高數(shù)有理分式積分法

節(jié)基本積分法:直接積分法;換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例有理函數(shù)的積分本節(jié)內(nèi)容:章2021/5/91有理函數(shù)rationalfunction真分式properfraction假分式improperfraction生詞2021/5/92一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù):時(shí),為假分式;時(shí),為真分式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束簡(jiǎn)單分式:形如的分式.(其中A、a、M、N、p、q為常數(shù))2021/5/93定理.任何一個(gè)真分式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(無(wú)公因子)都可分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單分式之和,并且(1)若Q(x)=0有k重實(shí)根a(即把Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,含有因子),則分解時(shí)必含有以下的分式:其中為待定系數(shù).(2)若Q(x)=0有一對(duì)k重共軛復(fù)根和(即把Q(x)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)因式分解,含有因子),則分解時(shí)必含有其中為待定系數(shù).2021/5/94機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束根據(jù)上述的結(jié)論,一個(gè)真分式都可分解成若干個(gè)簡(jiǎn)單分式之和,而這些簡(jiǎn)單分式不外乎為以下四種類(lèi)型:于是,求任何一個(gè)真分式的不定積分問(wèn)題,也就轉(zhuǎn)化為求以上四種類(lèi)型的不定積分.2021/5/95機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求四種類(lèi)型的不定積分：2021/5/96機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束求四種類(lèi)型的不定積分：上一節(jié)例9四種類(lèi)型的不定積分都為初等函數(shù)2021/5/97機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束有理函數(shù)的不定積分：有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解其中部分分式的形式為若干部分分式之和結(jié)論:有理函數(shù)的不定積分為初等函數(shù).2021/5/98例1.

將下列真分式分解為部分分式:解:(1)用拼湊法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/99(2)用賦值法故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/910(3)混合法機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束原式=2021/5/911例2.

求解:

已知例1(3)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/912例3.

求解:

原式思考:如何求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束提示:變形方法同例3,并利用上一節(jié)課件例9.2021/5/913例4.

求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:令得∴原式2021/5/914例5.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束說(shuō)明:將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行,但不一定簡(jiǎn)便,因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求簡(jiǎn)便的方法.2021/5/915例6.求解:原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/916例7.求常規(guī)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

原式(見(jiàn)P348公式21)注意本題技巧按常規(guī)方法較繁2021/5/917按常規(guī)方法解:第一步令比較系數(shù)定a,b,c,d.得第二步化為部分分式.即令比較系數(shù)定A,B,C,D.第三步分項(xiàng)積分.此解法較繁!機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/918例.

求解:

令比較同類(lèi)項(xiàng)系數(shù),故∴原式說(shuō)明:

此技巧適用于形為的積分.2021/5/919二、可化為有理函數(shù)的積分舉例設(shè)表示三角函數(shù)有理式,令萬(wàn)能代換t

的有理函數(shù)的積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束1.三角函數(shù)有理式的積分則2021/5/920例8.求解:

令則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/921機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/922例9.求解:

說(shuō)明:

通常求含的積分時(shí),往往更方便.的有理式用代換機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/923例10.求解法1令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/924例10.求解法2令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/925例11.求解:

因被積函數(shù)關(guān)于cosx

為奇函數(shù),可令原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9262.簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分令令被積函數(shù)為簡(jiǎn)單根式的有理式,可通過(guò)根式代換化為有理函數(shù)的積分.例如:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束令2021/5/927例12.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/928例13.

求解:

為去掉被積函數(shù)分母中的根式,取根指數(shù)2,3的最小公倍數(shù)6,則有原式令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/929例14.

求解:

令則原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/930內(nèi)容小結(jié)1.可積函數(shù)的特殊類(lèi)型有理函數(shù)分解多項(xiàng)式及部分分式之和三角函數(shù)有理式萬(wàn)能代換簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)三角代換根式代換2.

特殊類(lèi)型的積分按上述方法雖然可以積出,但不一定要注意綜合使用基本積分法,簡(jiǎn)便計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束簡(jiǎn)便,2021/5/931思考與練習(xí)如何求下列積分更簡(jiǎn)便?解:1.2.原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回