數(shù)形結合教學中數(shù)形結合能力培養(yǎng)的實踐與感悟

數(shù)形結合教學中數(shù)形結合能力培養(yǎng)的實踐與感悟

在過去的課堂上，作者假設采用橢圓定義后，這種內(nèi)容純粹是代數(shù)的運算過程。因此，他只關注形式的變化，只在代代相傳研究。在課堂上，通常由老師“說”。這也導致了數(shù)形結構訓練的興趣，導致學生數(shù)形結構能力的提高。數(shù)形結構不僅是從數(shù)到形的可視化，也應該從形式到形式的代數(shù)。橢圓標準方程的導出應該是代數(shù)的簡化過程。事實上，每種模式的背后都有豐富的幾何意義。在這項工作中，我們以橢圓標準方程的導出為例，探討了數(shù)形結構訓練的實踐和感知。1畫橢圓,發(fā)現(xiàn)幾何特征人教A版教科書選2-1中(以下簡稱教科書),橢圓是用幾何形式進行定義的.當?shù)贸鰴E圓定義后,學生覺得橢圓好“玩”,根據(jù)定義畫橢圓很方便,并且能畫各種各樣的橢圓.教師借此鼓勵學生自己動手,用繩子按定義畫各種橢圓.通過畫橢圓讓學生自己發(fā)現(xiàn)橢圓幾何特征.如封閉性、對稱性、光滑性、似“圓”又不象圓等,及繩子的長短和兩定點距離遠近都會影響橢圓的“扁平”.問題1橢圓有哪些幾何特征?橢圓的扁平?jīng)Q定誰?設計意圖表面上看橢圓是形的特征,事實上,橢圓也具有數(shù)的特征,只不過“暗藏”在圖形背后.讓學生先畫不同的橢圓,然后引導學生觀察橢圓幾何特征與量的變化關系,從中產(chǎn)生對橢圓的性質或數(shù)量關系的直接感知,提高由形想到數(shù)的自覺性.也為研究橢圓的標準方程與圖形之間的關系埋下了伏筆.2橢圓的生活本質一種新的方法產(chǎn)生,是為了適應解決新問題的迫切需要.教科書講到“建立橢圓的方程,并通過方程研究橢圓的性質.”那么學習橢圓方程就是為了研究橢圓的對稱性、封閉性、頂點、扁平性的需要而學習嗎?事實上,以上這些性質學生直接從畫橢圓的過程容易得出,無須一定要用到橢圓的標準方程.這樣的教學似乎有點牽強附會,不夠自然,有強加于之嫌.問題2如圖1,日常生活中見到“扁圓”一定是橢圓嗎?橢圓上哪一點到A點距離最遠?如圖2,殘缺的曲線如何判斷它屬于橢圓的一部分?用“測量”方法精確度高嗎?有無令人信服的方法?設計意圖思維源于行動中迫切需要,發(fā)生于正在進行中的充滿疑難、困惑的懸而未決的情境.出現(xiàn)困難、錯誤、甚至失敗,這是獲取探索新知識、發(fā)現(xiàn)新問題、創(chuàng)造新方法的必經(jīng)之路,教師的角色更應該是學生學習的推動者.通過以上問題提出,讓學生感到要進一步了解橢圓必須要精確化,即將橢圓代數(shù)化是必然的選擇.3對“2”式進行化簡的化簡速度結合橢圓的幾何特征,學生容易想到把坐標系的原點放在橢圓的“中心”.并根據(jù)條件得到觀察(1)式,不難發(fā)現(xiàn),用-x代替x,或用-y代替y,等式都不變,且兩個根式和為定值.由此得出(1)式的結構具有對稱性、和諧性.若對式子進行兩邊平方,原式的“美麗”反而變“丑陋”了.那為什么要對(1)式進行化簡?化簡后能得到“更好”的等式嗎?化簡的目的僅是為了研究橢圓的對稱性、范圍、封閉性等性質嗎?其中的道理多數(shù)學生是不清楚的,只是盲目跟老師的思路走.此時,教師不能急于提化簡,應該先由學生猜想橢圓方程.問題3在適當建立坐標系下,橢圓方程為怎樣的形式?