新高考數(shù)學二輪復習重點突破訓練第25講 數(shù)形結(jié)合思想（含解析）

數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學問題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學科的命題，在考查基礎知識的基礎上，注重對數(shù)學思想思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查”，靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學技能?！皩?shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)學知識相結(jié)合”，用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時學習時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅實的知識基礎。函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數(shù)助形”，還有導數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了“數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。在數(shù)學學習和解題過程中，要善于運用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”。數(shù)形結(jié)合，數(shù)形轉(zhuǎn)化常從一下幾個方面：（1）集合的運算及文氏圖（2）函數(shù)圖象，導數(shù)的幾何意義（3）解析幾何中方程的曲線（4）數(shù)形轉(zhuǎn)化，以形助數(shù)的還有：數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、三角函數(shù)線或數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征等；取值范圍，最值問題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問題等等，許多問題還可以通過換元轉(zhuǎn)化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。應用一：數(shù)學文化中的數(shù)形結(jié)合一、單選題1．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，在數(shù)學學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，如函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】解：對于函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故符合題意的只有D.故選：D2．華羅庚是享譽世界的數(shù)學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”．告知我們把“數(shù)”與“形”，“式”與“圖”結(jié)合起來是解決數(shù)學問題的有效途徑．若函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的大致圖象如圖，則函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，求得SKIPIF1<0，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及圖象變換，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，可得SKIPIF1<0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與性質(zhì)，結(jié)合圖象變換向下移動SKIPIF1<0個單位，可得函數(shù)SKIPIF1<0的圖象只有選項C符合.故選：C.3．我國著名數(shù)學家華歲庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，結(jié)合函數(shù)的值的情況，即可判斷答案.【詳解】由題意知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，函數(shù)滿足SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，圖象在x軸上方，故A錯誤，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，圖象在x軸下方，故SKIPIF1<0錯誤,結(jié)合函數(shù)的奇偶性可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，符合題意的圖象只有C中圖象，故選：C．4．我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)無形時少直觀，形無數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和特殊點的函數(shù)值，即可得解．【詳解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱，排除選項B、D；對SKIPIF1<0故可排除選項C．故選：A．5．分形是由混沌方程組成，其最大的特點是自相似性：當我們拿出圖形的一部分時，它與整體的形狀完全一樣，只是大小不同.謝爾賓斯基地毯是數(shù)學家謝爾賓斯基提出的一個分形圖形，它的構(gòu)造方法是：將一個正方形均分為9個小正方形，再將中間的正方形去掉，稱為一次迭代；然后對余下的8個小正方形做同樣操作，直到無限次.如圖，進行完二次迭代后的謝爾賓斯基地毯如圖，從正方形SKIPIF1<0內(nèi)隨機取一點，該點取自陰影部分的概率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】設大正方形的邊長為9，分別求出對應區(qū)域的面積，結(jié)合幾何概型的概率公式進行計算即可．【詳解】解：設大正方形的邊長為9，則每個小正方形的邊長為1，則大正方形的面積為SKIPIF1<0，則每個小正方形的面積為1，則所有黑色正方形的面積之和為SKIPIF1<0，則該點取自陰影部分的概率為SKIPIF1<0.故選：B.二、解答題6．設計一個印有“紅十字”logo的正方形旗幟SKIPIF1<0（如圖）.要求“紅十字”logo居中，其突出邊緣之間留空寬度均為2cm，“紅十字”logo的面積（陰影部分）為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的長度不小于SKIPIF1<0的長度.記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)試用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0，并求出SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當SKIPIF1<0為多少時，可使正方形SKIPIF1<0的面積最??？參考結(jié)論：函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）根據(jù)面積列出等式進行求解即可；（2）根據(jù)題意得到SKIPIF1<0面積表達式，結(jié)合（1）的結(jié)論和題中所給函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】（1）由題意可知：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0的長度不小于SKIPIF1<0的長度，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）設正方形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要想正方形SKIPIF1<0的面積最小，只需SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0，因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是減函數(shù)，因此當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值，即SKIPIF1<0有最小值，因此正方形SKIPIF1<0的面積最小.