（滬教版2020必修三）2021學年高二數(shù)學講義-第13講 球面距離

第13講球面距離

一、填空題

1.已知球。的半徑為1,48是球面上兩點，線段43的長度為石，則A、B兩點的球面距離為.

【答案】y

【分析】

由已知中球。的半徑為1,線段A8的長度為6,求得NAO8,求出弧AB的長度，即可得出答案.

【教師】

解：因為球。的半徑為1,A、B是球面上兩點，線段A8的長度為有，

在AAOB中，cosZAOfi=-+1--^--,

22

又ZAO8e(0,%),則ZAOB=g,

所以兩點的球面距離為與xl=,.

2乃

故答案為：y.

2.設地球的半徑為R,在北緯［圈上的兩地的經度差為arccos(，則A,8兩地的球面距離為_________.

O3

.■7rR

【答案】—

【分析】

在緯度圈上求得弦長A8,然后求出弦AB所對球心角，最后由弧長公式得球面距離.

【教師】

如圖，。是球心，A/是北緯F圈的圓心，則N。4M=7，Z.AMB=arccos—,

663

MA=OAcosNOAM=Reos工=—/?,

62

AB2=MA2+MB2-2MAMBCOSZAMB=-R2+-R2-2X-R2X-=R2,

4443

jr

所以AB=R=O4=O8,則=

jr

所以A,B兩地的球面距離即為A,B在大圓上劣弧長為

故答案為：-R-

3.已知球。的半徑為1,A、8是球面上兩點，若線段的長為貝UA、B兩點間的球面距離為.

【答案】g

2

【分析】

根據題意可求得乙408=90。，從而可求得弧AB的長度，即A、5兩點間的球面距離.

【教師】

解：因為球。的半徑為1,A、B是球面上兩點，若線段A3的長為孤，

貝I」01+082=482,所以ZAO3=90。，

1jr

所以弧AB長度為：x2i=W，

42

即A、8兩點間的球面距離為g.

2

故答案為：p

4.A、8是半徑為R的球面上兩點，設。是球心，且△A0B是等腰直角三角形，則A、8的球面距離為

【答案】竽

【分析】

TT

根據AAOB是等腰直角三角形，求出/4。8=1,再利用弧長公式，求出A、8的球面距離.

【教師】

TT

解：是等腰直角三角形，

.?.A、8的球面距離為］xR=券，

故答案為：-y~.

5.己知正方體AB8-ABCR的棱長為2,以頂點A為球心，生叵為半徑作一個球，則球面與正方體的

3

表面相交所得到的各段曲線的長度之和等于.

【答案】

3

【分析】

球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：一類在頂點A所在的三個面上，另一類在不過頂點A

的三個面上，且均為圓弧，分別求其長度可得結果.

【教師】

解：如圖，球面與正方體的六個面都相交，所得的交線分為兩類：

一類在頂點A所在的三個面上，即面AAM8、面A8CO和面上；

另一類在不過頂點A的三個面上，即面8片CC、面

CC]D]D和面A]B￡Z>|上.

在面AA用8上，交線為弧E尸且在過球心A的大圓上,

因為=M=2,則=H.同理乙=所以=

3666

故弧所的長為迪?工=口叵"，而這樣的弧共有三條.

369

在面BBC。上，交線為弧陽且在距球心為2的平面與球面相交所得的小圓上，此時，小圓的圓心為8,半

徑為空,NFBG三

32

所以弧FG的長為2叵?工=且".這樣的弧也有三條.

323

于是，所得的曲線長為3x38萬+3X4L=￡L.

933

故答案為：?叵萬.

3

6.在北緯45。的緯度圈上有A、8兩點，它們分別在東經70。與東經160。的經度圈上，設地球半徑為R,則A

、B兩點的球面距離為.

【答案】*

【分析】

由于A、8兩地在同一緯度圈上，可以先計算出它們的經度差和45。的緯度半徑，再求出A、B兩點對應的A3

弦長，即可求出A、8兩點的球面距離

【教師】

解：設北緯45。的緯度圈的半徑為小

因為A、8兩點分別在東經70。與東經160。的經度圈上，

所以緯度圈的半徑為r=Rcos45。=受R,且經度差為90°,

2

所以A、8兩點在緯度圈上的劣弧長為正zrR,

4

因為=

TT

所以乙408=§,

所以A、8兩點的球面距離為;萬R,

故答案為：

7.A、B、C三點在體積為36兀的球面上，BA=BC=J^AC,若A、C兩點間的球面距離是則球心

22

0的到平面ABC的距離是.

