2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市高三上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年黑龍江省齊齊哈爾市高三上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：集合，邏輯，不等式，函數(shù)，導(dǎo)數(shù)占40%；三角函數(shù)及解三角形（含三角恒等變換），平面向量占60%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由交集的定義即可得解.【詳解】因為，所以由交集的定義可知.故選：C.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由全稱命題的否定判斷．【詳解】命題“”的否定是“”．故選：A3.已知角終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)定義求得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式即可求得答案.【詳解】由題意角終邊經(jīng)過點，可得，由誘導(dǎo)公式得，故選：A.4.已知平面向量，，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用向量線性運算的坐標表示和向量數(shù)量積的坐標運算，求解的值.【詳解】平面向量，，則，由，則，解得.故選：D.5.已知函數(shù)，則的圖象大致是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】由，利用導(dǎo)數(shù)研究在上函數(shù)符號，排除法即可得答案.【詳解】由，而恒成立，對于，則，即在定義域上遞增，所以時，恒成立，綜上，上，排除A、B、D.故選：C6.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于函數(shù)在上增函數(shù)，因為函數(shù)為減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，所以，得，當時，有，得，因此實數(shù)的取值范圍是．故選：A.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有且只有兩個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及零點的定義即可求解.【詳解】因為，，所以，由在區(qū)間上有且只有兩個零點可得：因為，當時，，所以時，有且只有兩個零點，只能是，，所以，，解得：，所以的取值范圍為，故選：B.8.世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥爾摩的愛立信球形體育館（瑞典語：），在世界上最大的瑞典太陽系模型中，由該體育館代表太陽的位置，其外形像一個大高爾夫球，可容納16000名觀眾觀看表演和演唱會，或14119名觀眾觀看冰上曲棍球比賽．某數(shù)學興趣小組為了測得愛立信體育館的直徑，在體育館外圍測得，，，（其中，，，四點共面），據(jù)此可估計該體育館的直徑大約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】結(jié)合題意，利用正弦定理和余弦定理即可求解.【詳解】連接，，在中，由正弦定理知，即，解得，在中，由余弦定理得：，即，所以．故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.在中，，，為三個內(nèi)角，，的對邊，若，則角（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】由余弦定理化邊為角即得.【詳解】由題得根據(jù)余弦定理可知，∴或．故選：BD.10.已知，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】利用對數(shù)的運算法則，不等式的性質(zhì)和基本不等式逐項判斷.【詳解】由題知，，，A正確；因為，所以，B錯誤；因為，，所以，所以，C正確；，D錯誤．故選：AC.11.函數(shù)的部分圖象如圖，則下列說法正確的有（）A.B.一個對稱中心為C.的一個增區(qū)間為D.可將函數(shù)向右平移個單位得到【正確答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可求得的值，可得的解析式，利用三角函數(shù)的性質(zhì)對各選項進行判斷即可得出答案.【詳解】由圖象可知，，則可得，所以A正確；又，所以，又，所以，即，對于B，當時，，所以函數(shù)圖象關(guān)于成中心對稱，即B正確；對于C，由，可得，令，可得是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，所以不是函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間，故C錯誤；對于D，將函數(shù)向右平移個單位得到，即D正確；故選：ABD12.設(shè)函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則（）A.是奇函數(shù)B.C.的值域是D.方程在區(qū)間內(nèi)恰有1518個實數(shù)解【正確答案】ACD【分析】由判斷奇函數(shù)，即判斷A選項；求周期再結(jié)合奇偶性計算的值，即判斷B選項；利用導(dǎo)數(shù)判斷上的單調(diào)性，再求最值，最后利用奇偶性，對稱性即判斷C選項；將的解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，畫出圖象先求出上的交點個數(shù)，再利用周期計算上的交點個數(shù)，即判斷D選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，因為，所以，又因為，所以，所以是奇函數(shù)，A正確；由，得，所以以4為周期，因為，所以，故B錯誤；因為當時，，所以，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，所以．