應用二：函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合一、單選題1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的概念結(jié)合條件分析即得.【詳解】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當x=0時有兩個函數(shù)值與之對應，所以C錯誤.故選：C.2．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法及奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，排除A；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除D；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（當且僅當SKIPIF1<0時等號成立）即SKIPIF1<0，排除B；所以C正確.故選：C.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對應的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用分類討論思想，根據(jù)函數(shù)值的符號，及變化，分別對四個選項判斷即可求解.【詳解】對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0正確；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤，故選：SKIPIF1<0.4．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)SKIPIF1<0的定義域與奇偶性，結(jié)合基本不等式以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，排除ABC選項.故選：D.5．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由SKIPIF1<0可排除C，D，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0可排除A，即可得正確答案.【詳解】由SKIPIF1<0可排除C，D；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除A.故選：B.6．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進行排除可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，排除A,B選項；易知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.故選：C.7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0圖像與SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，由SKIPIF1<0的圖像即可得出結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0圖像與SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，由SKIPIF1<0解析式，作出SKIPIF1<0的圖像如圖.從而可得SKIPIF1<0圖像為D選項.故選：D.8．已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】存在點使一個SKIPIF1<0與兩個SKIPIF1<0對應，A錯誤；當SKIPIF1<0時，沒有與之對應的SKIPIF1<0，B錯誤；SKIPIF1<0的范圍超出了集合SKIPIF1<0的范圍，C錯誤；選項D滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確，得到答案.【詳解】對選項A：存在點使一個SKIPIF1<0與兩個SKIPIF1<0對應，不符合，排除；對選項B：當SKIPIF1<0時，沒有與之對應的SKIPIF1<0，不符合，排除；對選項C：SKIPIF1<0的范圍超出了集合SKIPIF1<0的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D9．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)奇偶性定義推得SKIPIF1<0為奇函數(shù)，排除AB；再由SKIPIF1<0排除C，從而得解.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域關(guān)于原點對稱，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的圖像關(guān)于原點對稱，排除AB；又SKIPIF1<0，排除C；因為排除了選項ABC，而選項D的圖像滿足上述SKIPIF1<0的性質(zhì)，故D正確.故選：D.二、解答題10．已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．(1)設關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，在如圖所示的坐標系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，并寫出SKIPIF1<0的最小值（無需過程）；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)圖象見解析，最小值為0；(2)答案見解析【分析】（1）利用描點法即可得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，進而得到SKIPIF1<0的最小值；（2）按k分類討論，即可求得該一元二次不等式的解集.【詳解】（1）k＝1時，SKIPIF1<0的圖象如圖所示：當x＝－1時，函數(shù)SKIPIF1<0取得最小值0．（2）因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①當k＞2時，可得SKIPIF1<0；②當k＝2時，可得x＝0；③當k＜2時，可得SKIPIF1<0．綜上所述：當k＜2時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當k＝2時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當k＞2時，不等式的解集為SKIPIF1<0．應用三：數(shù)形結(jié)合在三角函數(shù)中的應用一、單選題1．下面圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的概念結(jié)合條件分析即得.【詳解】因為由函數(shù)的概念可知，一個自變量對應唯一的一個函數(shù)值，故ABD正確；選項C中，當x=0時有兩個函數(shù)值與之對應，所以C錯誤.故選：C.2．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法及奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，排除A；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除D；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（當且僅當SKIPIF1<0時等號成立）即SKIPIF1<0，排除B；所以C正確.故選：C.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對應的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用分類討論思想，根據(jù)函數(shù)值的符號，及變化，分別對四個選項判斷即可求解.【詳解】對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0正確；對于SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項SKIPIF1<0錯誤，故選：SKIPIF1<0.4．