重難專題05 全等三角形的壓軸題（解析版）

重難專題05全等三角形的壓軸題（1）已知等腰和，連接，若直線交于點O，則；（2）如圖所示，，連接和，過點A作交于點G，垂足為F，若，求的面積．【分析】（1）根據(jù)證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2）作于M，于N，證明，，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式解答即可．【詳解】解：如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴；

如圖：∵，∴，∴，∴，∵，∴∴，∴；故答案為：或．

（2）作于M，于N，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，同理，，∴，∵，∴，，．

【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)作輔助線，構(gòu)建全等三角形，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題．如圖1，是中邊上的高，點D是上一點，連接交于點F，．(1)求證：；(2)若，求證：；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長至點G，連接，，若，，求線段的長．（注：不能應(yīng)用等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判定）【分析】（1）首先根據(jù)高的意義得出，，再結(jié)合已知條件可得到，據(jù)此得出結(jié)論；（2）首先根據(jù)高的意義及（1）的結(jié)論可得出，然后再結(jié)合已知條件可得出，據(jù)此可證明和全等，進(jìn)而可得出結(jié)論；（3）首先根據(jù)四邊形的面積的面積面積可得出，過點作交的延長線于點，再證和全等，從而得，由（2）可知，據(jù)此可得，然后根據(jù)可求出的長，進(jìn)而可得出的長．【詳解】（1）證明：是中邊上的高，，，，，，即：；（2）證明：由（1）知：，，，，，又∵，，即：，，即：，∵，，在和中，，，；（3）解：∵是中邊上的高，，，，∵，，，即：，，由（2）知：，，，過點作交的延長線于點，則，由（1）知：，，，由（2）知：，即：，在和中，，，，由（2）知：，，，

∵，，即：，，．【點撥】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積計算公式等，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與技巧，理解全等三角形的性質(zhì)，難點是在解答（3）時，過點作交的延長線于點，從而構(gòu)成全等三角形．如圖，中，，，E點為射線上一動點，連接，作且．(1)如圖1，過F點作交于D點，求證：，并寫出和的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，連接交于G點，若，求證：E點為中點；(3)當(dāng)E點在射線上，連接與直線交于G點，若，求．【分析】（1）證，利用就“角角邊”證明；由全等得出：，則利用等量代換和圖形中相關(guān)線段間的和差關(guān)系證得結(jié)論；（2）過F點作于D點，根據(jù)（1）中結(jié)論可證明，可得，根據(jù)，可證，即可解題；（3）過F作的延長線交于點D，易證，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解題．【詳解】（1）證明：如圖1，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；（2）證明：（2）如圖2，過F點作于D點，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴＝2，∴＝，∵∴＝，∴E點為中點；（3）當(dāng)點E在CB的延長線上時，過F作的延長線交于點D，如圖3，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，設(shè)，則∴，

當(dāng)點E在線段BC上時，∵，，∴，由（1）（2）知：，∴，∴，∴，設(shè)，則∴．綜上所述：或．【點撥】本題考查了三角形綜合題，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證是解題的關(guān)鍵．如圖，直線，交于點O，點E是平分線的一點，點M，N分別是射線，上的點，且．(1)求證：；(2)點F在線段上，點G在線段延長線上，連接，，若，依題意補全圖形，用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）先根據(jù)角的平分線的性質(zhì)，過點E作，，垂足分別是H，K，得，再根據(jù)三角形全等的判定，證明即可得結(jié)論．（2）作輔助線，在線段上截取，連接EG1，先證明，得，，再證明，得，再推導(dǎo)得出結(jié)論．【詳解】（1）（1）證明：作，，垂足分別是H，K，如圖．

