0，﹣4），解法二：連接AC，BD，則△ACO∽△DOB，∴＝，∵OB＝2，OC＝3，OA＝6，∴OD＝4故答案為：（0，﹣4）．二十四．圓周角定理（共1小題）35．（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC為弦，過(guò)圓心O作OD⊥BC交弧BC于點(diǎn)D，連接DC，若∠DCB＝34°，則∠BAC＝68°．【分析】由圓周角定理可知，∠BOD＝2∠DCB＝68°，由AB為直徑可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行線的性質(zhì)可求∠BAC．【解答】解：∵∠BOD與∠DCB為所對(duì)的圓心角和圓周角，∠DCB＝34°，∴∠BOD＝2∠DCB＝68°，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，∴∠BAC＝∠BOD＝68°，故答案為：68°．二十五．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（共2小題）36．（2022?南京一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，D是的中點(diǎn)，若∠B＝70°，則∠CAD的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．35° D．20°【分析】根據(jù)∠B度數(shù)求出的度數(shù)，再求出的度數(shù)，再求出∠CAD的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠B＝70°，∴的度數(shù)是140°，∵D是的中點(diǎn)，∴和的度數(shù)都是70°，∴∠CAD＝70°＝35°，故選：C．37．（2022?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是30o．【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BAD＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故答案為：30°．二十六．切線的性質(zhì)（共5小題）38．（2022?南京二模）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AE＝2，CD＝1，以DE為直徑的半圓分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，則DE的長(zhǎng)為10．【分析】設(shè)以DE為直徑的半圓的圓心為O，半徑為r，過(guò)D作DH⊥AB于H，交⊙O于J，連接EJ，OG交DH于M，得到∠DJE＝∠OMH＝90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BH＝CD＝1，EJ＝AH，HJ＝AE＝2，AE∥OF∥DH，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BF＝BG＝OF＝r，求得DH＝2r﹣2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)以DE為直徑的半圓的圓心為O，半徑為r，過(guò)D作DH⊥AB于H，交⊙O于J，連接EJ，OG交DH于M，∴∠DJE＝∠OMH＝90°，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四邊形AHJE，四邊形BCDH，四邊形BGOF是矩形，∴BH＝CD＝1，EJ＝AH，HJ＝AE＝2，AE∥OF∥DH，∵OF＝OG，∴四邊形BGOF是正方形，∵⊙O分別與AB、BC相切于點(diǎn)F、G，∴BF＝BG＝OF＝r，∵AE∥OF∥DH，OE＝OD，∴AF＝FH＝r﹣1，∴OF是梯形AHDE的中位線，∴DH+2＝2r，∴DH＝2r﹣2，∴DJ＝2r﹣4，∴EJ＝AH＝2r﹣2，在Rt△DEJ中，EJ2+DJ2＝DE2，即（2r﹣2）2+（2r﹣4）2＝（2r）2，解得：r＝5，或r＝1（舍去），∴DE＝2r＝10．39．（2022?玄武區(qū)二模）如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點(diǎn)，∠P＝62°，C是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（異于A，B），連接CA，CB，則∠C的度數(shù)為59或121°．【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和得到∠AOB＝118°，然后根據(jù)圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求∠ACB的度數(shù)．【解答】解：連接OA，OB，∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，而∠P＝62°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣62°＝118°，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上，則∠ACB＝∠AOB＝59°，當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上，則∠ACB＝180°﹣59°＝121°．故答案為：59或121．40．（2022?建鄴區(qū)一模）如圖，⊙O的直徑AB＝4cm，PB、PC分別與⊙O相切于B、C兩點(diǎn)，弦CD∥AB，AD∥CP，則PB＝2cm．