新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)訓(xùn)練專題12 空間幾何體的折疊與多面體的問題（含解析）

專題12空間幾何體的折疊與多面體的問題1、【2022年新高考1卷】已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33A．18,814 B．274,【答案】C【解析】∵球的體積為36π，所以球的半徑R=3,設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為?，則l2=2a所以6?=l2所以正四棱錐的體積V=1所以V'當(dāng)3≤l≤26時，V'>0，當(dāng)2所以當(dāng)l=26時，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為64又l=3時，V=274，l=33所以正四棱錐的體積V的最小值為274所以該正四棱錐體積的取值范圍是274故選：C.2、（2019?新課標Ⅲ，理16文16）學(xué)生到工廠勞動實踐，利用SKIPIF1<0打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體SKIPIF1<0，挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長方體的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別為所在棱的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為SKIPIF1<0．【答案】118．8【解析】該模型為長方體SKIPIF1<0，挖去四棱錐SKIPIF1<0后所得的幾何體，其中SKIPIF1<0為長方體的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分別為所在棱的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該模型體積為：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度為SKIPIF1<0，不考慮打印損耗，SKIPIF1<0制作該模型所需原料的質(zhì)量為：SKIPIF1<0．3、【2020年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，SKIPIF1<0，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4、（2020江蘇9）如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，內(nèi)孔半徑為SKIPIF1<0，則此六角螺帽毛坯的體積是SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】記此六角螺帽毛坯的體積為SKIPIF1<0，正六棱柱的體積為SKIPIF1<0，內(nèi)孔的體積為正六棱柱的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．5、【2021年新高考1卷】（多選題）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的周長為定值B．當(dāng)SKIPIF1<0時，三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．當(dāng)SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時，有且僅有一個點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【解析】易知，點SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即此時SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故此時SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點軌跡為線段SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，故D正確．故選：BD．6、【2020年新高考1卷（山東卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0為球心，SKIPIF1<0為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．【答案】SKIPIF1<0.【解析】如圖：取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<060°，直四棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，所以△SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又四棱柱SKIPIF1<0為直四棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線上的點，則SKIPIF1<0，因為球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線上的點到SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以側(cè)面SKIPIF1<0與球面的交線是扇形SKIPIF1<0的弧SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以根據(jù)弧長公式可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7、【2019年新課標2卷理科】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．【答案】

共26個面.

棱長為SKIPIF1<0.【解析】由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有8個面，所以該半正多面體共有SKIPIF1<0個面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交正方體棱于SKIPIF1<0，由半正多面體對稱性可知，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即該半正多面體棱長為SKIPIF1<0．題組一空間幾何體的折疊問題1-1、（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長?寬分別為SKIPIF1<0的矩形紙，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是其四條邊的中點.現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得SKIPIF1<0四點重合為一點SKIPIF1<0，從而得到一個多面體，則（）A．在該多面體中，SKIPIF1<0B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．該多面體的體積為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】由于長、寬分別為SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0分別是其四條邊的中點，現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得SKIPIF1<0四點重合為一點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，從而得到一個多面體SKIPIF1<0，所以該多面體是以SKIPIF1<0為頂點的三棱錐，故B正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A不正確；由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故D正確；因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正確.