因為為奇函數(shù)，所以當時，，因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以當時，，因為的周期為4，所以當時，，故C正確；方程的解的個數(shù)，即的圖象與的圖象交點個數(shù)．因為的周期為4，且當時，與有3個交點，所以當時，與有個交點，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.中，已知，則__________．【正確答案】##【分析】利用二倍角的余弦公式計算即得.【詳解】在中，，則，由，得，即，所以.故14.設(shè)，且，，若定義在區(qū)間上的函數(shù)是奇函數(shù)，則的值可以是___________．（寫出一個值即可）【正確答案】（答案不唯一，中的任何一值均可）【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出參數(shù)，再由定義域求出的取值范圍，最后求出即可.【詳解】因為是奇函數(shù)，所以，即，即，解得，因為，所以，則，由，解得：，所以的定義域為的非空子集，即，所以．故（答案不唯一，中的任何一值均可）.15.已知向量，滿足，，，則______.【正確答案】【分析】由向量的和與差的模的運算得：，則，所以由可得解.【詳解】因為向量，滿足，，，所以，又，，所以.故答案為.16.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是___________．【正確答案】【分析】函數(shù)為奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由，得，解不等式即可.【詳解】函數(shù)，定義域為R，，是奇函數(shù)，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，又，則，則有，而，，可得，即，解得或，所以，則有，，即的取值范圍是．故方法點睛：利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式，定義法判斷奇偶性，由正余弦函數(shù)的有界性借助于導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，而也是解題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）已知等式利用倍角公式和兩角和的正弦公式化簡，最后正弦定理角化邊即可；（2）由余弦定理結(jié)合（1）中結(jié)論，解方程求的值．【小問1詳解】由，有，整理得，再由正弦定理可得．【小問2詳解】，由余弦定理可得，再由（1）可得，整理得．令，則，即，解得，即的值為．18.已知D為等邊所在平面內(nèi)的一點，，且線段BC上存在點E，使得．（1）試確定點E的位置，并說明理由；（2）求的值．【正確答案】（1）E為靠近點B的一個三等分點，理由見解析（2）【分析】（1）用平面向量的線性關(guān)系找出點所在的位置；（2）用向量分別表示出向量利用向量數(shù)量積公式計算.【小問1詳解】因為，所以，所以，從而，故點E為靠近點B的一個三等分點．【小問2詳解】因為，所以，，．19.已知函數(shù)．（1）求方程的解集；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間．【正確答案】（1）（2）和【分析】（1）將利用二倍角公式，兩角差的正弦公式，輔助角公式轉(zhuǎn)化為同一個角的同一個三角函數(shù)，進而求的解集；（2）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求在上的單調(diào)增區(qū)間．【小問1詳解】，令，則，，解得，．故方程的解集為．【小問2詳解】令，，解得，，當時，滿足條件；當時，滿足條件；綜上所述：在上單調(diào)增區(qū)間是和．20.已知在中，角，，的對邊分別為，，，．（1）求；（2）若的角平分線交于點，且，求面積的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理將角化邊，化簡后求解即可；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)，得，再利用基本不等式求解即可.【小問1詳解】由正弦定理及，得，由得，所以，所以，由于，則，所以，即．又，所以．【小問2詳解】因為的角平分線交于點，且，所以，根據(jù)三角形面積公式可得，又，得，得，當時等號成立，所以，即的面積最小值為．21.已知向量，，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若，存在，對任意，有恒成立，求的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意，利用平面向量的數(shù)量積和三角恒等變換求的解析式，再利用周期公式計算周期.（2）根據(jù)題意求的解析式，令，構(gòu)造函數(shù)并求最大值和最小值，從而結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得的最小值.【小問1詳解】由題知，，故最小正周期．【小問2詳解】結(jié)合（1）得，令，則，所以，即可得，當，即時，；當，即時，．因為存在，，對任意，有恒成立，所以為的最小值，為的最大值，所以，，若求的最小值，即求的最小值，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不妨在一個周期內(nèi)取兩個相鄰的滿足題意的自變量，即，所以．22.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；（2）求證：當時，．【正確答案】（1）（2）