【分析】連接AC，OD，PO，OC，OC與AD交于E，根據(jù)切線的性質(zhì)得到＝PB，∠PCO＝90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AO＝CD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CD＝OA，推出△AOC與△COD是等邊三角形，得到∠AOC＝∠COD＝60°，求得點(diǎn)D在OP上，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接AC，OD，PO，OC，OC與AD交于E，∵PB、PC分別與⊙O相切于B、C兩點(diǎn)，∴PC＝PB，∠PCO＝90°，∴∠PCD+∠OCD＝90°，∵AD∥PC，∴∠PCD＝∠ADC，∴∠ADC+∠DCO＝90°，∴∠CED＝90°，∴AE＝DE，∵CD∥AB，∴∠CDE＝∠OAD，∠DCO＝∠AOC，∴△AOE≌△DCE（AAS），∴AO＝CD，∴四邊形AODC是平行四邊形，∴CD＝OA，∴△AOC與△COD是等邊三角形，∴∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOP＝60°，∵∠PCO＝∠PBO＝90°，∠CPO＝∠BPO，∴∠COP＝∠BOP，∵∠COB＝120°，∴∠COP＝∠BOP＝60°，∴點(diǎn)D在OP上，∵AB＝4cm，∴OB＝2cm，∴PB＝OB＝2（cm），故答案為：2．41．（2022?南京一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，以E為圓心，3為半徑作圓，分別交AD、BC于M、N兩點(diǎn)，與DC切于P點(diǎn)．則圖中陰影部分的面積是9﹣．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE和∠AEM，根據(jù)勾股定理求出AM，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：由題意得，AE＝AB＝ME＝，∵∠A＝90°，∴∠AME＝30°，AM＝，∴∠AEM＝60°，同理，∠BEN＝60°，∴∠MEN＝60°，陰影部分的面積＝＝9﹣，故答案為：9﹣．42．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，是利用刻度尺和三角尺測(cè)得圓的直徑的一種方法，從圖中可知圓的直徑是4cm，這樣測(cè)量直徑的依據(jù)是圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；矩形的判定與性質(zhì)．【分析】如圖，⊙O與兩尺的直角邊分別切于A、B，兩尺的直角邊與刻度尺的垂直，垂足分別為C、D，連接OA、OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AC，OB⊥BD，利用垂線公理判斷點(diǎn)A、O、B共線，然后利用四邊形ABDC為矩形得到AB＝CD．【解答】解：如圖，⊙O與兩尺的直角邊分別切于A、B，兩尺的直角邊與刻度尺的垂直，垂足分別為C、D，連接OA、OB，則OA⊥AC，OB⊥BD，∵AC∥BD，∴點(diǎn)A、O、B共線，即AB為⊙O的直徑，∴四邊形ABDC為矩形，∴AB＝CD＝7.5﹣3.5＝4（cm）．故答案為4；圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；矩形的判定與性質(zhì)．二十七．三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心（共1小題）43．（2022?秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，與AB，BC，CA的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，若∠BDE+∠CFE＝110°，則∠A的度數(shù)是40°．【分析】連接OD，OE，OF，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OD，OE，OF，∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∴∠ODB＝∠ODA＝90°，∠CFO＝∠AFO＝90°，∵∠BDE+∠CFE＝110°，∴∠ODE+∠OFE＝180°﹣110°＝70°，∵OD＝OE，OF＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∠OFE＝∠OEF，∴∠OED+∠OEF＝∠ODE+∠OFE＝70°，∴∠DEF＝70°，∴∠DOF＝2∠DEF＝140°，∴∠A＝360°﹣∠ADO﹣∠AFO﹣∠DOF＝40°，故答案為：40．二十八．正多邊形和圓（共5小題）44．（2022?雨花臺(tái)區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A、B、C、D、E、F是正n邊形的六個(gè)連續(xù)頂點(diǎn)，AE與CF交于點(diǎn)G，若∠EGF＝30°，則n＝18．【分析】連接CE，用n表示出正n邊形的中心角，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)列出方程，解方程求出n．【解答】解：連接CE，正n邊形的中心角的度數(shù)為：，則∠ECF＝×，∠AEC＝，∵∠EGF＝30°，∴∠ECF+∠AEC＝30°，∴×+＝30°，解得：n＝18，故答案為：18．45．（2022?建鄴區(qū)二模）如圖，正九邊形ABCDEFGHI，點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，連接AM、CG相交于點(diǎn)O．則∠AOG＝110°．