新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練專題17 圓錐曲線的綜合應(yīng)用（解答題）（含解析）

專題17圓錐曲線的綜合應(yīng)用（解答題）1、【2022年全國甲卷】設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，點Dp,0，過F的直線交C于M，N兩點．當(dāng)直線MD垂直于(1)求C的方程；(2)設(shè)直線MD,ND與C的另一個交點分別為A，B，記直線MN,AB的傾斜角分別為α,β．當(dāng)α?β取得最大值時，求直線AB的方程．【解析】(1)拋物線的準線為x=?p2，當(dāng)MD與x軸垂直時，點M的橫坐標為此時|MF|=p+p所以拋物線C的方程為y2(2)設(shè)M(y12由{x=my+1y2=4x可得由斜率公式可得kMN=y直線MD:x=x1?2Δ>0,y1y3所以k又因為直線MN、AB的傾斜角分別為α,β，所以kAB若要使α?β最大，則β∈(0,π設(shè)kMN=2k當(dāng)且僅當(dāng)1k=2k即所以當(dāng)α?β最大時，kAB=2代入拋物線方程可得y2Δ>0,y3所以直線AB:x=2【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線方程對斜率進行化簡，利用韋達定理得出坐標間的關(guān)系.

2．【2022年全國乙卷】已知橢圓E的中心為坐標原點，對稱軸為x軸、y軸，且過A0,?2(1)求E的方程；(2)設(shè)過點P1,?2的直線交E于M，N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足MT=TH【解析】(1)解：設(shè)橢圓E的方程為mx2+n則4n=194m+n=1，解得m=所以橢圓E的方程為：y2(2)A(0,?2),B(32,?1)①若過點P(1,?2)的直線斜率不存在，直線x=1.代入x2可得M(1,263)，N(1,?2T(6+3,263)，由y=(2?263②若過點P(1,?2)的直線斜率存在，設(shè)kx?y?(k+2)=0,M(x聯(lián)立kx?y?(k+2)=0x23可得x1+x且x聯(lián)立y=y1可求得此時HN:y?y將(0,?2)，代入整理得2(x將(?)代入，得24k+12顯然成立，綜上，可得直線HN過定點(0,?2).【點睛】

3、【2022年新高考1卷】已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【解析】(1)因為點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當(dāng)m=1?2k時，直線l:y=kx+m=kx?2+1過點故k=?1．(2)不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因為kAP+因為tan∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因為方程有一個根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12×163×223=(1)求C的方程；(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，點Px1,y1,Qx2,y2在C上，且x1>①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|=|MB|．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【解析】(1)右焦點為F(2,0)，∴c=2,∵漸近線方程為y=±3x，∴ba=3，∴b=3a，∴c∴C的方程為：x2(2)由已知得直線PQ的斜率存在且不為零，直線AB的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線AB的斜率存在且不為零；若選①③推②，則M為線段AB的中點，假若直線AB的斜率不存在，則由雙曲線的對稱性可知M在x軸上，即為焦點F,此時由對稱性可知P、Q關(guān)于x軸對稱，與從而x1總之，直線AB的斜率存在且不為零.設(shè)直線AB的斜率為k,直線AB方程為y=k(x?2),則條件①M在AB上，等價于y0兩漸近線的方程合并為3x聯(lián)立消去y并化簡整理得：k設(shè)A(x3,y3設(shè)M(x則條件③|AM|=|BM|等價于x0移項并利用平方差公式整理得：x32x0?即x0由題意知直線PM的斜率為?3,直線QM的斜率為3∴由y1∴y1所以直線PQ的斜率m=y直線PM:y=?3x?x代入雙曲線的方程3x2?得：y0解得P的橫坐標：x1同理：x2∴x∴m=3∴條件②PQ//AB等價于m=k?ky綜上所述：條件①M在AB上，等價于ky條件②PQ//AB等價于ky條件③|AM|=|BM|等價于x0選①②推③:由①②解得：x0=2選①③推②：由①③解得：x0=2∴ky0=3選②③推①：由②③解得：x0=2k2k∴ky0=5、【2020年高考全國Ⅲ文21理數(shù)20】已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的左、右頂點．（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，求△SKIPIF1<0的面積．【解析】解法一：（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）設(shè)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，根據(jù)對稱性，只需考慮SKIPIF1<0的情形，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0=1\*GB3①．又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0=2\*GB3②．又SKIPIF1<0=3\*GB3③．聯(lián)立=1\*GB3①、=2\*GB3②、=3\*GB3③，可得，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同理可得，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．綜上所述，可得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．解法二：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根據(jù)離心率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸垂線，交點為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交點為SKIPIF1<0，根據(jù)題意畫出圖形，如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)三角形全等條件“SKIPIF1<0”，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0點縱坐標為SKIPIF1<0，將其代入SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0時，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0，畫出圖象，如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可求得直線SKIPIF1<0的直線方程為：SKIPIF1<0，根據(jù)點到直線距離公式可得SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0，根據(jù)兩點間距離公式可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0．②當(dāng)SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0時，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0點為SKIPIF1<0，畫出圖象，如圖，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可求得直線SKIPIF1<0的直線方程為：SKIPIF1<0，根據(jù)點到直線距離公式可得SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0，根據(jù)兩點間距離公式可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0面積為：SKIPIF1<0．6、（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0斜率的最大值.【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，準線方程為SKIPIF1<0，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為SKIPIF1<0，所以該拋物線的方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0在拋物線上可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，因為SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；綜上，直線SKIPIF1<0的斜率的最大值為SKIPIF1<0.7、（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值為SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）若點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩條切線，SKIPIF1<0是切點，求SKIPIF1<0面積的最大值．