吉林省十一校聯(lián)考2023-2024學年高一上學期期中考試數(shù)學試題（解析版）

2023~2024學年度高一年級上學期期中考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章至第三章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)集合的運算求解即可.【詳解】因為，所以．故選：B.2.“所有的長方體都有12條棱”的否定是（）A.所有的長方體都沒有12條棱 B.有些長方體沒有12條棱C.有些長方體有12條棱 D.所有的長方體不都有12條棱【答案】B【解析】【分析】利用全稱命題否定的方法進行判斷.更多優(yōu)質(zhì)支援請嘉威鑫MXSJ663【詳解】“所有長方體都有12條棱”的否定是“有些長方體沒有12條棱”.故選：B.3.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法計算即可.【詳解】因為的定義域為，所以，解得．故選：D.4.高一（8）班共有30名同學參加秋季運動會中的100米短跑、立定跳遠、跳高三項比賽.已知參加100米短跑比賽的有12人，參加立定跳遠比賽的有16人，參加跳高比賽的有13人，同時參加其中兩項比賽的有9人，則這三項比賽都參加的有（）A.3人 B.2人 C.1人 D.4人【答案】C【解析】【分析】作出圖形即可得到方程，解出即可.【詳解】設這三項比賽都參加的有人，則，解得．故選：C.5.函數(shù)部分圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，由函數(shù)圖象的對稱性排除選項C，再由函數(shù)在的單調(diào)性或值域可得出正確答案.【詳解】由已知，，則，故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故C項錯誤；當時，，則，故AD項錯誤，應選B.又設，且，則，故，則有，即，故在上單調(diào)遞減.綜上，函數(shù)圖象的性質(zhì)與選項B中圖象表示函數(shù)的性質(zhì)基本一致.故選：B.6.設等腰三角形腰長為x，底邊長為y，且，則“的周長為16”是“其中一條邊長為6”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分、必要條件等知識確定正確答案.【詳解】若“的周長為16”，則，解得，所以“其中一條邊長為6”.若“其中一條邊長為6”，如，則，此時三角形的周長為，即無法得出“的周長為16”，所以“的周長為16”是“其中一條邊長為6”充分不必要條件.故選：A7.若關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況討論即可.【詳解】不等式轉(zhuǎn)化為．當，即時，恒成立，符合題意．當時，，解得．故的取值范圍為．故選：D.8.定義域為的函數(shù)滿足，且當時，恒成立，設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性、單調(diào)性確定正確答案.【詳解】依題意，定義域為的函數(shù)滿足，所以的圖象關(guān)于直線對稱，而時，恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，，所以，所以.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.下列各選項中的兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】由兩函數(shù)的定義域與對應法則是否相同判斷即可.【詳解】選項A，因為，且兩函數(shù)定義域都是，故兩函數(shù)是同一個函數(shù)，所以A正確；選項B，因為的定義域為，而的定義域為，故兩函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以B錯誤；選項C，，且定義域都，故兩函數(shù)是同一個函數(shù)，所以C正確；選項D，的定義域為，的定義域為，故兩函數(shù)不是同一個函數(shù)，所以D錯誤.故選：AC.10.已知冪函數(shù)滿足，則（）A. B.C.的圖象經(jīng)過原點 D.的圖象不經(jīng)過第二象限【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念與指數(shù)冪的運算得，結(jié)合圖象逐項判斷即可得答案.【詳解】設冪函數(shù)，根據(jù)題意可得，解得，則，的圖象如圖所示：則的圖象經(jīng)過原點，不經(jīng)過第二象限．故選：ACD.11.已知函數(shù)的定義域為，則“為偶函數(shù)”的一個必要不充分條件可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】若為偶函數(shù)，不一定成立，但，．由不能推出為偶函數(shù)，所以是“為偶函數(shù)”的一個必要不充分條件，故A正確；；若，則為偶函數(shù)，是“為偶函數(shù)”的一個充分必要條件，故B錯誤；由不能推出為偶函數(shù)，所以是“為偶函數(shù)”的一個不必要不充分條件，故C錯誤；由不能推出為偶函數(shù)，所以是“為偶函數(shù)”的一個必要不充分條件，故D正確；故選：AD.12.