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析函數(shù)SKIPIF1<0的定義域與奇偶性，結(jié)合基本不等式以及排除法可得出合適的選項.【詳解】對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0為奇函數(shù)，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，排除ABC選項.故選：D.5．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由SKIPIF1<0可排除C，D，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0可排除A，即可得正確答案.【詳解】由SKIPIF1<0可排除C，D；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，排除A.故選：B.6．函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進行排除可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為偶函數(shù)，排除A,B選項；易知當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以D不正確.故選：C.7．已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0圖像與SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，由SKIPIF1<0的圖像即可得出結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0圖像與SKIPIF1<0的圖像關(guān)于SKIPIF1<0軸對稱，由SKIPIF1<0解析式，作出SKIPIF1<0的圖像如圖.從而可得SKIPIF1<0圖像為D選項.故選：D.8．已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，下列圖象能建立從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】存在點使一個SKIPIF1<0與兩個SKIPIF1<0對應，A錯誤；當SKIPIF1<0時，沒有與之對應的SKIPIF1<0，B錯誤；SKIPIF1<0的范圍超出了集合SKIPIF1<0的范圍，C錯誤；選項D滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確，得到答案.【詳解】對選項A：存在點使一個SKIPIF1<0與兩個SKIPIF1<0對應，不符合，排除；對選項B：當SKIPIF1<0時，沒有與之對應的SKIPIF1<0，不符合，排除；對選項C：SKIPIF1<0的范圍超出了集合SKIPIF1<0的范圍，不符合，排除；對選項D：滿足函數(shù)關(guān)系的條件，正確.故選：D9．函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先由函數(shù)奇偶性定義推得SKIPIF1<0為奇函數(shù)，排除AB；再由SKIPIF1<0排除C，從而得解.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定義域關(guān)于原點對稱，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，則SKIPIF1<0的圖像關(guān)于原點對稱，排除AB；又SKIPIF1<0，排除C；因為排除了選項ABC，而選項D的圖像滿足上述SKIPIF1<0的性質(zhì)，故D正確.故選：D.二、解答題10．已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．(1)設關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，在如圖所示的坐標系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，并寫出SKIPIF1<0的最小值（無需過程）；(2)求不等式SKIPIF1<0的解集．【答案】(1)圖象見解析，最小值為0；(2)答案見解析【分析】（1）利用描點法即可得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，進而得到SKIPIF1<0的最小值；（2）按k分類討論，即可求得該一元二次不等式的解集.【詳解】（1）k＝1時，SKIPIF1<0的圖象如圖所示：當x＝－1時，函數(shù)SKIPIF1<0取得最小值0．（2）因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．①當k＞2時，可得SKIPIF1<0；②當k＝2時，可得x＝0；③當k＜2時，可得SKIPIF1<0．綜上所述：當k＜2時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當k＝2時，不等式的解集為SKIPIF1<0；當k＞2時，不等式的解集為SKIPIF1<0．應用四：數(shù)形結(jié)合在圓錐曲線中的應用一、單選題1．如圖，在圓柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是母線SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是上底面上的動點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0的軌跡長度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】作SKIPIF1<0，由圓柱的結(jié)構(gòu)特征和線面垂直的判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0點軌跡是平面SKIPIF1<0與上底面的交線SKIPIF1<0，結(jié)合勾股定理可求得SKIPIF1<0長，即為所求軌跡長度.【詳解】連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0與上底面交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是母線SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.2．中國自古就有“橋的國度”之稱，福建省寧德市保留著50多座存世幾十年甚至數(shù)百年的木拱廊橋，堪稱木拱廊橋的寶庫.如圖是某木拱廊橋的剖面圖SKIPIF1<0是拱骨，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰的拱步之比分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用題中關(guān)系建立等式求解即可.【詳解】由題可知SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故選:B二、多選題3．如圖所示，在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，則下列命題中正確的是（

）A．若點SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運動，它到直線SKIPIF1<0的距離與到直線SKIPIF1<0的距離之比為2，則動點SKIPIF1<0的軌跡是圓B．若點SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運動，它到直線SKIPIF1<0的距離與到面SKIPIF1<0的距離之比為2，則動點SKIPIF1<0的軌跡是橢圓C．若點SKIPIF1<0在側(cè)面SKIPIF1<0所在的平面上運動，它到直線SKIPIF1<0的距離與到直線SKIPIF1<0的距離相等，則動點SKIPIF1<0的軌跡是拋物線D．若點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0分別是直線SKIPIF1<0上的動點，則SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】對于選項A，建立如圖所示的直角坐標系，由題得SKIPIF1<0，代入坐標化簡即得解；對于選項B，代入坐標化簡SKIPIF1<0即得解；對于選項C，代入坐標化簡SKIPIF1<0即得解；對于選項D，對任意的點SKIPIF1<0，固定點SKIPIF1<0時，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，即SKIPIF1<0最小，把平面SKIPIF1<0翻起來，使之和平面SKIPIF1<0在同一個平面，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，即得解.