故選：BCD1-2、（2022·江蘇揚州·高三期末）在邊長為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點，且滿足SKIPIF1<0，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說法中正確的有（）A．在翻折過程中，在邊A′N上存在點P，滿足CP∥平面A′BMB．若SKIPIF1<0，則在翻折過程中的某個位置，滿足平面A′BC⊥平面BCNMC．若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于選項A，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則無論點P在A′N上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，則CP不與平面A′BM平行，故選項A錯誤；對于選項B，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因為MN⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，SKIPIF1<0，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項B正確；對于選項C，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點共圓，圓心可設(shè)為點G，其半徑設(shè)為r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點G即為點D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過點A′作A′H⊥DE，垂足為點H，EH＝SKIPIF1<0，DH＝SKIPIF1<0，A′H＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)外接球球心為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得R2＝SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項C正確；對于選項D，設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，設(shè)SKIPIF1<0是四棱錐SKIPIF1<0的高.S△AMN＝SKIPIF1<06λ6λSKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0λ2，S△ABC＝SKIPIF1<066SKIPIF1<0＝9SKIPIF1<0，所以S四邊形BCNM＝9SKIPIF1<0（1－λ2），則VA′－BCNM＝SKIPIF1<09SKIPIF1<0（1－λ2）h≤3SKIPIF1<0（1－λ2）A′E＝3SKIPIF1<0（1－λ2）3SKIPIF1<0λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），則SKIPIF1<0＝27（－3λ2＋1），令SKIPIF1<0＝0，解得λ＝SKIPIF1<0，則函數(shù)f（λ）在（0，SKIPIF1<0）上單調(diào)遞增，在（SKIPIF1<0，1）上單調(diào)遞減，所以f（λ）max＝f（SKIPIF1<0）＝6SKIPIF1<0，則四棱錐A′－BCN體積的最大值為SKIPIF1<0，故選項D正確.故選：BCD1-3、（2021·江蘇蘇州市·高三期末）已知四邊形是等腰梯形（如圖1），，，，．將沿折起，使得（如圖2），連結(jié)，，設(shè)是的中點.下列結(jié)論中正確的是（）A． B．點到平面的距離為C．平面 D．四面體的外接球表面積為【答案】BD【解析】因為，，所以為等腰直角三角形，過C做，交AB于F，如圖所示：所以，即AE=BF，又，，所以，則，對于A：因為，，平面BCDE，所以平面BCDE，平面BCDE，所以，若，且平面ADE，則平面ADE，所以DE與已知矛盾，所以BC與AD不垂直，故A錯誤；對于B：連接MC，如圖所示，在中，DE=DC=1，所以，又，EB=2，所以，所以，又因為，平面AEC，所以平面AEC，平面AEC，所以，即為直角三角形，在中，，所以，因為是的中點，所以的面積為面積的一半，所以，因為，所以DE即為兩平行線CD、EB間的距離，因為，設(shè)點E到平面的距離為h，則，即，所以，所以點到平面的距離為，故B正確；對于C：因為，平面ADC，平面ADC，所以平面ADC，若平面，且平面AEB，所以平面ACD平面AEB，與已知矛盾，故C錯誤.對于D：因為，所以的外接圓圓心為EB的中點，又因為，所以的外接圓圓心為AB的中點M，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得：四面體的外接球心為M，又E為球上一點，在中，所以外接球半徑,所以四面體的外接球表面積，故D正確.故選：BD題組二幾何體的多邊形問題2-1、（2020·山東·模擬預(yù)測）足球運動是一項古老的體育活動，眾多的資料表明，中國古代足球的出現(xiàn)比歐洲早，歷史更為悠久，如圖，現(xiàn)代比賽用足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成的共32個面的多面體，著名數(shù)學(xué)家歐拉證明了凸多面體的面數(shù)(F)，頂點數(shù)(V)，棱數(shù)(E)滿足F+V-E=2，那么，足球有______.個正六邊形的面，若正六邊形的邊長為SKIPIF1<0，則足球的直徑為______.cm(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)SKIPIF1<0【答案】

20

22【解析】因為足球是由正五邊形與正六邊形構(gòu)成，所以每塊正五邊形皮料周圍都是正六邊形皮料，每兩個相鄰的多邊形恰有一條公共邊，每個頂點處都有三塊皮料，而且都遵循一個正五邊形，兩個正六邊形結(jié)論.設(shè)正五邊形為SKIPIF1<0塊，正六邊形為SKIPIF1<0塊，有題知：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以足球有SKIPIF1<0個正六邊形的面.每個正六邊形的面積為SKIPIF1<0.每個正五邊形的面積為SKIPIF1<0.球的表面積SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以足球的直徑為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2-2、（2021·全國高三專題練習(xí)（文））碳70是一種碳原子族，可高效殺滅癌細胞，它是由70個碳原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)是由五元環(huán)（正五邊形面）和六元環(huán)（正六邊形面）組成的封閉的凸多面體，共37個面，則其六元環(huán)的個數(shù)為（）．A．12 B．25 C．30 D．36【答案】B【解析】根據(jù)題意，頂點數(shù)就是碳原子數(shù)即為70，每個碳原子被3條棱長共用，故棱長數(shù)，由歐拉公式可得面數(shù)=2+棱長數(shù)-頂點數(shù)，設(shè)正五邊形x個，正六邊形y個，則，，解得，，故正六邊形個數(shù)為25個，即六元環(huán)的個數(shù)為25個，故選：B2-3、（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長為2，則該幾何體的表面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根據(jù)題意，該幾何體的表面積分成兩部分，一部分是6個完全相同的正方形，另一部分是8個完全相同的等邊三角形6個完全相同的正方形的面積之和為：SKIPIF1<08個完全相同的等邊三角形的面積之和為：SKIPIF1<0故該幾何體的表面積為：SKIPIF1<0故選：B題組三幾何體的綜合性問題3-1、（2022·江蘇常州·高三期末）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的定點，且SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動點，則（）A．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是直角三角形B．