2022年中考數(shù)學總復習考點知識梳理6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系

6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系◎探索并了解點與圓的位置關(guān)系.◎了解直線和圓的位置關(guān)系,掌握切線的概念.◎探索切線與過切點的半徑的關(guān)系;會用三角尺過圓上一點畫圓的切線.◎知道三角形的內(nèi)心和外心.◎探索并證明切線長定理:過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等(選學).從安徽省近幾年的中考試卷看,與本節(jié)有關(guān)的命題常常是切線的性質(zhì)與圓的基本性質(zhì)綜合考查,題型有選擇題、填空題和解答題,考試的難度為中等及偏下.預測2022年對這部分知識的考查著力點還是放在切線的概念、切線與過切點的半徑的關(guān)系上.命題點1切線的性質(zhì)與判定[10年4考]1.(2018·安徽第12題)如圖,菱形ABOC的邊AB,AC分別與☉O相切于點D,E.若D是AB的中點,則∠DOE=60°.

【解析】連接OA.∵AB與☉O相切于點D,∴OD⊥AB.∵D是AB的中點,∴OA=OB.∵四邊形ABOC是菱形,∴AB=OB=OA,∴△ABO是等邊三角形,∴∠B=60°,∴∠BAC=120°.∵AC與☉O相切于點E,∴OE⊥AC,∴∠DOE=60°.2.[一題多解](2020·安徽第20題)如圖,AB是半圓O的直徑,C,D是半圓O上不同于A,B的兩點,AD=BC,AC與BD相交于點F.BE是半圓O所在圓的切線,與AC的延長線相交于點E.(1)求證:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求證:AC平分∠DAB.證明:(1)因為AB為半圓O的直徑,所以∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△CBA與Rt△DAB中,因為BC=AD,BA=AB,所以△CBA≌△DAB.(2)解法1:因為BE=BF,又由(1)知BC⊥EF,所以BC平分∠EBF.因為AB為半圓O的直徑,BE為切線,所以BE⊥AB.于是∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°－∠E=∠CAB,故AC平分∠DAB.解法2:因為BE=BF,所以∠E=∠BFE.因為AB為半圓O的直徑,BE為切線,所以BE⊥AB.于是∠CAB=90°－∠E=90°－∠BFE=90°－∠AFD=∠CAD,故AC平分∠DAB.改編題如圖,AB是☉O的直徑,C,E是☉O上不同于A,B的兩點,BC與AE相交于點M,CM=EM,☉O的切線BF與AE的延長線相交于點D,與OE的延長線相交于點F.(1)求證:△CBA≌△EAB;(2)若DE=DF,求證:AE平分∠CAB.證明:(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠C=∠AEB=90°.∵CM=EM,∠CMA=∠BME,∴△ACM≌△BEM,∴AC=BE,又∵AB=BA,∴△CBA≌△EAB.(2)∵DE=DF,∴∠F=∠FED.∵OA=OE,∴∠EAO=∠OEA.∵∠OEA=∠FED,∴∠F=∠EAO.∵BF是☉O的切線,∴∠OBF=90°,∴∠F+∠BOF=90°.∵∠AEB=90°,∴∠EAO+∠ABE=90°,∴∠BOF=∠ABE,∴OE=EB.又∵OE=OB,∴△OBE為等邊三角形,∴∠EOB=60°,∴∠EAO=30°.∵△CBA≌△EAB,∴∠CAB=∠EBA=60°,∴∠CAE=∠EAB=30°,即AE平分∠CAB.命題點2三角形的外接圓與內(nèi)切圓[10年4考]3.(2019·安徽第13題)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于點D.若☉O的半徑為2,則CD的長為

2.