∵是的平分線，∴．∵，∴．∴．記與的交點為P，∴．∴．（2）（2）．證明：在線段上截取，連接EG1，如圖．

∵是的平分線，∴．∵，∴．∵，∴．∴，．∵，∴，．∴．∴．∵．∴．∴．∵，∴．【點撥】此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．如圖，四邊形和四邊形是正方形，（正方形四條邊都相等，四個內(nèi)角都是直角）【感知】（1）某學(xué)習(xí)小組探究如下問題：如圖1，連接，，直線于點H，交于點M，則與面積的大小關(guān)系是：_________．【探究】（2）該學(xué)習(xí)小組在探究（1）中面積問題時，發(fā)現(xiàn)M為中點，你認(rèn)為是否成立?若成立，請證明；若不成立，請說明理由.【拓展】（3）經(jīng)過以上探究，該學(xué)習(xí)小組也提出問題：若正方形和正方形的位置如圖2所示，點M為中點，連接交于點H，那么與有怎樣的關(guān)系?試探究，并說明理由【分析】（1）過點E作于點Q，延長，過點G作于點P，證明，得出，根據(jù)，得出；（2）過點E作于點P，過點B作于點Q，證明，得出，同理得：，證明，求出，證明，得出；（3）延長，在延長線上截取，連接、，證明，得出，，證明，得出，，證明，得出，即．【詳解】解：（1）過點E作于點Q，延長，過點G作于點P，如圖所示：

則，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：．（2）成立；理由如下：過點E作于點P，過點B作于點Q，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，同理得：，∴，∴，

