專題13 二次函數(shù)解答壓軸題（共30道）（原卷版）

專題13二次函數(shù)解答壓軸題（30道）一、解答題1．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，點是軸上方拋物線上一點，射線軸于點，若，且，請直接寫出點的坐標．(3)如圖2，點是第一象限內(nèi)一點，連接交軸于點，的延長線交拋物線于點，點在線段上，且，連接，若，求面積．2．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線經(jīng)過點，與y軸交于點，點E為第一象限內(nèi)拋物線上一動點．

(1)求拋物線的解析式．(2)直線與x軸交于點A，與y軸交于點D，過點E作直線軸，交于點F，連接．當時，求點E的橫坐標．(3)如圖2，點N為x軸正半軸上一點，與交于點M．若，，求點E的坐標．3．（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于點和點，與y軸交于點C．(1)求這個二次函數(shù)的表達式．(2)如圖1，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線交于點D，若點M是直線上方拋物線上的一個動點，求面積的最大值．(3)如圖2，點是直線上的一個動點，過點的直線與平行，則在直線上是否存在點，使點與點關于直線對稱？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．4．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，拋物線與軸交于點，，與軸交于點．(1)求，的值；(2)如圖①，是第二象限拋物線上的一個動點，連接，，設點的橫坐標為，的面積為，求關于的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；(3)如圖②，在（2）的條件下，當時，連接交軸于點，點在軸負半軸上，連接，點在上，連接，點在線段上（點不與點重合），過點作的垂線與過點且平行于的直線交于點，為的延長線上一點，連接，，使，是軸上一點，且在點的右側(cè)，，過點作，交的延長線于點，點在上，連接，使，若，求直線的解析式．5．（2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與拋物線交于B，C兩點（B在C的左邊）．

(1)求A點的坐標；(2)如圖1，若B點關于x軸的對稱點為點，當以點A，，C為頂點的三角形是直角三角形時，求實數(shù)a的值；(3)定義：將平面直角坐標系中橫坐標與縱坐標均為整數(shù)的點叫作格點，如，等均為格點．如圖2，直線l與拋物線E所圍成的封閉圖形即陰影部分（不包含邊界）中的格點數(shù)恰好是26個，求a的取值范圍．6．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線的圖象的頂點坐標是，并且經(jīng)過點，直線與拋物線交于B，D兩點，以為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側(cè)的點，直線m上每一點的縱坐標都等于1．(1)求拋物線的解析式；(2)證明：圓C與x軸相切；(3)過點B作，垂足為E，再過點D作，垂足為F，求的值．7．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為，還要兼顧美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求給出了兩個設計方案．現(xiàn)把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中，如圖所示：方案一，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點N在x軸上，，．方案二，拋物線型拱門的跨度，拱高．其中，點在x軸上，，．要在拱門中設置高為的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計）．方案一中，矩形框架的面積記為，點A、D在拋物線上，邊在上；方案二中，矩形框架的面積記為，點，在拋物線上，邊在上．現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當時，，請你根據(jù)以上提供的相關信息，解答下列問題：(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達式；(2)在方案一中，當時，求矩形框架的面積并比較，的大?。?．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點．

(1)求二次函數(shù)的解析式和的值．(2)在二次函數(shù)位于軸上方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．(3)如圖（2），作點關于原點的對稱點，連接，作以為直徑的圓．點是圓在軸上方圓弧上的動點（點不與圓弧的端點重合，但與圓弧的另一個端點可以重合），平移線段，使點移動到點，線段的對應線段為，連接，，的延長線交直線于點，求的值．9．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交軸于點和，交軸于點，頂點為．(1)求拋物線的表達式；(2)若點在第一象限內(nèi)對稱右側(cè)的拋物線上，四邊形的面積為，求點的坐標；(3)在（2）的條件下，若點是對稱軸上一點，點是坐標平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形是菱形，且，如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．10．（2023·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，正方形的頂點，在軸上，，．拋物線與軸交于點和點．

(1)如圖1，若拋物線過點，求拋物線的表達式和點的坐標；(2)如圖2，在（1）的條件下，連接，作直線，平移線段，使點的對應點落在直線上，點的對應點落在拋物線上，求點的坐標；(3)若拋物線與正方形恰有兩個交點，求的取值范圍．11．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）根據(jù)以下素材，探究完成任務．如何把實心球擲得更遠？素材1小林在練習投擲實心球，其示意圖如圖，第一次練習時，球從點A處被拋出，其路線是拋物線．點A距離地面，當球到OA的水平距離為時，達到最大高度為．

素材2根據(jù)體育老師建議，第二次練習時，小林在正前方處（如圖）架起距離地面高為的橫線．球從點A處被拋出，恰好越過橫線，測得投擲距離．

問題解決任務1計算投擲距離建立合適的直角坐標系，求素材1中的投擲距離．任務2探求高度變化求素材2和素材1中球的最大高度的變化量任務3提出訓練建議為了把球擲得更遠，請給小林提出一條合理的訓練建議．12．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A和點，與y軸交于點，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的動點過點P作軸于點E，交于點F．