【分析】根據(jù)正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算的方法計(jì)算∠CAM，∠ACG，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，設(shè)這個(gè)正九邊形的外接圓為⊙O′，連接AC，由正多邊形的中心角的計(jì)算方法可得，這個(gè)這個(gè)九邊形的中心角為＝40°，由圓周角定理可得∠ACG＝（40°×3）＝60°，∠CAM＝（40°×2.5）＝50°，∴∠AOG＝∠CAM+∠ACG＝110°，故答案為：110°．46．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，BD、CE相交于點(diǎn)O．以O(shè)為圓心，OB為半徑畫弧，分別交AB，AE于點(diǎn)M，N．若BC＝2，則的長(zhǎng)為π（結(jié)果保留π）．【分析】根據(jù)在正五邊形ABCDE，計(jì)算出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，由此可得三角形BCD和三角形CDE是等腰三角形，得到BC的長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到答案．【解答】解：連接OM、ON，∵正五邊形ABCDE，∴正五邊形ABCDE的每個(gè)內(nèi)角為：540°÷5＝108°，∴∠CDB＝∠BDC＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∠BCO＝180°﹣36°＝72°，∴∠BOC＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠BOC＝∠BCO，∴△BCO為等腰三角形，∴BC＝BO＝2，∴∠BOE＝180°﹣∠BOC＝108°，∴∠ABO＝108°﹣∠CBO＝108°﹣36°＝72°，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠BMO＝72°，∴∠BOM＝180°﹣∠OBM﹣∠OMB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，同理可得：∠NOE＝36°，∴∠MON＝108°﹣∠BOM﹣∠NOE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，∴＝＝，故答案為：．47．（2022?南京一模）如圖，在正五邊形ABCDE中，M是AB的中點(diǎn)，連接AC，DM交于點(diǎn)N，則∠CND的度數(shù)是54°．【分析】連接BD，AD，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝＝108°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DM⊥AB，求得∠AMN＝90°，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD，AD，在正五邊形ABCDE中，AB＝BC＝CD＝AE＝DE，∠BCD＝∠E，∠ABC＝＝108°，∴（180°﹣108°）＝36°，在△BCD與△AED中，，∴△BCD≌△AED（SAS），∴BD＝AD，∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴BM＝AM，∴DM⊥AB，∴∠AMN＝90°，∴∠CND＝∠ANM＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54°．48．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，連接AE，C1F相交于點(diǎn)G，則∠AGF的度數(shù)為78°．【分析】連接OA，OB1，OC1，根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得到∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，根據(jù)圓周角定理得到∠AFC1＝AOC1＝72°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠GAF＝30°，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接OA，OB1，OC1，∵點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF和正五邊形AB1C1D1E1的中心，∴∠AOB1＝∠B1OC1＝＝72°，∴∠AOC1＝144°，∴∠AFC1＝AOC1＝72°，∵AF＝EF，∠AFE＝120°，∴∠GAF＝30°，∴∠AGF＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣30°﹣72°＝78°，故答案為：78．二十九．弧長(zhǎng)的計(jì)算（共1小題）49．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，點(diǎn)A，B，C在半徑為4的⊙O上，若∠AOB＝130°，∠OAC＝70°，則的長(zhǎng)為2π．【分析】連接CO，等腰三角形AOC中求出∠AOC的度數(shù)，進(jìn)而得到∠BOC，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【解答】解：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠AOC＝40°，∴∠COB＝130°﹣40°＝90°，∴的長(zhǎng)為．故答案為2π．三十．扇形面積的計(jì)算（共1小題）50．（2022?南京二模）如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧交CD于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為．【分