【解析】（1）拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0上點的距離的最小值為SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，對該函數(shù)求導(dǎo)得SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可知，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由于點SKIPIF1<0為這兩條直線的公共點，則SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標滿足方程SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積取最大值SKIPIF1<0.8、（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的軌跡為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，過SKIPIF1<0的兩條直線分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的斜率與直線SKIPIF1<0的斜率之和.【解析】因為SKIPIF1<0，所以，軌跡SKIPIF1<0是以點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為左、右焦點的雙曲線的右支，設(shè)軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）設(shè)點SKIPIF1<0，若過點SKIPIF1<0的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線SKIPIF1<0無公共點，不妨直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0并整理可得SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.由韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因此，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之和為SKIPIF1<0.題型一圓錐曲線中的最值問題1-1、（2022·江蘇無錫·高三期末）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸正半軸上的一點，過橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0和點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】(1)解：由題意知SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0標準方程為SKIPIF1<0.(2)解：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0綜上：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.1-2、（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓SKIPIF1<0經(jīng)過點MSKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓E的標準方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點為A，過定點SKIPIF1<0且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點，設(shè)直線AB，AC與直線SKIPIF1<0的交點分別為P，Q，求SKIPIF1<0面積的最小值.【解析】【分析】（1）把點代入橢圓方程，然后結(jié)合離心率公式即可求出橢圓的標準方程；（2）設(shè)出直線方程SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立消元寫韋達，然后表示出直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程，進而求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，結(jié)合韋達定理即可求解.(1)由題意知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)過點SKIPIF1<0的直線方程為SKIPIF1<0，代入橢圓SKIPIF1<0的方程，整理得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①，由（1）得SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入，SKIPIF1<0把①式代入，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0面積的最小值為SKIPIF1<0題型二圓錐曲線中的定點問題2-1、（2022·江蘇揚州·高三期末）已知拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點F到準線的距離為2．(1)求拋物線的方程；(2)過點P（1，1）作兩條動直線l1，l2分別交拋物線于點A，B，C，D．設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m，試判斷直線m是否經(jīng)過定點，并說明理由．【答案】(1)y2＝4x；(2)直線m恒過定點(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，理由見解析.【解析】由題意得該拋物線焦點到準線的距離為SKIPIF1<0－(－SKIPIF1<0)＝p＝2，所以該拋物線的方程為y2＝4x．(2)①當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時，設(shè)直線l1：SKIPIF1<0，直線l2：y－1＝k2（x－1），由SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝SKIPIF1<0，x1x2＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則以AB為直徑的圓的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0，同理，以CD為直徑的圓的方程為：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0，∴以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直線恒過定點(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)．②當(dāng)直線l1，l2的斜率中有一個不存在時，由對稱性不妨設(shè)l1的斜率不存在，l2的斜率為k2，則以AB為直徑的圓的方程為：SKIPIF1<0，以CD為直徑的圓的方程為：SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0＝0，所以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：SKIPIF1<0，此時直線m恒過定點（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），綜上得：直線m恒過定點（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．2-2、（2022·廣東汕尾·高三期末）已知點M為直線SKIPIF1<0：x=-2上的動點，N（2，0），過M作直線SKIPIF1<0的垂線l，l交線段MN的垂直平分線于點P，記點P的軌跡為C．(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)O是坐標原點，A，B是曲線C上的兩個動點，且SKIPIF1<0，試問直線AB是否過定點？若不過定點，請說明理由；若過定點，請求出定點坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）利用定義法求曲線C的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線和拋物線方程得到韋達定理，化簡SKIPIF1<0，代入韋達定理即得解.(1)解：由已知可得，SKIPIF1<0，即點P到定點N的距離等于它到直線SKIPIF1<0的距離，故點P的軌跡是以N為焦點，SKIPIF1<0為準線的拋物線，∴曲線C的方程為SKIPIF1<0.(2)解：設(shè)直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．