∵，，∴，∴，∴M為中點．（3），．理由如下：延長，在延長線上截取，連接、，如圖所示：

∵M(jìn)為的中點，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，

∴，∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，

∴，∴．【點撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，垂線定義理解，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法．【初步探索】(1)如圖1，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長到點，使．連接，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；【靈活運用】(2)如圖2，若在四邊形中，，．、分別是、上的點，且，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；【拓展延伸】(3)如圖3，已知在四邊形中，，，若點在的延長線上，點在的延長線上，如圖3所示，仍然滿足，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過程．【分析】（1）延長到點，使，連接，可判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出，據(jù)此得出結(jié)論；（2）延長到點，使，連接，先判定，進(jìn)而得出，，再判定，可得出；（3）在延長線上取一點，使得，連接，先判定，再判定，得出，最后根據(jù)，推導(dǎo)得到，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：結(jié)論：．理由：如圖1，延長到點，使，連接，在和中，，，，，，，在和中，，，．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點，使，連接，，，，又，，，，，，，；（3）．證明：如圖3，在延長線上取一點，使得，連接，，，，又，，，，，，，，，，，即，．【點撥】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行推導(dǎo)變形．解題時注意：同角的補角相等．1．閱讀理解在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線法．如圖1，是的中線，，，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是______；類比應(yīng)用如圖2，在四邊形中，，點是的中點．若是的平分線，試判斷，，之間的等量關(guān)系，并說明理由；拓展創(chuàng)新如圖3，在四邊形中，，與的延長線交于點，點是的中點，若是的平分線，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的結(jié)論．【答案】閱讀理解：類比應(yīng)用：拓展創(chuàng)新：【分析】閱讀理解：由全等的性質(zhì)推出，再根據(jù)，可得結(jié)論．類比應(yīng)用：延長，交于點F，先證得，再由是的平分線知，從而得，據(jù)此知，結(jié)合可得答案．拓展創(chuàng)新：延長，交于點，根據(jù)平行和角平分線可證，也可證得，從而可得，即可得到結(jié)論．【詳解】閱讀理解：由題可知，，∴．∵，．∴，∴，∴．故答案為：．類比應(yīng)用：．理由如下：如圖1，延長，交于點．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．拓展創(chuàng)新：如圖2，延長，交于點．∵，∴．在和中，∴，∴．∵是的平分線，∴，∴，∴．∵，∴．故答案為：．【點撥】本題是三角形的綜合問題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系等知識點，綜合性比較強，有一定的難度，通過作輔助線，倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在和中，，，，的延長線交于點．(1)求證：．(2)過點作于點，求證：．(3)若，，，求的度數(shù)．(4)過點作于點，試寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)(4)，理由見解析【分析】（1）只需要利用證明，即可證明；（2）利用證明即可證明；（3）利用三角形內(nèi)角和定理結(jié)合求出，，則，由全等三角形的性質(zhì)得到，即可利用三角形內(nèi)角和定理得到，則；（4）如圖所示，過點A作于M，連接，先證明，得到，再證明，得到，即可證明．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，又∵，，∴，∴；（2）證明：∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（4）解：，理由如下：如圖所示，過點A作于M，連接，∵，，∴（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點撥】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．3．問題提出，如圖（1），在和中，，，，點E在內(nèi)部，直線與交于點F，線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？問題探究(1)先將問題特殊化.如圖（2），當(dāng)點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示之間的數(shù)量關(guān)系；(2)再探究一般情形.如圖（1），當(dāng)點D，F(xiàn)不重合時，證明（1）中的結(jié)論仍然成立.問題拓展(3)如圖（3），在和中，，，，點E在內(nèi)部，直線與交于點F，直線與交于點G，點H為線段上一點，，與交于點I，若，，則___________（用含m，n的式子表示）【答案】(1)；(2)見解析；(3)．【分析】（1）如圖2，由，得易證，利用全等三角形的性質(zhì)等量代換即可求解；（2）成立，如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)交于點M，得求得，結(jié)合（1）易證，利用全等三角形的性質(zhì)等量代換即可求解；（3）如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)交的延長線于點N，連接可知，得，，結(jié)合（1）易證得、，結(jié)合易證得，利用等量代換即可求解．【詳解】（1）解：如圖2，在和中，，，，和是等邊三角形，，即，，，，又，，，，即，，即；（2）成立，如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)交于點M，，，，由（1）可知，，，又，，，，又，是等邊三角形，，，即；（3）如圖，將繞點C旋轉(zhuǎn)交的延長線于點N，連接，，，，，，由（1）可知，，，又，，，又，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了全等三角形的證明和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是做輔助線構(gòu)造全等．4．已知是四邊形內(nèi)一點，且，，是的中點.(1)如圖，連接，，若，求證：；(2)如圖，連接，若，求證：；(3)如圖，若，，垂足為，求證：點，，在同一條直線上.【分析】證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，則可得出結(jié)論；延長到點，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，并能得出：，則可得出結(jié)論；連接，并延長到，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，證出，則可得出結(jié)論.