【詳解】對于選項A，建立如圖所示的直角坐標系，則SKIPIF1<0設SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0,同理點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，它表示圓，所以該選項正確；對于選項B，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足為SKIPIF1<0,因為平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是雙曲線，所以該選項錯誤；對于選項C，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離就是SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡是拋物線，所以該選項正確；對于選項D，對任意的點SKIPIF1<0，固定點SKIPIF1<0時，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由于SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.如下圖，把平面SKIPIF1<0翻起來，使之和平面SKIPIF1<0在同一個平面，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0.故該選項正確.故選：ACD三、填空題4．比利時數(shù)學家丹德林發(fā)現(xiàn)：在圓錐內(nèi)放兩個大小不同且不相切的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面?底面相切，用與兩球都相切的平面截圓錐的側(cè)面得到的截面曲線是橢圓（其中兩球與截面的切點即為橢圓的焦點）.如圖，圓錐的錐角為SKIPIF1<0，斜截面與圓錐軸所成角為SKIPIF1<0，則橢圓的離心率為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】設兩個球的半徑分別為SKIPIF1<0，已知圓錐母線與軸的夾角為SKIPIF1<0，截面與軸的夾角為SKIPIF1<0，利用已知條件和幾何關(guān)確定SKIPIF1<0的關(guān)系，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，即可得出橢圓離心率．【詳解】如圖，上面球心為SKIPIF1<0，下面的球心為SKIPIF1<0，設兩個球的半徑分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于圓錐的錐角為SKIPIF1<0，則球心距離SKIPIF1<0，截面分別與球SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是截面橢圓的焦點），如圖，圓錐面與其內(nèi)切球SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別相切與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，截面與圓錐的母線交SKIPIF1<0．由于圓錐的錐角為SKIPIF1<0，所以圓錐母線與軸的夾角為SKIPIF1<0，斜截面與圓錐軸所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則橢圓的長軸長SKIPIF1<0，焦距SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則橢圓的離心率SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．5．圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質(zhì)，這些性質(zhì)均與它們的焦點有關(guān).如：從橢圓的一個焦點處出發(fā)的光線照射到橢圓上，經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個焦點；從拋物線的焦點處出發(fā)的光線照射到拋物線上，經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸.某次科技展覽中某展品的一個截面由拋物線的一部分SKIPIF1<0和一個“雙孔”的橢圓SKIPIF1<0構(gòu)成（小孔在橢圓的右上方）.如圖，橢圓SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的焦點，SKIPIF1<0為下頂點，SKIPIF1<0也為SKIPIF1<0的焦點，若由SKIPIF1<0發(fā)出一條光線經(jīng)過點SKIPIF1<0反射后穿過一個小孔再經(jīng)拋物線上的點SKIPIF1<0反射后平行于SKIPIF1<0軸射出，由SKIPIF1<0發(fā)出的另一條光線經(jīng)由橢圓SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0反射后穿過另一個小孔再經(jīng)拋物線上的點SKIPIF1<0反射后平行于SKIPIF1<0軸射出，若兩條平行光線間隔SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先聯(lián)立直線SKIPIF1<0與拋物線方程求得SKIPIF1<0點坐標,進而求得SKIPIF1<0點坐標，然后再聯(lián)立直線SKIPIF1<0與橢圓方程求得SKIPIF1<0點坐標，可得向量SKIPIF1<0的坐標，最后求得SKIPIF1<0.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0可得拋物線方程SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；因為兩條平行光線間隔SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題6．把底面為橢圓且母線與底面垂直的柱體稱為“橢圓柱”.如圖，橢圓柱SKIPIF1<0中底面長軸SKIPIF1<0，短軸長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為下底面橢圓的左右焦點，SKIPIF1<0為上底面橢圓的右焦點，SKIPIF1<0，P為SKIPIF1<0的中點，MN為過點SKIPIF1<0的下底面的一條動弦（不與AB重合）.(1)求證：SKIPIF1<0平面PMN(2)求三棱錐SKIPIF1<0的體積的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)2【分析】（1）由線線平行證線面平行；（2）由解析法，建立平面直角坐標系SKIPIF1<0如圖所示，SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)為求SKIPIF1<0的最大值，其中SKIPIF1<0為弦長公式結(jié)合韋達定理求得，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0到直線MN的距離由點線距離公式求得.最后討論最值即可.【詳解】（1）由長軸SKIPIF1<0，短軸長SKIPIF1<0得焦半徑得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0分別OB、SKIPIF1<0的中點，在柱體中，縱切面SKIPIF1<0為矩形，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∵P為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面PMN，SKIPIF1<0平面PMN，∴SKIPIF1<0平面PMN；（2）SKIPIF1<0，建立平面直角坐標系SKIPIF1<0如圖所示，則底面橢圓為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，直線MN的斜率不為0，設為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又點SKIPIF1<0到直線MN的距離SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0.設SKIPIF