高數(shù) 弧微分與曲率

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第十二節(jié)曲線的彎曲程度與切線的轉(zhuǎn)角有關(guān)與曲線的弧長有關(guān)主要內(nèi)容:一、曲線弧的微分二、曲率與曲率半經(jīng)弧微分與曲率

第二章2021/5/91一、曲線弧的微分設(shè)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)導數(shù),其圖形為

AB,弧長2021/5/92則弧長微分公式為或幾何意義:若曲線由參數(shù)方程表示:稱為曲線的弧微分公式。2021/5/93例1求正弦曲線解因為，所以例2

求第一象限內(nèi)星形線的弧微分。所以的弧微分。解因為2021/5/94二、曲率與曲率半經(jīng)在光滑弧上自點M

開始取弧段,其長為定義弧段上的平均曲率點

處的曲率注意:

直線上任意點處的曲率為0!對應(yīng)切線轉(zhuǎn)角為2021/5/95例1.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.2021/5/96有曲率近似計算公式故曲率計算公式為又曲率K的計算公式二階可導,設(shè)曲線弧則由2021/5/97說明:(1)若曲線由參數(shù)方程給出,則(2)若曲線方程為則若曲線在點M處的曲率K不為零，稱為曲線在點M處的曲率半經(jīng)。

2021/5/98例2求曲線在點處的曲率半徑。解方程兩邊同時對x求導，整理得兩邊再對x求導，整理得將點代人（1）得將點代人（2）得故曲線在點處的曲率半徑2021/5/99例3.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,處的曲率.點擊圖片任意處播放\暫停說明:鐵路轉(zhuǎn)彎時為保證行車平穩(wěn)安全,求此緩和曲線在其兩個端點且

l<<R.

其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,離心力必須連續(xù)變化,因此鐵道的曲率應(yīng)連續(xù)變化.2021/5/910例3.

我國鐵路常用立方拋物線作緩和曲線,且

l<<R.

處的曲率.其中R是圓弧彎道的半徑,l

是緩和曲線的長度,求此緩和曲線在其兩個端點解:顯然2021/5/911內(nèi)容小結(jié)1.弧長微分或2.曲率公式3.曲率半徑2021/5/912作業(yè)P1661；2；4;5.2021/5/913例4.

求橢圓在何處曲率最大?解:故曲率為K

最大最小求駐點:2021/5/914設(shè)從而

取最大值.這說明橢圓在點處曲率計算駐點處的函數(shù)值:最大.2021/5/915例5設(shè)一工件內(nèi)表面的截痕為一橢圓,現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面,問選擇多大的砂輪比較合適?解:設(shè)橢圓方程為由例3可知,橢圓在處曲率最大,即

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