【答案】逑

2

【分析】

由球的體積為36兀可求得球半徑R=3。由BA=8C=^AC得ZABC=900,且AC為截面圓的直徑。由A、

2

C兩點間的球面距離是日，求出N4OC=^。在等腰RtAOAC中，斜邊上的中線即為球心。的到平面A8C

的距離。

【教師】

因為球的體積為36兀，所以為配=36萬，解得球的半徑R=3。因為==所以

32

BA2+BC2=AC2,所以NA8C=90°,所以AC為截面圓的直徑，設截面圓圓心為因為A、C兩

點間的球面距離是雪，所以2r奇萬。在RtAOMC中，0知=也0。=也、3=逑，

2/4℃=方=k=7222

KJZ

因為。歷，平面ABC,所以球心0的到平面ABC的距離是逑。

2

【點睛】

本題考查求球內一點到截面圓的距離，注意點到截面的距離4、截面圓半徑八球的半徑R之間的關系

d=dR?-F的運用。

8.已知地球的半徑為6371千米,上海的位置約為東經12127、北緯318'，臺北的位置約為東經12127,，北

緯255，，則兩個城市之間的距離約為千米.（結果精確到1千米）

北極

\北緯3,

層生舉北緯255

仁邑目赤道

南極

【答案】672

【分析】

設地球球心為點。，上海、臺北分別為點A、B,計算出NAO8的大小，進而可計算得出兩個城市之間的

距離.

【教師】

因為上海和臺北在同一經線上，所以它們在地球的同一個大圓上，

在這個大圓上，設地球球心為點。，上海、臺北分別為點A、B,

由上海、臺北的經緯度可知4403=63,地球半徑為r=6371（千米），

所以，AB的弧長為S=2x6371x；rx篝~=672（千米）.

故答案為：672.

9.已知正三棱柱ABC-AgG的側棱長為4,底面邊長為布，且它的六個頂點均在球。的球面上，則AB

兩點的球面距離為.

【答案】

【分析】

根據題意畫出示意圖求出4408=60。和。8=?,結合球面距離定義計算求解即可.

【教師】

如圖所示，設“ABC中心為G,連接OG,OA,AG,O8.

根據等邊三角形性質知AG是,8C外接圓半徑，根據正弦定理得BC=2RsinA,得AG=R=丘,又因為

0G=3明=2,所以在放AOAG中，0A=J（OG>+（AG>=#洞理08=6,所以是等邊三角形,所

以NAO8=60。，所以AB兩點的球面距離為處.2'后乃=姻.

36003

故答案為:如

3

G

10.北緯30線貫穿四大文明古國：是一條神秘而又奇特的緯線.在這條緯線附近有神秘的百慕大三角、著

名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗瑪峰、長江等，沿地球北緯3(r線前行，會發(fā)現(xiàn)許多奇妙且神秘的自然

是觀，在地球北緯30圈上有A8兩地，它們的經度相差180,4,8兩地沿緯線圈的弧長與兩地的球面

距離之比為

【答案】36：4

【分析】

設地球半徑為r,則北緯30。圈對應的小圓半徑為等r,進而可得A,B兩地沿緯線圈的弧長4=等仃，A,

2

8兩地的球面距離/?=§乃廠，由此可得A,8兩地沿緯線圈的弧長與A,8兩地的球面距離之比.

【教師】

解：設地球半徑為r，則北緯30圈對應的小圓半徑為rcos30°=立r,

2

所以AB兩地沿緯線圈的弧長1、。仃,

劣弧AB在大圓內對應的圓心角為?，所以A,B兩地的球面距離4=:"廠，

故AB兩地沿緯線圈的弧長與AB兩地的球面距離之比為/,:/2=373:4.

故答案為：35/3:4.

11.如圖，半徑為R的半球。的底面圓。在平面a內，過點。作平面a的垂線交半球面于點A,過圓。的

直徑8作與平面a成45。角的平面與半球面相交，所得交線上到平面a的距離最大的點為B,該交線上的

一點P滿足/BOP=60"，則A、P兩點間的球面距離為.