(1)求拋物線的解析式；(2)當?shù)闹荛L是線段長度的2倍時，求點P的坐標；(3)當點P運動到拋物線頂點時，點Q是y軸上的動點，連接，過點B作直線，連接并延長交直線于點M．當時，請直接寫出點的坐標．13．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點、點，交y軸于點C．

(1)求b，c的值．(2)點是拋物線上的動點①當取何值時，的面積最大？并求出面積的最大值；②過點P作軸，交于點E，再過點P作軸，交拋物線于點F，連接，問：是否存在點P，使為等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸的交點為點和點．

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)點，在軸正半軸上，，點在線段上，以線段，為鄰邊作矩形，連接，設．連接，當與相似時，求的值；當點與點重合時，將線段繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，，將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，點，的對應點分別為、，連接當?shù)倪吪c線段垂直時，請直接寫出點的橫坐標．15．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于A，兩點，且自變量的部分取值與對應函數(shù)值如下表：

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若將線段向下平移，得到的線段與二次函數(shù)的圖象交于，兩點（在左邊），為二次函數(shù)的圖象上的一點，當點的橫坐標為，點的橫坐標為時，求的值；(3)若將線段先向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的線段與二次函數(shù)的圖象只有一個交點，其中為常數(shù)，請直接寫出的取值范圍．16．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．已知點的坐標是，拋物線的對稱軸是直線．

(1)直接寫出點的坐標；(2)在對稱軸上找一點，使的值最小．求點的坐標和的最小值；(3)第一象限內(nèi)的拋物線上有一動點，過點作軸，垂足為，連接交于點．依題意補全圖形，當?shù)闹底畲髸r，求點的坐標．17．（2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）已知：在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點，，與y軸交于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，如果把拋物線x軸下方的部分沿x軸翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個新圖象．當平面內(nèi)的直線與新圖象有三個公共點時，求k的值；(3)如圖2，如果把直線沿y軸向上平移至經(jīng)過點，與拋物線的交點分別是，，直線交于點，過點作于點，若．求點的坐標．18．（2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，已知拋物線過點，對稱軸是直線．

(1)求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標；(2)若點B在拋物線上，過點B作x軸的平行線交拋物線于點C、當是等邊三角形時，求出此三角形的邊長；(3)已知點E在拋物線的對稱軸上，點D的坐標為，是否存在點F，使以點A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點P在二次函數(shù)對稱軸上，當面積為5時，求P坐標；(3)小明認為，在第三象限拋物線上有一點D，使；請判斷小明的說法是否正確，如果正確，請求出D的坐標；如果不正確，請說明理由．20．（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，為坐標原點，已知拋物線與軸交于點，拋物線的對稱軸與軸交于點．

(1)如圖，若，拋物線的對稱軸為．求拋物線的解析式，并直接寫出時的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若為軸上的點，為軸上方拋物線上的點，當為等邊三角形時，求點，的坐標；(3)若拋物線經(jīng)過點，，，且，求正整數(shù)m，n的值．21．（2023·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，過點作直線軸，過點作，交直線于點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點為第三象限內(nèi)拋物線上的點，連接和交于點，當時．求點的坐標；(3)在（2）的條件下，連接，在直線上是否存在點，使得？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由．22．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，，是拋物線上任意兩點，設拋物線的對稱軸為．(1)若對于，有，求的值；(2)若對于，，都有，求的取值范圍．23．（2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系內(nèi)，拋物線交y軸于點C，過點C作x軸的平行線交該拋物線于點D．

(1)求點C，D的坐標；(2)當時，如圖1，該拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），點P為直線上方拋物線上一點，將直線沿直線翻折，交x軸于點，求點P的坐標；(3)坐標平面內(nèi)有兩點，以線段為邊向上作正方形．①若，求正方形的邊與拋物線的所有交點坐標；②當正方形的邊與該拋物線有且僅有兩個交點，且這兩個交點到x軸的距離之差為時，求a的值．24．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．25．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，頂點坐標為．拋物線交軸于點，頂點坐標為．(1)連接，求線段的長；(2)點在拋物線上，點在拋物線上．比較大?。篲__________；(3)若點在拋物線上，，求的取值范圍．26．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．

(1)求點的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為．27．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，點在拋物線上．

(1)求拋物線的解析式；(2)點在第一象限內(nèi)，過點作軸，交于點，作軸，交拋物線于點，點在點的左側(cè)，以線段為鄰邊作矩形，當矩形的周長為11時，求線段的長；(3)點在直線上，點在平面內(nèi)，當四邊形是正方形時，請直接寫出點的坐標．28．（2023·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數(shù)后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物線的一部分（如圖②所示），拋物線的頂點在處，對稱軸與水平線垂直，，點在拋物線上，且點到對稱軸的距離，點在拋物線上，點到對稱軸的距離是1．(1)求拋物線的表達式；(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在上找一點，加裝拉桿，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找到點的位置并求出坐標；(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為，當時，函數(shù)的值總大于等于9．求的取值范圍．29．（2023·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標為，點在該拋物線上，橫坐標為．其中．

(1)求該拋物線對應的函數(shù)表達式及頂點坐標；(2)當點在軸上時，求點的坐標；(3)該拋物線與軸的左交點為，當拋物線在點和點之間的