四棱錐SKIPIF1<0的體積最小值為SKIPIF1<0C．存在點SKIPIF1<0，使得直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．任意點SKIPIF1<0，都有直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】AB【解析】由已知計算可得：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0為直角三角形，A對SKIPIF1<0SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離最小在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，B對SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不平行，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0不垂直SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合時，平面SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0矛盾，D錯.故選:AB3-2、（2022·廣東揭陽·高三期末）如圖所示，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，則下列說法正確的是（）A．平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面可以是四邊形?五邊形或六邊形B．當(dāng)點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點不重合時，平面SKIPIF1<0截正方體所得的截面是五邊形C．SKIPIF1<0是銳角三角形D．SKIPIF1<0面積的最大值是SKIPIF1<0【答案】BD【解析】解：如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點不重合時，將線段SKIPIF1<0向兩端延長，分別交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，連接SKIPIF1<0，此時截面為五邊形MPSNR，故B正確；當(dāng)點SKIPIF1<0與點A或點SKIPIF1<0重合時，截面為四邊形，不可能為六邊形，故A不正確；考慮SKIPIF1<0，當(dāng)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為鈍角，所以C錯誤；當(dāng)點SKIPIF1<0與點SKIPIF1<0重合時，點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離取到最大值，SKIPIF1<0的面積取到最大值，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0邊上的高為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0，即最大值為SKIPIF1<0，故D正確.故選：BD.3-3、（2022·廣東羅湖·高三期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若將SKIPIF1<0沿AC邊上的中線BD折起，使得平面SKIPIF1<0平面BCD．點E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運動，則下列結(jié)論正確的為（）A．SKIPIF1<0 B．四面體ABCD的體積為SKIPIF1<0C．存在點E使得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0 D．四面體ABCD的外接球表面積為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】對于A：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，顯然不可能，故選項A錯誤；對于B：考查三棱錐SKIPIF1<0的體積，易知SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線，交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0的高為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，即四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，故選項B正確；對于C：顯然當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積取得最小值，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以存在點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，故選項C正確；對于D：設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外心依次為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的外接球球心SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的外接球半徑為SKIPIF1<0，則外接球表面積為SKIPIF1<0，故選項D正確.故選：BCD.1、（2022·河北保定·高三期末）（多選題）如圖，SKIPIF1<0為正方體中所在棱的中點，過SKIPIF1<0兩點作正方體的截面，則截面的形狀可能為（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BD【解析】由正方體的對稱性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選：BD2、（2021·遼寧高三模擬）“阿基米德多面體”是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，其中“扭棱十二面體”就是一種“阿基米德多面體”.它是由SKIPIF1<0個正三角形和SKIPIF1<0個正五邊形組成的，若多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)滿足：頂點數(shù)SKIPIF1<0棱數(shù)SKIPIF1<0面數(shù)SKIPIF1<0，則“扭棱十二面體”的頂點數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因為扭棱十二面體是由SKIPIF1<0個正三角形和SKIPIF1<0個正五邊形組成的，所以面數(shù)為SKIPIF1<0，棱數(shù)為SKIPIF1<0，因為多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)和面數(shù)滿足：頂點數(shù)SKIPIF1<0棱數(shù)SKIPIF1<0面數(shù)SKIPIF1<0，所以扭棱十二面體的頂點數(shù)為：SKIPIF1<0，故選：C3、（2022·江蘇如東·高三期末）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，AC1⊥平面α，當(dāng)平面α過點B1時，平面α截此正方體所得截面多邊形的面積為_________；當(dāng)平面α過線段BC中點時，平面α截此正方體所得截面多邊形的周長為_________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】如下圖所示，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可證，SKIPIF1<0，由線面垂直判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面α截此正方體所得截面就是平面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0.