2022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)考點(diǎn)知識(shí)梳理1.2代數(shù)式與整式

1.2代數(shù)式與整式◎借助現(xiàn)實(shí)情境了解代數(shù)式,能分析簡(jiǎn)單問題中的數(shù)量關(guān)系,并用代數(shù)式表示,且會(huì)求代數(shù)式的值.◎了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì).◎理解整式的概念,掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)的法則,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式加法和減法運(yùn)算;能進(jìn)行簡(jiǎn)單的整式乘法運(yùn)算(其中多項(xiàng)式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘).◎能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過二次)進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).本節(jié)考點(diǎn)的考查多以選擇題、填空題為主,試題難度為易.整式的化簡(jiǎn)求值和在合情推理中用代數(shù)式(或等式)表示數(shù)量關(guān)系(與數(shù)和式有關(guān)的規(guī)律題),多以解答題的形式進(jìn)行考查,但難度不大.命題點(diǎn)1代數(shù)式及其求值[10年3考]1.(2014·安徽第7題)已知x2－2x－3=0,則2x2－4x的值為(B)A.－6 B.6 C.－2或6 D.－2或30【解析】代數(shù)式2x2－4x是已知條件中x2－2x的2倍,∴把x2－2x看作一個(gè)整體.∵x2－2x－3=0,∴x2－2x=3,∴2x2－4x=2(x2－2x)=2×3=6.2.(2012·安徽第5題)某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為a萬元,4月份比3月份減少了10%,5月份比4月份增加了15%,則5月份的產(chǎn)值是(B)A.(a－10%)(a+15%)萬元B.a(1－10%)(1+15%)萬元C.(a－10%+15%)萬元D.a(1－10%+15%)萬元【解析】根據(jù)4月份比3月份減少10%,可得4月份產(chǎn)值是(1－10%)a萬元,5月份比4月份增加15%,可得5月份產(chǎn)值是a(1－10%)(1+15%)萬元.命題點(diǎn)2整式的運(yùn)算[必考]3.(2018·安徽第3題)下列運(yùn)算正確的是(D)A.(a2)3=a5 B.a4·a2=a8C.a6÷a3=a2 D.(ab)3=a3b3【解析】根據(jù)冪的乘方的運(yùn)算性質(zhì)可知(a2)3=a6,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算性質(zhì)可知a4·a2=a6,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)同底數(shù)冪的除法的運(yùn)算性質(zhì)可知a6÷a3=a3,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)可知(ab)3=a3b3,故D項(xiàng)正確.4.(2013·安徽第4題)下列運(yùn)算正確的是(B)A.2x+3y=5xy B.5m2·m3=5m5C.(a－b)2=a2－b2 D.m2·m3=m6【解析】2x和3y不是同類項(xiàng),不能合并,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式,系數(shù)相乘作為系數(shù),字母及其指數(shù)按同底數(shù)冪相乘法則進(jìn)行運(yùn)算,則5m2·m3=5m5,故B項(xiàng)正確;平方差公式(a－b)2=a2－2ab+b2,故C項(xiàng)錯(cuò)誤;同底數(shù)冪相乘,底數(shù)不變,指數(shù)相加,則m2·m3=m5,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.5.(2015·安徽第14題)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b=ab=c,有下列結(jié)論:①若c≠0,則1a②若a=3,則b+c=9;③若a=b=c,則abc=0;④若a,b,c中只有兩個(gè)數(shù)相等,則a+b+c=8.其中正確的是①③④.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都選上)