題型三圓錐曲線中的定值問題3-1、（2022·山東青島·高三期末）已知SKIPIF1<0為坐標原點，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)若點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，證明：SKIPIF1<0的面積為定值.【解析】(1)由橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，將SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0②，①②聯(lián)立解得SKIPIF1<0，②故橢圓的標準方程為SKIPIF1<0.(2)證明：設(shè)SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率不存在時，即SKIPIF1<0，由原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，可知SKIPIF1<0故可得此時有SKIPIF1<0，該點在橢圓上，則SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，則此時SKIPIF1<0;當(dāng)直線SKIPIF1<0斜率存在時，不妨設(shè)SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，則聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，且需滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以y1由原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心知，x0=?(x1+x2),y故SKIPIF1<0坐標為SKIPIF1<0，代入到SKIPIF1<0中，化簡得：(8km1+4k又原點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，故SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為原點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離的3倍，所以d=3|m|1+而|P=1+=1+k2因此S△=63綜合上述可知：SKIPIF1<0的面積為定值.3-2、（2022·山東泰安·高三期末）設(shè)點SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上一動點，SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點，射線SKIPIF1<0分別交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，已知SKIPIF1<0的周長為8，且點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)證明：SKIPIF1<0為定值.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得：SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0將SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0橢圓C的方程為：SKIPIF1<0(2)由題知，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為定值SKIPIF1<0.題型四圓錐曲線中的角度問題4-1、（2022·廣東東莞·高三期末）已知點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的左頂點，點SKIPIF1<0為右焦點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓上異于點SKIPIF1<0的任意一點，直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【解析】【分析】（1）由SKIPIF1<0，右焦點SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0關(guān)系，聯(lián)立可求解出SKIPIF1<0，從而得橢圓的方程；（2）設(shè)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，表示出直線SKIPIF1<0的方程，從而得點SKIPIF1<0的坐標，進而表示出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，計算得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，代入化簡計算，即可得SKIPIF1<0，所以可證明SKIPIF1<0.(1)由題知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又因為右焦點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.(2)設(shè)點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程是SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是銳角，所以SKIPIF1<0.4-2、【2022·廣東省珠海市第二中學(xué)10月月考】已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，試判斷在橢圓SKIPIF1<0上是否存在三個不同點SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0的縱坐標不相等)，滿足SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0傾斜角互補？若存在，求出直線SKIPIF1<0的方程，若不存在，說明理由.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）存在，方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）由離心率及過的點的坐標，及SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關(guān)系可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值，進而可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線SKIPIF1<0的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，由題意可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的坐標，由題意可得SKIPIF1<0，進而求出參數(shù)的值，求出直線的方程．【詳解】解：（1）由題意知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由題意，直線SKIPIF1<0的斜率存在且不為0，設(shè)直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，設(shè)點SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，又因為直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0傾斜角互補，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以存在滿足條件的三個點，此時直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.題型五圓錐曲線中的探索性問題5-1、（2022·山東淄博·高三期末）已知雙曲線SKIPIF1<0的左焦點為F，右頂點為A，漸近線方程為SKIPIF1<0，F(xiàn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0．(1)求C的方程；(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點（異于C的兩個頂點），直線x=t與直線AP，AQ的交點分別為M，N．是否存在實數(shù)t，使得FM+FN=【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，t=?【解析】【分析】（1）根據(jù)F到漸近線的距離為SKIPIF1<0，可求得b，再根據(jù)漸近線方程可求得a,，即得雙曲線方程；（2）假設(shè)存在，設(shè)直線的方程，并和雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后表示出點M，N的坐標，進而得到向量FM,FN的坐標，利用其數(shù)量積為零，將根與系數(shù)的關(guān)系式代入，看能否解出參數(shù)(1)雙曲線SKIPIF1<0一條漸近線方程為SKIPIF1<0，焦點F(?c,0)，則焦點到準線的距離d=|bc|由F到漸近線的距離為SKIPIF1<0可知：SKIPIF1<0，由漸近線方程為SKIPIF1<0知：ba=3，故SKIPIF1<0，所以雙曲線方程為：SKIPIF1<0；(2)設(shè)直線l的方程為x=my?2，聯(lián)立x=my?2x2?