高中數(shù)學選擇性必修二-精講精煉-4-1-列的概念(精講)(含答案)

4.1數(shù)列的概念(精講)思維導圖思維導圖常見考法常見考法考點一數(shù)列的定義辨析【例1】(1)(2021·全國高二專題練習)下列有關數(shù)列的說法正確的是()①數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一數(shù)列；②數(shù)列{an}與{a2n－1}表達同一數(shù)列；③數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項公式不唯一；④數(shù)列－1，1，3，5，8，…的通項公式為an＝2n－3，n∈N*.A．①④ B．②③ C．③ D．①②(2)(2021·全國高二課時練習)有下列說法：①數(shù)列1，3，5，7可表示為{1，3，5，7}；②數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列7，5，3，1是同一數(shù)列；③數(shù)列1，3，5，7與數(shù)列1，3，5，7，是同一數(shù)列；④數(shù)列0，1，0，1，是常數(shù)列．其中說法正確的有()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】(1)C(2)A【解析】(1)①是錯誤的，數(shù)列各項順序不同，即表示不同的數(shù)列；②是錯誤的，數(shù)列{an}表達數(shù)列a1，a2，a3，a4，…，an，…，而數(shù)列{a2n－1}表達數(shù)列a1，a3，a5，…，a2n－1，…，不是同一數(shù)列；③是正確的，數(shù)列－1，1，－1，1，…的通項公式可以是an＝(－1)n，an＝cosnπ等；④是錯誤的，顯然當n＝5時，a5＝7，不是數(shù)列中的項．故選：C.(2)①說法錯誤，構成數(shù)列的數(shù)是有順序的，而集合中的元素是無序的；②說法錯誤，兩數(shù)列的數(shù)排列順序不相同，不是相同的數(shù)列；③說法錯誤，數(shù)列1，3，5，7是有窮數(shù)列，而數(shù)列1，3，5，7，是無窮數(shù)列；④說法錯誤，由常數(shù)列的定義，可知0，1，0，1，不是常數(shù)列．故選：A.【一隅三反】1．(2021·全國高二單元測試)(多選)下列關于數(shù)列的說法正確的是()A．按一定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列B．若{an}表示數(shù)列，則an表示數(shù)列的第n項，an=f(n)表示數(shù)列的通項公式C．同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一D．同一個數(shù)列的任意兩項均不可能相同【答案】ABC【解析】根據(jù)數(shù)列的定義，我們把按定次序排列的一列數(shù)叫作數(shù)列，可得A正確；若{an}表示數(shù)列，則an表示數(shù)列的第n項，an=f(n)表示數(shù)列的通項公式，可得B正確；同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一，例如，也可寫成，可得C正確；因為一個數(shù)列的每一項的值是可以相同的，比如說常數(shù)數(shù)列，可得D錯誤，故選：ABC考點二根據(jù)通項公式寫出項【例2】(1)(2021·全國高二課時練習)已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的()A．第5項 B．第6項 C．第7項 D．第8項(2)(2021·全國高二專題練習)已知數(shù)列－1，，－，…，(－1)n.，…，則它的第5項的值為()A． B．－ C． D．－【答案】(1)B(2)D【解析】(1)數(shù)列通項公式為，當，解得，故選：B.(2)由題設，數(shù)列的通項公式為，∴當n＝5時，該項為.故選：D.【一隅三反】1．(2021·全國高二專題練習)已知數(shù)列{an}的通項公式，則a2a3的值是()A．70 B．28 C．20 D．16【答案】D【解析】依題意，，，則，所以a2a3的值是16.故選：D2．(2021·全國高二課時練習)在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，…中，x的值是()A．19 B．20 C．21 D．22【答案】C【解析】解析：觀察數(shù)列可得規(guī)律1+1=2，1+2=3，2+3=5，…，8+13=x=21，13+21=34，∴x=21，故選：C3(2021·全國高二單元測試)函數(shù)的正數(shù)零點從小到大構成數(shù)列，則()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵∴令得：或，，∴或，，∴正數(shù)零點從小到大構成數(shù)列為：故選：B.4．(2021·遼寧錦州·高二期中)數(shù)列的第10項是()A． B． C． D．【答案】D【解析】從分子上看，2，4，6，8，對應的通項為，從分母上看，3，5，7，9，對應的通項為，所以該數(shù)列的通項公式，所以．故選：．考點三根據(jù)項寫出通項公式【例3】(2021·甘肅蘭州·蘭大附中(文))已知，，，，則數(shù)列的一個通項公式為()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，，則，故選：．【一隅三反】1．(2021·全國)數(shù)列，3，，15，…的一個通項公式可以是()A． B．C． D．【答案】A【解析】將代入四個選項，可知中D中所以排除C、D.當，代入B可得所以排除B，即A正確，故選：A.2．(2021·全國)已知數(shù)列的前項依次為，，，，則數(shù)列的通項公式可能是()A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤.對于B，，故B錯誤.對于C，，故C正確.對于D，，故D錯誤.故選：C.3．(2021·全國高二課時練習)(多選)一個無窮數(shù)列{an}的前三項是1，2，3，下列可以作為其通項公式的是()A．B．C．D．【答案】AD【解析】對于A，若，則，，，符合題意；對于B，若，則，不符合題意；對于C，若，當時，，不符合題意；對于D，若，則，，，符合題意.故選：AD.考點四數(shù)列的單調性【例4】(1)(2021·海南)(多選)滿足下列條件的數(shù)列是遞增數(shù)列的為()A． B． C． D．(2)(2021·河南高二月考)已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】(1)BD(2)A【解析】(1)A．因為，所以是遞減數(shù)列；B．因為，所以是遞增數(shù)列；C．因為，所以是遞減數(shù)列；D．因為，所以是遞增數(shù)列；故選：BD.(2)由題意可得解得.故選：A.【一隅三反】1．(2021·全國高二期末)已知數(shù)列的通項公式是，那么這個數(shù)列是()A．擺動數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．常數(shù)列【答案】C【解析】因為，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故選：C2．