函數(shù)在上的最大值為4，最小值為，則的值可能為（）A. B. C.8 D.9【答案】BCD【解析】【分析】分類討論得到的圖象，然后分、和三種情況討論求解即可.【詳解】當時，；當時，．作出的圖象，如圖所示．當時，由，即，解得．當時，．當時，由，即，解得．當時，．根據(jù)在上的最大值為4，最小值為，可對作如下討論：若，則，不合題意；若，則，不合題意；若，則，令，解得（舍去）或5．綜上可得，，，故．故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某停車場的收費規(guī)則：停車1小時以內(nèi)（含1小時整）收費5元；停車超過1小時，超出部分按每小時2元收費，不足1小時按1小時收費．王先生某日上午10：00進入該停車場停車，當日下午2：35駛出該停車場，則王先生應付的停車費為______元．【答案】13【解析】【分析】根據(jù)題意得到王先生的停車時長，然后求停車費即可.【詳解】依題意得，王先生的停車時長為4小時35分，則按5小時計費，王先生應付的停車費為元．故答案為：13.14.已知是定義在上的奇函數(shù)，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】由定義區(qū)間的對稱性可解得，再由奇函數(shù)定義求解參數(shù)即可.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，解得，又因為是奇函數(shù)，則恒成立，即恒成立，化簡得，因為該等式對恒成立，所以.故答案為：；.15.已知，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因為，所以，則．因為，所以，當且僅當，即時，等號成立．故答案為：16.已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且，，則______．【答案】14【解析】【分析】由單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)，可得為定值，可以設，則，又由，可得的解析式求.【詳解】，，是定義在上的單調(diào)函數(shù)，則為定值，設，則，，解得，得，所以.故答案為：14.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式得到集合，然后求交集即可；（2）根據(jù)得到，然后分和兩種情況求解即可.【小問1詳解】當時，，因為，所以．【小問2詳解】因為，所以．當時，，解得．當時，，解得．綜上，m的取值范圍為．18.已知正實數(shù)，滿足．（1）求的最大值；（2）證明：．【答案】（1）9（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用基本不等式求最大值即可；（2）利用基本不等式證明即可.【小問1詳解】解：因為，，，所以，則，解得，即，當且僅當時，等號成立．故的最大值為9．【小問2詳解】證明：（方法一）因為，解得或（舍去），當且僅當時，等號成立．故，即得證．（方法二）由（1）得，則，故，即得證．19.已知函數(shù)．（1）求的解析式；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明詳見解析【解析】【分析】（1）利用湊配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判斷出單調(diào)性，然后利用單調(diào)性的定義進行證明.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】，在上單調(diào)遞增，證明如下：設，，其中，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.20.已知某污水處理廠的月處理成本y（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為．當月處理量為120萬噸時，月處理成本為49萬元．該廠處理1萬噸污水所收費用為0.9萬元．（1）該廠每月污水處理量為多少萬噸時，才能使每萬噸的處理成本最低？（2）請寫出該廠每月獲利（萬元）與月處理量x（萬噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每月獲利的最大值，【答案】（1）當每月污水處理量為萬噸時，每萬噸的處理成本最低（2），最大值為萬元【解析】【分析】（1）先求得，利用基本不等式求得正確答案.（2）先求得的解析式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，解得，所以，，當且僅當時等號成立，所以當每月污水處理量為萬噸時，每萬噸的處理成本最低.【小問2詳解】依題意，，當萬噸時，取得最大值為萬元.21.已知關(guān)于的不等式．（1）若原不等式的解集為或，求的值；（2）若，且原不等式的解集中恰有8個質(zhì)數(shù)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解集和方程的根之間的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)不等式的解集和質(zhì)數(shù)的定義列不等式求解即可.【小問1詳解】由題意得，1是關(guān)于的方程的兩根，且，則，，解得．【小問2詳解】不等式可化，因為，所以關(guān)于的方程的兩