【答案】Rarccos孚

【分析】

由球的性質知C￡)_L平面A08,因此由平面BCD與平面。所成二面角為45?？傻?4。5=45。，作PQ//C。交

08于。，連接QA,則尸平面AOB,由此可得解題過程，求PQ,OQ,AQ,AP,再求40P,得球面距

離.

【教師】

由球的性質知C￡>J_平面AO3,如圖，在平面a內作OE_LCD交半球面于E,則OE在平面AOB內,

NBOE=45。,由AO_La知AO_LE。，Z4QB=45°,

在半圓面CBO內作PQ〃C。交。8于Q,連接QA,則P。_L平面408,PQ，AQ,

又NPOB=60。,：.PQ=/?sin60°=—/?,0Q=Rcos60°=,

22

在△O4Q中，

AQ2=OQ2+OA2-2OAOQcosZAOQ=(^R)2+R2-2R-^Rcos45°=g--)R2，

AP?=PQ?+AQ2=吟RY+4-與R°=Q-與R\

在AAOP中，/…OP2+OA2-AP2RY*-。-3)R-五,

cosZAOP=--=----------：-------=——

2OPOA2R24

Z.AOP=arCCOS^^,A、P兩點間的球面距離為Rarccosq

44

故答案為：Rarccos乎.

【點睛】

本題考查球面距離，解題關鍵是要求出這兩點所對的球心角440P,因此需求得這兩點間的距離，用余弦

定理求得球心球ZAOP.

12.已知正四面體A88的表面積為12百，E為棱A8的中點，球。為該正四面體的外接球，則過點E

的平面被球。所截得的截面面積的最小值為.

【答案】37

【分析】

根據題意，根據正四面體的表面積求出棱長和正方體的邊長，再利用正方體的體對角線等于外接球的直徑,

即可求出球的半徑R,當過點￡的截面到球心。的距離最大距離d=遠時，截面圓的面積達最小值，最后

2

利用球的截面的性質求出截面圓的半徑，即可求出截面圓的面積最小值.

【教師】

解：如圖所示，球。為正四面體ABCD的外接球，即為正方體的外接球，

正四面體的表面積為126，

設正四面體A8CZ）的棱長為。，則4xL/x走=126，

22

解得：a=2A/3，

所以正方體的棱長為：（2石）=瓜,

2

設正四面體ABC。的外接球的半徑為R,

則2R=6x#=30,即/?=辿，

2

E為棱AB的中點，過點E作其外接球的截面，

當截面到球心。的距離最大值時，截面圓的面積達最小值，

此時球心。到截面距離等于正方體棱長的一半，即d=邁，

2

可得截面圓的半徑為：r=

所以截面圓的面積最小值為：S=兀戶=卜叫兀=3兀-

故答案為：3乃.

D

【點睛】

本題考查正四面體的外接球截面圓面積的最小值，著重考查正方體、正四面體的性質和球的截面圓的性質

等知識，考查空間想象能力和運算能力.

二、單選題

13.設地球的半徑為R,若甲地位于北緯45。東經120。，乙地位于南緯75。東經120。，則甲、乙兩地的球面

距離為（）

A.-RB.-RC.—RD.—R

3234

【答案】C

【分析】

甲、乙兩地都在東經120。，就是都在同一個大圓上，求出緯度差，即可求出球面距離.

【教師】

解：由于甲、乙兩地都在東經120。，就是都在同一個大圓上，

它們的緯度差是：120。，就是大圓周的g

O-jr

則甲、乙兩地球面距離為：y/?

故選：C.

14.在北緯45。的緯度圈上有A,8兩地，A在東經13。，B在東經103。，設地球半徑為R,則A,8兩地

的球面距離是（）

A.-RB.—RC.-RD.TIR

233

【答案】C

【分析】

設球心為0,北緯45。緯線圈的圓心為0”連結OAOBQA,。/,解三角形求出A8=R,得到AB對應的

角6=0,利用弧長公式求出A,8兩地的球面距離.

【教師】

如圖示，

設球心為。，北緯45。緯線圈的圓心為Oi,則。。1垂直于面ABOi,NAOOi=45。.

連結0A0民0Aof，則NAO或=103°-13°=90°,O,A=OAsin450=^??.