(2021·全國高二專題練習)(多選)已知數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實數(shù)的值可能為()A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【解析】由題意對恒成立，即，，因為，所以(時等號成立)，即的最大值為0，所以．故選：CD．3(2021·全國高二單元測試)設數(shù)列的通項公式為，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)的范圍為_______．【答案】【解析】因為數(shù)列是遞增數(shù)列，可得對于任意的恒成立，即，整理可得：，所以對于任意的恒成立，因為單調遞減，所以，所以，故答案為：.考點五數(shù)列的分類【例5】(1)(2021·全國高二課時練習)下列數(shù)列中，既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是()A．… B．…C．… D．(2)(2021·全國高二專題練習)給出下列數(shù)列：①2010～2017年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構成數(shù)列82，93，105，118，132，147，163，180；②無窮多個構成數(shù)列，，，，…；③－2的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…構成數(shù)列－2，4，－8，16，－32，….其中，有窮數(shù)列是________，無窮數(shù)列是_______，遞增數(shù)列是________，常數(shù)列是________，擺動數(shù)列是________．【答案】(1)C(2)①②③①②③【解析】(1)對于選項A：數(shù)列是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列，而是遞減數(shù)列；故選項A不正確；對于選項B：數(shù)列是無窮數(shù)列，但它不是遞增數(shù)列；故選項B不正確；對于選項C：數(shù)列是無窮數(shù)列，也是遞增數(shù)列；故選項C正確；對于選項D：數(shù)列是遞增數(shù)列，但不是無窮數(shù)列，故選項D不正確；故選：C(2)①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列，同時①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為擺動數(shù)列．故答案為：①；②③；①；②；③【一隅三反】1(2021·全國高二課時練習)下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A．1，，，，… B．，，，C．，，，，… D．1，，，…，【答案】C【解析】A，B都是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，只有C符合題意．故選：C．2．(2021·全國高二專題練習)給出以下數(shù)列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有窮數(shù)列為______；無窮數(shù)列為______；遞增數(shù)列為______；遞減數(shù)列為_____；擺動數(shù)列為_____；常數(shù)列為______．(填序號)【答案】②④①③②④①③【解析】有窮數(shù)列為②④；無窮數(shù)列為①③；遞增數(shù)列為②；遞減數(shù)列為④；擺動數(shù)列為①；常數(shù)列為③.故答案為：②④；①③；②；④；①；③考點六數(shù)列的最值【例6】(1)(2021·全國高二專題練習)數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－6n，則它最小項的值是________．(2)(2021·全國高二課時練習)已知，則數(shù)列的最大項的值為____【答案】(1)－9(2)【解析】(1)∵an＝n2－6n＝(n－3)2－9，∴當n＝3時，an取得最小值－9.故答案為：－9(2)由題意，知且，易知，故為遞減數(shù)列．因此數(shù)列的最大項為，其值為．故答案為：．【一隅三反】1．(2021·全國高二課時練習)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是()A．第5項 B．第6項C．第4項或第5項 D．第5項或第6項【答案】A【解析】，因為，且，所以數(shù)值最大的項為第5項．故選：A．2．(2021·全國高二專題練習)數(shù)列中，，則該數(shù)列前100項中的最大項與最小項分別是()A．a(chǎn)1，a50 B．a(chǎn)1，a44 C．a(chǎn)45，a44 D．a(chǎn)45，a50【答案】C【解析】，，當時，為負數(shù)且遞減；當時，為正數(shù)，且遞減.所以前項中，最大項為，最小項為.故選：C3．(2021·全國)已知數(shù)列滿足，則的最小值是()A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】因為，所以，即，則，當時，上式成立，故，，設，則，故數(shù)列是單調遞增數(shù)列，則當時，即的最小值為1.故選：C.4．(2021·上海市進才中學高二月考)已知數(shù)列的通項公式為，且為嚴格單調遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是___________【答案】【解析】由數(shù)列是嚴格單調遞增數(shù)列，所以，即，即恒成立，又數(shù)列是單調遞增數(shù)列，所以當時，取得最小值，所以.故答案為：考法七公式法求通項【例7】(1)(2021·全國高二專題練習)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.(2)(2021·河南信陽高中高二月考(文))已知數(shù)列的前n項和為，則=___________.(3)(2021·全國高二單元測試)若數(shù)列,其前n項的積為，則_____________.【答案】(1)1(2)(3)【解析】(1)當n＝1時，a1＝S1＝1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝1.(*)顯然n＝1時滿足(*)式，∴an＝1.故答案為：1(2)當時，；當時，因為，所以所以；所以；所以當時，是以2為公比的等比數(shù)列；所以，當時，所以，故答案為：(3)設數(shù)列的前項的積為，則.當時，；當時，.滿足.綜上所述，.故答案為：.【一隅三反】1．(2021·全國高二課時練習)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝3×2n－3，其中n∈N*.求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】.【解析】由Sn＝3×2n－3，n∈N*，得當n＝1時，a1＝S1＝3×21－3＝3.當n≥2時，，又當n＝1時，a1＝3也滿足上式．所以數(shù)列{an}的通項公式為.2．(2021·全國高二課時練習)已知數(shù)列{an}滿足，求數(shù)列{an}的通項公式．【答案】