設(shè)P(x1,則y1所以x1+x假設(shè)存在實數(shù)t，使得FM+FN=故由SKIPIF1<0方程：y=y1x1?1(x?1),令x=t得同理SKIPIF1<0方程：y=y2x2?1(x?1),令x=t得所以FM?即(t+2)2則(t+2)2即(t+2)2?(t?1)故存在實數(shù)t=?12，使得5-2、（2021·江蘇南京市高三三模）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知拋物線SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0長度的最小值；（2）設(shè)以SKIPIF1<0為直徑的圓交SKIPIF1<0軸于SKIPIF1<0兩點，問是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，當(dāng)y0＝±2SKIPIF1<0時，|AP|取得最小值2SKIPIF1<0；（2）設(shè)直線AB的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，設(shè)以AB為直徑的圓上任一點SKIPIF1<0所以Q的軌跡方程為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以Q的軌跡方程化為SKIPIF1<0令y＝0，得SKIPIF1<0所以上式方程的兩根分別為x3，x4，，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得x3x4＝﹣4，即有t2﹣4t＝﹣4，解得t＝2．所以存在t＝2，使得SKIPIF1<0．1、(2022·南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左，右頂點分別為A，B．F是橢圓的右焦點，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3．(1)求橢圓C的方程；(2)不過點A的直線l交橢圓C于M，N兩點，記直線l，AM，AN的斜率分別為k，k1，k2．若k(k1＋k2)＝1，證明直線l過定點，并求出定點的坐標．【考點】圓錐曲線中橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關(guān)系：定點問題【解析】(1)由題意，知A(－a，0)，B(a，0)，F(xiàn)(c，0)．因為EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)＝3EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)，EQ\o\ac(\S\UP7(→),AF)·EQ\o\ac(\S\UP7(→),FB)＝3，所以EQ\B\lc\{(\a\al(\l(a＋c＝3(a－c)，),\l((a＋c)(a－c)＝3，)))…………………2分解得eq\B\lc\{(\a\al(a＝2，,c＝1，))從而b2＝a2－c2＝3．所以橢圓C的方程eq\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1．…………4分(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)．因為直線l不過點A，因此－2k＋m≠0．由eq\B\lc\{(\a\al(\f(x\s\up6(2),4)＋\f(y\s\up6(2),3)＝1，,y＝k＋m，))得(eq3＋4k\s\up6(2))x\s\up6(2)＋8kmx＋4m\s\up6(2)－12＝0．則eqx\s\do(1)＋x\s\do(2)＝\f(－8km,3＋4k\s\up6(2))，x1x2＝EQ\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))．…………6分所以k1＋k2＝EQ\F(y\S\DO(1),x\S\DO(1)＋2)＋EQ\F(y\S\DO(2),x\S\DO(2)＋2)＝EQ\F(2kx\S\DO(1)x\S\DO(2)＋(2k＋m)\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4m,x\S\DO(1)x\S\DO(2)＋2\b\bc\((\l(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2)))＋4)＝EQ\F(2k·\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋(2k＋m)·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4m,\F(4m\S(2)－12,3＋4k\S(2))＋2·\F(－8km,3＋4k\S(2))＋4)＝EQ\F(12(m－2k),4\b\bc\((\l(m\S(2)－4km＋4k\S(2))))＝EQ\F(3,m－2k)．由k(k1＋k2)＝1，可得3k＝m－2k，即m＝5k．……………10分故l的方程為y＝kx＋5k，恒過定點(－5，0)．……………12分2、（2022·山東棗莊·高三期末）如圖，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0的左頂點，過原點且異于SKIPIF1<0軸的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0的另一交點分別為SKIPIF1<0．(1)設(shè)直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為定值；(2)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．【解析】(1)因為A為橢圓SKIPIF1<0的左頂點，故SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故直線AM的斜率SKIPIF1<0，直線AN的斜率SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的點，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AM的方程為SKIPIF1<0．代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．于是有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．將AM的方程SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．設(shè)直線AN的方程為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0．3、（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標系SKIPIF1<0中，已知點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0，記動點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)若點SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上的任意一點（不含短軸端點），點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，記直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0為定值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，直接根據(jù)條件列方程，注意挖去兩點，即可得到答案；（2）設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，進行計算可得SKIPIF1<0為定值；(1)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．(2)設(shè)SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方程為：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方程中令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為定值．4、（2020屆山東省煙臺市高三上期末）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其右焦點，直線SKIPIF1<0與橢圓交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0.（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為銳角，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0為橢圓的左焦點,連接SKIPIF1<0,由橢圓的對稱性可知,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以橢圓的標準方程為SKIPIF1<0（2）設(shè)點SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,聯(lián)立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0為銳角,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<