2

在AAQB中，ZAOlB=90°,AO]=OtB,所以AA。出為等腰直角三角形，所以=

在球。中，設A3對應的球心角為。，AAOB為正三角形，所以。=（,

故A,5兩地的球面距離是方心

故選：C

15.球面上兩點之間的最短連線的長度，就是經過這兩個點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度（大圓就

是經過球心的平面截球面所得的圓），我們把這個弧長叫做兩點的球面距離.已知正AABC的項點都在半徑為

2的球面上，球心到AABC所在平面距離為2匹，則A、8兩點間的球面距離為（）

3

c兀-2）、3兀

A.冗B.—C.—D.—

234

【答案】C

【分析】

設球心為點。，計算出NAO8,利用扇形弧長公式可求得結果.

【教師】

22#

設球心為點0,平面ABC截球0所得截面圓的半徑為/-=,22-,

~3~亍

由正弦定理可得半=缶,小八竽si吟=2,

TT

又?.?。4=。8=2,所以，AAOB為等邊三角形，則乙408=彳,

因此，A、8兩點間的球面距離為2x2=整.

故選：C.

【點睛】

思路點睛：求球面距離，關鍵就是要求出球面上兩點與球心所形成的角，結合扇形的弧長公式求解，同時

在計算球的截面圓半徑時，利用公式廠=麻二^（其中「為截面圓的半徑，R為球的半徑，〃為球心到截

面的距離）來計算.

3九

16.設球。的半徑為1,A,B,C是球面上三點，已知4到8,。兩點的球面距離都是與，且平面

4

平面。4C,則從A點沿球面經8,C兩點再回到A點的最短距離是（）

【答案】B

【分析】

設氏C所在小圓面與4。垂直，延長AO與這個小圓面相交，交點為小圓圓心M,由已知可得

然后計算出弦長BC,得球心角ZBOC,可得民C間的球面距離，從而得出結論.

【教師】

如圖，設B,C所在小圓面與A。垂直，延長A。與這個小圓面相交，交點為小圓圓心連接MB,MC,8C,

3TT37r7i

TA到。兩點的球面距離都是二，球半徑為1,：.ZAOB=ZAOC=—：.ZBOM=ZCOM=-

444ff

因為AM_L平面8MC,M8u平面BMC,MCu平面8WC,AM_LEW,A"_L"C,所以NBMC為二

面角8-AW-C的平面角，

而平面30AJ_平面。4C,N3MC=f,又MC=MB=OCsin&=也，,BC=1,

242

TTTT7T

：.ZBOC=-,：.B,C間的球面距離為彳'1=彳，

???所求最短距離是答于會華

故選：B.

【點睛】

本題考查球面距離，求球面距離關鍵是求出這兩點間的球心角，而要求這個球心角，一般要在小圓上求出

兩點間弦長.

17.已知三棱錐A-88的所有棱長都為2,且球。為三棱錐A-BCD的外接球，點M是線段BO上靠近。

的四等分點，過點M作平面”截球。得到的截面面積為。，則。的取值范圍為（）

兀3兀]「3兀3兀[「兀3n]「"兀

A.—B.—C.—D.—

[42」]42」[22」[42」

【答案】B

【分析】

求出三棱錐A-BCD的外接球半徑R,可知截面面積的最大值為兀叱，當球心。到截面的距離最大時，截面

面積最小，此時球心。到截面的距離為。加，截面圓的半徑的最小值為J/?2一0知2,進而可求出截面面積

的最小值.

【教師】

三棱錐A-88是正四面體，棱長為2,將三棱錐A-38放置于正方體中,

可得正方體的外接球就是三棱錐A-38的外接球.

因為三棱錐A-8C。的棱長為2,故正方體的棱長為血，

可得外接球直徑2R=j2+2+2=",-故R=顯,

2

故截面面積的最大值為兀代=兀（4]=|兀.

因為M是8。上的點，當球心。到截面的距離最大時，截面面積最小,

此時球心。到截面的距離為QM,△為等腰三角形，

過點。作8。的垂線，垂足為“，

11a

^OM2=OH2+HM2

244

則所得截面半徑的最小值為=也

V44V4

所以截面面積的最小值為北（護專

故。的取值范圍為

故選：B.

【點睛】

外接球問題與截面問題是近年來的熱點問題，平常學習中要多積累，本題考查學生的空間想象能力、推理

能力及計算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題

18.已知地球的半徑為R,在北緯30。圈上有A、B兩點.若點A的經度為東經65。，點B的經度為西經25。,

求A、B兩點的球面距離.