分別取SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0，容易得出SKIPIF1<0的延長線交于一點SKIPIF1<0，如下圖所示，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0共面，SKIPIF1<0共面，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0共面，容易證明SKIPIF1<0，由線面垂直判定可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即平面α截此正方體所得截面就是平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面α截此正方體所得截面多邊形的周長為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<04、（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）（多選題）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的動點(不含端點)，且SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．四面體SKIPIF1<0的體積是定值C．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】解：對于A，在直三棱柱SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是矩形，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以A正確；對于B，設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，所以四面體SKIPIF1<0的體積不是定值，所以B錯誤；對于C，因為SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C正確；對于D，如圖，以SKIPIF1<0為坐標原點，以SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可求得平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，所以D正確，故選：ACD5、（2022·湖南常德·高三期末）（多選題）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，P，Q分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，M為線段BD上的動點，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值D．M為BD的中點時，則二面角SKIPIF1<0的平面角為60°【答案】BC【解析】由正方體的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，故A錯誤；由正方體的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故B正確；由題可知M到平面SKIPIF1<0的距離為定值d=2，三角形SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0為定值，所以SKIPIF1<0為定值，故C正確；如圖建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，設(shè)平面PQM的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量可取SKIPIF1<0，設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：BC.6、（2022·湖北武昌·高三期末）（多選題）已知四面體ABCD的一個平面展開圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長為SKIPIF1<0的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點，SKIPIF1<0，則在該四面體中（）A．SKIPIF1<0B．BE與平面DCE所成角的余弦值為SKIPIF1<0C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0D．四面體ABCD的外接球表面積為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由題意得，展開圖拼成的幾何體如下圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取AB中點M，CD中點N，MN中點O，連MN、OA，過O作SKIPIF1<0于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對于A：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面ABN，而SKIPIF1<0平面ABN，所以SKIPIF1<0，故A正確；對于B：由于SKIPIF1<0平面ACD，故平面ABNSKIPIF1<0平面ACD，故SKIPIF1<0是BE與平面DCE所成角，故SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C：SKIPIF1<0，故C正確；對于D：SKIPIF1<0所以外接球的表面積為SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD7、（2022·湖南郴州·高三期末）（多選題）如圖，點SKIPIF1<0是棱長為2的正方體SKIPIF1<0的表面上一個動點，則（）

A．當(dāng)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上運動時，四棱錐SKIPIF1<0的體積不變B．當(dāng)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上運動時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0C．當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為45°時，點SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，當(dāng)SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上運動，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0長度的最小值是SKIPIF1<0【答案】AC【解析】A.當(dāng)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上運動時，點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離不變，SKIPIF1<0不變，故四棱錐SKIPIF1<0的體積不變，故A正確；B.建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0，故B錯誤；C.因為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0內(nèi)，因為SKIPIF1<0最大，不成立；在平面SKIPIF1<0內(nèi)，點SKIPIF1<0的軌跡是SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)，點SKIPIF1<0的軌跡是SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0時，如圖所示：，作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡是以SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0為半徑的四分之一圓，所以點SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0的軌跡總長度為長度為SKIPIF1<0，故C正確；D.建立如圖所示空間直角坐標系：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SK