【解析】在a+b=ab的兩邊同時(shí)除以ab(ab=c≠0)即可得1a+1b=1,故①正確.把a(bǔ)=3代入得3+b=3b=c,可得b=32,c=92,所以b+c=6,故②錯(cuò)誤.把a(bǔ)=b=c代入得2c=c2=c,所以可得c=0,故③正確.當(dāng)a=b且a≠c時(shí),由a+b=ab可得a=b=2,再代入可得c=4,所以a+b+c=8;當(dāng)a=c且a≠b時(shí),由c=a+b可得b=0,再代入可得a=b=c=0,這與a,b,c中只有兩個(gè)數(shù)相等相矛盾,故a=c這種情況不存在;6.(2012·安徽第15題)計(jì)算:(a+3)(a－1)+a(a－2).解:原式=a2－a+3a－3+a2－2a=2a2－3.命題點(diǎn)3冪的運(yùn)算性質(zhì)[10年7考]7.(2021·安徽第3題)計(jì)算x2·(－x)3的結(jié)果是(D)A.x6 B.－x6 C.x5 D.－x58.(2020·安徽第2題)計(jì)算(－a)6÷a3的結(jié)果是(C)A.－a3 B.－a2 C.a3 D.a29.(2019·安徽第2題)計(jì)算a3·(－a)的結(jié)果是(D)A.a2 B.－a2 C.a4 D.－a410.(2017·安徽第2題)計(jì)算(－a3)2的結(jié)果是(A)A.a6 B.－a6 C.－a5 D.a5命題點(diǎn)4因式分解[10年7考]11.(2018·安徽第5題)下列因式分解正確的是(C)A.－x2+4x=－x(x+4) B.x2+xy+x=x(x+y)C.x(x－y)+y(y－x)=(x－y)2 D.x2－4x+4=(x+2)(x－2)【解析】－x2+4x=－x(x－4),故A項(xiàng)錯(cuò)誤;x2+xy+x=x(x+y+1),故B項(xiàng)錯(cuò)誤;x2－4x+4=(x－2)2,故D項(xiàng)錯(cuò)誤;x(x－y)+y(y－x)=x(x－y)－y(x－y)=(x－y)2,故C項(xiàng)正確.12.(2014·安徽第4題)下列四個(gè)多項(xiàng)式中,能因式分解的是(B)A.a2+1 B.a2－6a+9C.x2+5y D.x2－5y13.(2020·安徽第12題)因式分解:ab2－a=a(b+1)·(b－1).

【解析】ab2－a=a(b2－1)=a(b+1)(b－1).改編題因式分解:xy2+x－2xy=x(y－1)2.

【解析】原式=x(y2－2y+1)=x(y－1)2.命題點(diǎn)5數(shù)式規(guī)律探究[10年5考]14.(2015·安徽第13題)按一定規(guī)律排列的一列數(shù):21,22,23,25,28,213,….若x,y,z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù),猜測(cè)x,y,z滿足的關(guān)系式是xy=z(只要關(guān)系式對(duì)前六項(xiàng)是成立的即可).

【解析】觀察數(shù)列可發(fā)現(xiàn)21×22=23,22×23=25,23×25=28,…,所以這一列數(shù)據(jù)所揭示的規(guī)律是前兩個(gè)數(shù)的積等于第三個(gè)數(shù).根據(jù)規(guī)律,若x,y,z表示這列數(shù)中的連續(xù)三個(gè)數(shù),則x,y,z滿足的關(guān)系式是xy=z.(答案不唯一)15.(2020·安徽第17題)觀察以下等式:第1個(gè)等式:13×1+2第2個(gè)等式:34×1+2第3個(gè)等式:55×1+2第4個(gè)等式:76×1+2第5個(gè)等式:97×1+2……按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:

118×1+(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:

2n-1n+2×1+2n=2-解:(2)證明:因?yàn)樽筮?2n-1n+2×16.(2019·安徽第18題)觀察以下等式:第1個(gè)等式:21第2個(gè)等式:23第3個(gè)等式:25第4個(gè)等式:27第5個(gè)等式:29……按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:

211=1(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:

22n-1=1n+1(2解:(2)證明:右邊=1n+1所以猜想正確.教材知識(shí)網(wǎng)絡(luò)(學(xué)用見P6~7)考點(diǎn)1根據(jù)實(shí)際問題列代數(shù)式典例1(2021·浙江溫州)某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每月用水量不超過17立方米,每立方米a元;超過部分每立方米(a+1.2)元.該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米,則應(yīng)繳水費(fèi)為()A.20a元 B.(20a+24)元C.(17a+3.6)元 D.(20a+3.6)元【解析】應(yīng)繳水費(fèi)包括兩部分:一部分是17立方米的水費(fèi),另一部分是超過17立方米的水費(fèi).應(yīng)繳水費(fèi)是17a+(20－17)(a+1.2)=(20a+3.6)元.【答案】D提分1(2021·浙江金華)某超市出售一商品,有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案,其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是(B)A.先打九五折,再打九五折 B.先提價(jià)50%,再打六折C.先提價(jià)30%,再降價(jià)30% D.先提價(jià)25%,再降價(jià)25%【解析】設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a,然后分別計(jì)算每種調(diào)價(jià)方案后的售價(jià),進(jìn)行比較求解.設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a元,A項(xiàng)的售價(jià)為0.95×0.95a=0.9025a;B項(xiàng)的售價(jià)為(1+50%)×0.6a=0.9a;C項(xiàng)的售價(jià)為(1+30%)(1－30%)a=0.91a;D項(xiàng)的售價(jià)為(1+25%)(1－25%)a=0.9375a.∵0.9a<0.9025a<0.91a<0.9375a,∴B項(xiàng)的調(diào)價(jià)方案調(diào)價(jià)后售價(jià)最低.考點(diǎn)2整式的運(yùn)算(化簡(jiǎn))及求代數(shù)式的值典例2若2a－3b=－1,則代數(shù)式4a2－6ab+3b的值為()A.－1 B.1 C.2 D.3【解析】將代數(shù)式4a2－6ab+3b變形后,整體代入可得結(jié)論.4a2－6ab+3b=2a(2a－3b)+3b=－2a+3b=－(2a－3b)=1.【答案】B整體代入思想,即先通過已知定值關(guān)系式與所求代數(shù)式的對(duì)比,找出兩個(gè)式子間共同的部分,作為切入點(diǎn),然后將已知定值關(guān)系式整體代入計(jì)算求值即可.(提示:有的定值關(guān)系式需通過已知等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化)典例3(2021·浙江金華)已知x=16,求(3x－1)2+(1+3x)(1－3x)的值.【解析】先根據(jù)乘法運(yùn)算公式化簡(jiǎn)原式,得出最簡(jiǎn)結(jié)果,然后將x的值代入求值.【答案】(3x－1)2+(1+3x)(1－3x)=9x2－6x+1+1－9x2=－6x+2.當(dāng)x=16時(shí),原式利用整式的運(yùn)算法則和運(yùn)算公式對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),再把字母的取值代入化簡(jiǎn)后的式子,可以使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便;同時(shí)還應(yīng)注意,最后將數(shù)字替代字母化簡(jiǎn)求值的時(shí)候,需將在代數(shù)式中省略的乘號(hào)、除號(hào)顯現(xiàn)出來.考點(diǎn)3冪的運(yùn)算法則與乘法公式典例4(2021·四川眉山)下列計(jì)算中,正確的是()A.a5·a3=a15 B.a5÷a3=aC.(-a2b3)4=a8b12 D.(a+b)2【解析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則及完全平方公式逐一進(jìn)行運(yùn)算,得出正確結(jié)論.a5·a3=a8,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;a5÷a3=a2,故B項(xiàng)錯(cuò)誤;(－a2b3)4=a8b12,故C項(xiàng)正確;(a+b)2=a2+2ab+b2,故D項(xiàng)錯(cuò)誤.【答案】C提分2下列運(yùn)算結(jié)果是a5的是(D)A.a10÷a2 B.(a2)3 C.(－a)5 D.a3·a2提分3如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形,然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形(如圖2).(1)觀察圖2,請(qǐng)你寫出(a+b)2,(a－b)2,ab之間的等量關(guān)系是(a+b)2－(a－b)2=4ab;根據(jù)(1)中的結(jié)論,解決下列問題:

(2)若x－y=5,xy=6,則x+y=±7;

(3)設(shè)A=x-2y-34,B=x+2y－3,求(A－B)2－(A+B解:(3)∵(A－B)2－(A+B)2=－[(A+B)2－(A－B)2]=－4AB,∴原式=－4·x-2y-34·(x=－(x－3－2y)(x－3+2y)=－[(x－3)2－(2y)2]=－(x2－6x+9－4y2)=－x2+6x－9+4y2.考點(diǎn)4因式分解典例5(2021·陜西)因式分解x3+6x2+9x=.

【解析】先提取公因式,再利用完全平方公式分解.原式=x(x2+6x+9)=x(x+3)2.【答案】x(x+3)2用提公因式法因式分解時(shí),如果多項(xiàng)式的某項(xiàng)就是公因式,那么提公因式后該項(xiàng)為“1”而不是“0”.提分4(2020·湖南益陽)下列因式分解正確的是(C)A.a(a－b)－b(a－b)=(a－b)(a+b)B.a2－9b2=(a－3b)2C.a2+4ab+4b2=(a+2b)2D.a2－ab+a=a(a－b)【解析】A項(xiàng),a(a－b)－b(a－b)=(a－b)2,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B項(xiàng),a2－9b2=(a－3b)(a+3b),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng),a2+4ab+4b2=(a+2b)2,故此選項(xiàng)正確;D項(xiàng),a2－ab+a=a(a－b+1),故此選項(xiàng)錯(cuò)誤.考點(diǎn)5與整式有關(guān)的規(guī)律探究問題典例6觀察以下等式:第1個(gè)等式:2×(12－1+1)－1=13;第2個(gè)等式:3×(22－2+1)－1=23;第3個(gè)等式:4×(32－3+1)－1=33;第4個(gè)等式:5×(42－4+1)－1=43;第5個(gè)等式:6×(52－5+1)－1=53;……按照以上規(guī)律,解決下列問題:(1)寫出第6個(gè)等式:;

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式:(用含n的等式表示),并證明.

【答案】(1)7×(62－6+1)－1=63.(2)(n+1)(n2－n+1)－1=n3.證明:左邊=(n+1)(n2－n+1)－1=n3－n2+n+n2－n+1－1=n3=右邊,∴等式成立.解答此類問題時(shí),應(yīng)觀察給出的幾個(gè)等式,先找出等式內(nèi)在的規(guī)律,再根據(jù)規(guī)律大膽猜想,并利用整式的運(yùn)算性質(zhì)驗(yàn)證猜想的正確性,得出一般性結(jié)論,最后利用一般性結(jié)論解決問題.楊輝三角鏈接教材:HK版教材七年級(jí)下冊(cè)P82第8章數(shù)學(xué)史話1.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列,如南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中,用下圖的三角形解釋二項(xiàng)式乘方(a+b)n展開式的系數(shù)情況,此三角形稱為“楊輝三角”.(a+b)0………①(a+b)1……①①(a+b)2…①②①(a+b)3………………①③③①(a+b)4……………①④⑥④①(a+b)5…………①⑤⑩⑩⑤①…根據(jù)“楊輝三角”完成下列問題:(1)寫出(a+b)6的展開式中最大的系數(shù);(2)寫出(a+b)n(n≥2)展開式中第三項(xiàng)的系數(shù).(用含n的式子表示)【答案】(1)(a+b)6的展開式的系數(shù)分別為1,6,15,20,15,6,1,因此,最大的系數(shù)為20.(2)觀察“楊輝三角”可得(a+b)n(n≥2)展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)分別為1,3,6,10,15,…,即(a+b)n(n≥2)的展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)為1+2+3+…+n－1=n(2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多創(chuàng)新和發(fā)展都位居世界前列,如南宋數(shù)學(xué)家楊輝