【詳解】（1）證明：在和中，，（SSS），，，；（2）證明：延長到點，使，連接，是的中點，，在和中，，（SAS），，，，，，，，在和中，，（SSS），，，，；（3）證明：連接，并延長到，使，連接，由得，，，，在和中，，（SAS），，，，，，點在同一條直線上．【點撥】本題是四邊形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是善于構(gòu)造全等并熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)．5．在直角三角形中，，直線過點．(1)當(dāng)時，①如圖1，分別過點和作直線于點，直線于點．求證：；②如圖2，過點作直線于點，點與點關(guān)于直線對稱，連接交直線于，連接．求證：．(2)當(dāng)cm，cm時，如圖3，點與點關(guān)于直線對稱，連接、．點從點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿路徑運動，終點為，點以每秒3cm的速度沿路徑運動，終點為，分別過點、作直線于點，直線于點，點、同時開始運動，各自達(dá)到相應(yīng)的終點時停止運動，設(shè)運動時間為秒．當(dāng)與全等時，求的值．【答案】(1)①見解析；②見解析(2)3.5或5或6.5【分析】（1）①根據(jù)同角的余角相等得到，根據(jù)全等三角形的判定定理證明即可；②根據(jù)對稱的性質(zhì)得到，根據(jù)全等得到，，結(jié)合線段的和差可得結(jié)論；（2）分點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動、點沿路徑運動四種情況計算即可．【詳解】（1）解：①證明：，，直線，，，在和中，，；②證明：點與點關(guān)于直線對稱，，，，，，；（2）由題意得，cm，由（1）得，，，當(dāng)時，，當(dāng)點沿路徑運動時，，解得，，不合題意，當(dāng)點沿路徑運動時，，解得，，當(dāng)點沿路徑運動時，，解得，，當(dāng)點沿路徑運動時，，解得，，綜上所述，當(dāng)或5或6.5時，．【點撥】本題屬于三角形綜合題，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．6．如圖①，在中，AB=12cm，BC=20cm，過點作射線．點從點出發(fā)，以4cm/s的速度沿勻速移動；點從點出發(fā)，以acm/s的速度沿勻速移動．點、同時出發(fā)，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止移動，連接、，設(shè)移動時間為t(s)．(1)點、從移動開始到停止，所用時間為s；(2)當(dāng)與全等時，①若點、的移動速度相同，求的值；②若點、的移動速度不同，求的值；(3)如圖②、當(dāng)點、開始移動時，點同時從點出發(fā)，以3cm/s的速度沿向點勻速移動，到達(dá)點后立刻以原速度沿返回．當(dāng)點到達(dá)點時，點、、同時停止移動．在移動的過程中，是否存在與全等的情形？若存在，求出的值，若不存在，說明理由．【答案】(1)5(2)①；②(3)存在，的值為2.5或【分析】（1）根據(jù)時間計算即可．（2）①利用全等三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程解決問題即可．②當(dāng)，時，兩個三角形全等，求出運動時間，可得結(jié)論．（3）分兩種情形分別求解即可解決問題．【詳解】（1）解：點的運動時間（秒，故答案為：5；（2）解：①點、的移動速度相同，，，，當(dāng)時，與全等，則有，解得．②點、的移動速度不同，，當(dāng)，時，兩個三角形全等，運動時間，，滿足題意．（3）解：若點、的移動速度不同，則時，兩個三角形有可能全等，此時．若點、的移動速度相同，則，，或，解得（舍棄）或，綜上所述，滿足條件的的值為2.5或．【點撥】本題屬于三角形綜合題，考查了路程，速度，時間之間的關(guān)系，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．7．已知：中，，，D為直線上一動點，連接，在直線右側(cè)作，且．(1)如圖1，當(dāng)點D在線段上時，過點E作于H，連接．求證：；(2)如圖2，當(dāng)點D在線段的延長線上時，連接交的延長線于點M，求證：；(3)當(dāng)點D在直線上時，連接交直線于M，若，請求出的值．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)【分析】（1）由結(jié)合已知得結(jié)合題意證，利用全等的性質(zhì)可證；（2）如圖2，過點E作，由垂直得結(jié)合已知證，得到，，再證即可得到結(jié)果；（3）當(dāng)點D在延長線上時，如圖，交的延長線于N，由，設(shè)則，分別，利用全等的性質(zhì)求出，最后利用三角形面積公式計算即可．【詳解】（1）∵，，∴，∴，∴，又∵,∴，（2）證明：如圖2，過點E作，∵，，∴，∴，∴，又∵,，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（3）解：如圖，點D在直線上時，連接交直線于M，，交的延長線于N，設(shè)，則∵，，，∴，∴，又∵,，∴，∴，又∵，∴，【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形面積公式；解題的關(guān)鍵是證明三角形全等并運用性質(zhì)進(jìn)行等量換算．8．在中，平分，平分，和交于點，其中令，．(1)【計算求值】如圖1，①如果，則______；②如果，則______．(2)【猜想證明】如圖2請你根據(jù)（1）中【計算求值】的心得猜想寫出與的關(guān)系式為______，并請你說明你的猜想的正確性．(3)【解決問題】如圖3，某校園內(nèi)有一個如圖2所示的三角形的小花園，花園中有兩條小路，和為三角形的角平分線，交點為點，在處建有一個自動澆水器，需要在邊取一處接水口，經(jīng)過測量得知，米，米，請你求出水管至少要多長？（結(jié)果取整數(shù)）【答案】(1)①115°；②80°；(2)y=90°+x；理由見詳解；(3)至少要71米．【分析】（1）如圖1，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理由∠BAC=50°可求得∠ABC+∠ACB=130°，再根據(jù)角平分線的定義得∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，從而可求得∠DBC+∠ECB=，于是可求得y的值，②先由三角形的內(nèi)角和定理求得∠OBC+∠OCB=50°，再由BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，求得∠ABC+∠ACB=2∠OBC+2∠OCB=100°，從而即可求得x；（2）如圖2，用三角形的內(nèi)角和求得∠ABC+∠ACB=180°-x，再角平分線求得∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，于是可得∠DBC+∠ECB=(180°-x)=90°-x，最后利用三角形的內(nèi)角和即可得y=90°+x，（3）如圖3，在BC_上取點M和N，使BM=BE，CN=DC，先證明△BEO≌△BMO，△ODC≌△ONC，得∠BOM=∠BOE，∠NOC=∠DOC，OM=OE，ON=OD，從而由∠BAC=120°，得∠OBC+∠OCB=，于是有∠BOM=∠NOC=30°，計算∠MON=90°，從而得S△OMN=（米2），于是即可利用面積求得OF的最小值．【詳解】（1）解∶如圖1，∵x=50°即∠BAC=50°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=130°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠DBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB，∴∠DBC+∠ECB=(∠ABC+∠ACB)=，∵∠BOC+∠DBC+∠ECB=180°，∴y=∠BOC=180°-65°=115°，故答案為∶115°；②∵y=130°