設計意圖學生依據(jù)圓方程的學習經(jīng)驗,猜想出橢圓方程的形式為Ax2+By2=C2.學生心中有了這個“好”方程,為等式化簡找到了指向標,為克服運算困難增加了自信.若沒有對橢圓方程的猜測過程,等式變形就沒有了更深遠的目的,化簡就毫無方向.學生經(jīng)歷了由橢圓猜想其方程的思維過程,感到數(shù)與形是緊密相聯(lián)的.這不僅對培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判性思維有好處,而且對運用數(shù)形結合進行思考問題很有幫助.4橢圓的等式及其應用問題4為什么要先移項再平方,好處在哪?化簡過程中每個等式所表示的圖形保持一致性,都代表同一個橢圓,各式所代表的幾何意義又是什么?多數(shù)學生認為,若兩邊直接平方,等式中根式不僅仍然存在,并且等式中出現(xiàn)4次形式,對運算帶來不方便.因此先移項,得僅從運算角度上來看,教科書上的處理方式的優(yōu)勢并不明顯.那么教科書上的這樣處理有無其它意義呢?(2)式的幾何意義是:橢圓上點到F2(c,0)距離等于長為2a的線段截去與橢圓上點到F1(-c,0)距離相同的線段的長度.即橢圓是:以F1為圓心,半徑為2a的圓上動點P,與圓內(nèi)定點F2連線段PF2的中垂線與線段F1P交點的軌跡.(3)式雖然變“丑”了,幾何意義不明顯,怎樣讓式子的幾何意義更明顯?因為和x的系數(shù)不是1,給構造圖形帶來困難.能否將它們的系數(shù)化為1?經(jīng)過變換,得對于(4)式有無其它的變換方式?仔細觀察此式的每項都是一個平方數(shù),是否與平方差公式有關聯(lián)?(3)式可化為設計意圖由以上各個等式變換產(chǎn)生形式不同的數(shù)學式子,不同的等式具有不同的數(shù)學內(nèi)涵,由此滋生出不同的幾何意義,但它們都代表同一個圖形———橢圓.學生不僅僅得到了橢圓的方程,還理解了橢圓不同描述,較完整地了解橢圓標準方程的真實意義,豐厚了橢圓的內(nèi)容,提升了橢圓的品質,對橢圓方程各種的式子留下較為深刻的印象,對橢圓的參悟更透徹了.學生感到橢圓的標準方程不是故意造作的,式子的結構與完美的圖形緊密相伴.這樣單調、繁瑣的運算過程就會變得生動而有活力.這為之后橢圓方程的靈活運用打下了堅實的基礎.更重要的是讓學生享受到數(shù)形結合的樂趣,活躍了學生的思維,促進了學生形象思維和抽象思維的和諧發(fā)展,并讓學生明白,變的是形式,不變的是本質的科學道理.5建立對應關系問題5以上推理過程中,“數(shù)”與“形”是通過哪些方式進行聯(lián)結?回顧總結橢圓標準方程的推導過程中,各等式幾何意義的思維探究過程,概括聯(lián)結“數(shù)”和“形”之間對應關系的常見示例:橢圓ue06d常數(shù)(根式和,斜率積、根式比、平方和).設計意圖由于學生儲備的“數(shù)”與“形”信息不對稱,導致數(shù)和形失去聯(lián)結,這是影響數(shù)與形結合能力的主要原因之一.通過歸納總結提煉,將常用到的“式”與“形”建立一種對應關系,這樣可以優(yōu)化知識結構,便于信息儲存和提取,有利于溝通數(shù)式與圖形的認知聯(lián)結,并能準確地選擇合適的途徑實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉換,對解題的思路的發(fā)現(xiàn)具有一定啟示效果,對學生以后能否以簡捷的方法處理問題都起著至關重要的作用.6教師不要讓數(shù)形結合的教學機會在眼底下流失.