【分析】

根據緯度的定義可知NOBO'=30,從而得到緯線圈所在圓的半徑，根據經度差可知NA05=90,由勾股

定理求得A8；在AAO8中，由余弦定理求得cosN/408,從而得到NAO8,由扇形弧長公式可求得球面距離.

【教師】

設北緯30的緯線圈的圓心為O'

由題意可知：ZAO'8=90,NOBO'=30

：.OO'；OB=［，o'B=—OB=—RO'A=O'B=—R

22222

AB=\IO'A2+O'B2=—R

2

R2+R?P2

在小。3中，由余弦定理得：cos”?人2、1

2R24

.-.ZAOB=arccos-，兩點的球面距離為：/?arccos-

44

【點睛】

本題考查球面距離的求解問題，關鍵是能夠熟練掌握經度和緯度的定義，從而得到圖形中的角度關系.

19.地球上北緯300圈上有A,B兩點，點A在西經10°,點8在東經110°,求A,B兩點的球面距離.（設

地球半徑為R）

【答案】arccos(-")R

【分析】

解三角形求得ZA08的大小，再由弧長公式求A,B兩地的球面距離.

【教師】

解：由已知可得，4。。=60。，則AO，=立R,

2

同理80=上R,而ZA(78=120°,

2

所以AB2=AO'2+BO'--2AO'BO'cosZAO'B

即AB2=［*+［曰［_2x*Rx*Rx(_g)

3

AB=-R,

2

3

在AAQ8中，由。4=Q8=R,AB=-R,

-R~+R~—R~?

可傳cos,^AOB=------—=

2R28

【點睛】

本題考查球面距離的計算，關鍵是對題意的理解，屬于基礎題.

20.已知球。的內接正四棱錐P-71BCD,A3=2,PA=2近.

(1)求正四棱錐P-ABCD的體積；

(2)求尸、4兩點間的球面距離.

【答案】(1)半；(2)蜉1.

【分析】

⑴設POJ平面A3C。,利用勾股定理可以求出P01最后利用棱錐的體積公式求出正四棱錐尸-鉆8的體

積；

(2)利用勾股定理，先求出球。的半徑，再用余弦定理可以求出NPO4的大小，最后利用球面上兩點間球面距離

定義求出尸、A兩點間的球面距離.

【教師】

(1)設戶4，平面A8CO,如下圖所示：由四棱錐尸-MCD是正四棱錐，所以01是底面ABC。的中心，因為

A8C。是正方形，AB=2,所以A。=g/1C=；x亞百=四，在

中,P0]=JPA-O：=5/8^2="，所以正四棱錐P-ABCD的體積為：

V=—x2x2x-V6=—5/6；

33

(2)由球和正四棱錐的對稱性可知：球心。在高PQ上，設球。的半徑為R,在RfAAO?中,

OO12+AO；=AO2n(R-ar+(后產=R2nH=2#,在物。中,

(|府+(|府-(2夜了

。尸+。4?一尸才

cosZ.POA==——=Z.POA=—7T,

20P0A2x—V6x—>/623

33

所以P、A兩點間的球面距離為|乃《指心.

【點睛】

本題考查了四棱錐的體積計算,考查了球面兩點間的球面距離計算，考查了數(shù)學運算能力.

21.宇宙深處有一顆美麗的行星，這個行星是一個半徑為r(?0)的球.人們在行星表面建立了與地球表

面同樣的經緯度系統(tǒng).已知行星表面上的A點落在北緯60。，東經30。：B點落在東經30。的赤道上；C點

落在北緯60。，東經90。.在赤道上有點P滿足PB兩點間的球面距離等于AB兩點間的球面距離.

(1)求AC兩點間的球面距離；

(2)求P點的經度；

(3)求AP兩點間的球面距離.

【答案】

【教師】

試題分析：(1)根據緯度、經度的定義求出西窗的長，在由余弦定理求在胭窗的大小，然后用弧長公式

求AC兩點間的球面距離，(2)由球面距離定義知NPOB=NAOB=60。，又P點在赤道上，根據經度的定義

可

確定P點的經度；(3)連接國f'A,&C,鶴盛，可知i^'A平行OB且等于OB的一半，延長BA與螃城甘

交

于D點，那么±=±=州，同理可證±=二=」,即四邊形施喀為等腰梯形，求出盤睜的長,

然后解三角形翱唧可