從教學實際情況來看,數(shù)學學習困難的學生,他們數(shù)形結合能力相對薄弱.數(shù)形結合能力強的學生,他們比較喜歡數(shù)學,學得也較輕松.因此,教師不要讓數(shù)形結合的教學機會在眼皮底下流失.6.1數(shù)形結合思想解析幾何雖然是用代數(shù)方法研究幾何,但并不是單純是由“形”到“數(shù)”的單向聯(lián)結,反過來,各個代數(shù)式都蘊藏著幾何意義,因為它源于幾何。解析幾何還有一個任務,引導學生將代數(shù)的結果對幾何進行解釋,即要重視由“數(shù)”到“形”的轉換.教師在平時教學中,往往把解析幾何教學的重心放在繁雜的運算過程中.沖淡了數(shù)形結合思想,曲解了學習解析幾何的意義,嚴重脫離了數(shù)學的本質.法國數(shù)學家拉格朗日說:“只要代數(shù)同幾何分道揚鑣,它們的進展就緩慢,它們的應用就狹窄.但當這兩門科學結合成伴侶時,它們就互相吸取新鮮的活力,從而以快速的步伐走向完善”.6.2數(shù)形結合能力的培養(yǎng)過程平時在數(shù)形結合思想的教學中,往往到了高三專題復習講座時,數(shù)形結合才獲得暫時的優(yōu)惠待遇.這種臨時抱佛腳,為了“數(shù)”和“形”結合而結合的教學,完全出于考試的功利需要,學生所獲得的所謂“數(shù)形結合思想”,在新的情境下顯得蒼白無力.數(shù)形結合能力的培養(yǎng)需要一個十分漫長的過程,是一項長期的教學任務.數(shù)形結合需要常在心中留,在數(shù)學學習過程中不能輕易地放棄數(shù)形結合的好機會.數(shù)與形是“永遠聯(lián)系”.6.3數(shù)形結合的能力培養(yǎng)方案在處理數(shù)學問題時,常要“數(shù)”和“形”之間的相互轉換.但實現(xiàn)數(shù)和形轉換并不是一件輕而易舉的事.式子和圖形所呈現(xiàn)的不同形式都會影響轉換的速度和效果.代數(shù)式具有抽象性,式子的結構有時缺乏明顯幾何的特征,或與常規(guī)的式子有較大差異,幾何意義被“雜亂”的式子所掩飾,需要解題者將式子作適當?shù)恼{整,使幾何意義浮出水面.幾何問題轉化為代數(shù)問題,最關鍵的是從圖形中挖掘出有用的幾何特征,然后將這些特征轉換成代數(shù)問題,要求學生具有敏銳觀察、分析、綜合、判斷等能力.數(shù)形結合能力的培養(yǎng),教師要對學生起到一定的輔助和指導作用.首先,教師要研究學生數(shù)形結合心理需求及軟弱點,不同的人對“數(shù)”和“形”有不同的偏好,教學時要分層要求.其次,充分挖掘教材中數(shù)形結合內(nèi)容,縱橫拓展,重視變式.讓學生親身經(jīng)歷由形到數(shù),由數(shù)造形的活動過程,提高數(shù)形結合的敏感度,增強運用數(shù)形結合的自覺性,積累數(shù)和形相互轉換的經(jīng)驗,讓數(shù)形結合時時保持旺盛狀態(tài),處處感知學習數(shù)學的快樂,時刻盡享數(shù)形結合的美好.這是調動學生數(shù)形結合的內(nèi)在動因較為有效的方法.(6)式的幾何意義:橢圓上點滿足到定點F2(c,0)距離與到定直線x=a2/c的距離之比為常數(shù)c/a.(4)式雖然比較簡潔了,此式所表達的幾何意義是什么?若令,則(