【解析】如圖,連接CO并延長交☉O于點E,連接AE,則∠E=∠B=45°.因為CE是☉O的直徑,所以∠CAE=90°,所以AC=4×224.(2017·安徽第20題)如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,過點C作CE∥AD交△ABC的外接圓O于點E,連接AE.(1)求證:四邊形AECD為平行四邊形;(2)連接CO.求證:CO平分∠BCE.證明:(1)由題意得∠B=∠E.∵∠B=∠D,∴∠E=∠D.∵CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180°,∴∠E+∠ECD=180°,∴AE∥CD,∴四邊形AECD為平行四邊形.(2)過點O作OM⊥BC于點M,ON⊥CE于點N.∵四邊形AECD為平行四邊形,∴AD=CE,又∵AD=BC,∴CE=CB,∴OM=ON.又∵OM⊥BC,ON⊥CE,∴CO平分∠BCE.考點1點與圓、直線與圓的位置關(guān)系典例1在平面直角坐標系中,圓心為坐標原點,☉O的半徑為10,則點P(－10,1)與☉O的位置關(guān)系為()A.點P在☉O上 B.點P在☉O外C.點P在☉O內(nèi) D.無法確定【解析】由題意知OP=(-10)2+12=101.∵☉【答案】B判斷點與圓的位置關(guān)系,可以根據(jù)這個點到圓心的距離來進行:設(shè)☉O的半徑為r,點P到圓心的距離OP=d,則點P在圓外?d>r;點P在圓上?d=r;點P在圓內(nèi)?d<r.提分1數(shù)軸上有兩個點A和B,點B表示實數(shù)6,點A表示實數(shù)a,☉B(tài)的半徑為4.若點A在☉B(tài)內(nèi),則(B)A.a<2或a>10 B.2<a<10C.a>2 D.a<10【解析】∵點B表示實數(shù)6,☉B(tài)的半徑為4,∴數(shù)軸與☉B(tài)的交點表示的數(shù)為2或10.∵點A表示實數(shù)a,點A在☉B(tài)內(nèi),∴2<a<10.典例2已知☉O的半徑為2cm,直線l上一點P到圓心O的距離為4cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系可能是()A.相離 B.相切C.相交 D.以上結(jié)果均有可能【解析】通過作圖可知A,B,C項都有可能.【答案】D考點2切線的性質(zhì)與判定典例3如圖,AB是☉O的直徑,AC是☉O的切線,BC交☉O于點D,AE平分∠DAB,交☉O于點E,交BC于點F.(1)求證:∠CAD=∠DEA;(2)若AC=AB,求證:AF=2BE.【答案】(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠DBA+∠DAB=90°.∵AC是☉O的切線,∴∠CAB=90°,即∠CAD+∠DAB=90°,∴∠CAD=∠DBA.∵∠DBA=∠DEA,∴∠CAD=∠DEA.(2)連接OE.∵AB是☉O的直徑,∴OE=12AB∵AB=AC,∴OE=12AC由(1)知∠CAB=∠ADB=90°,∴∠CAD=∠DAB=∠C=45°.∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB=12∠DAB=22.5°,∴∠CAF=67.5°∵∠EOB=2∠EAB=45°,∴∠EOB=∠C.∵OB=OE,∴∠OBE=12×(180°－45°)=67.5°∴∠OBE=∠CAF,∴△CAF∽△OBE,∴BEAF=OBAC=OE提分2(2021·合肥包河區(qū)二模)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一點O為圓心作☉O與AC,AB都相切,☉O與BC的另一個交點為D,則線段BD的長為(B)A.14 B.13 C.12【解析】連接OE,則OE⊥AB,OE=OC.∵AC⊥OC,∠ACB=90°,∴∠BEO=∠ACB=90°.又∠B=∠B,∴△BEO∽△BCA,∴BOBA考點3三角形的外接圓與內(nèi)切圓典例4如圖,在扇形OAB中,C是AB上任意一點(不與點A,B重合),CD∥OA交OB于點D,點I是△OCD的內(nèi)心,連接OI,BI.若∠AOB=β,則∠OIB等于()A.180°－12βB.180°－βC.90°+12βD.90°+β【解析】連接IC.∵CD∥OA,∴∠CDB=∠AOB=β,∴∠COD+∠OCD=∠CDB=β.∵點I是△OCD的內(nèi)心,∴OI,CI分別平分∠COD,∠OCD,∴∠COI=12∠【答案】A【思維教練】因為三角形的內(nèi)心是三角形三內(nèi)角平分線的交點,所以在計算與證明中,有內(nèi)心時,我們常連接內(nèi)心與頂點,以便利用角平分線的性質(zhì).規(guī)律清單☉I內(nèi)切于△ABC,切點分別為D,E,F,如圖,則(1)∠BIC=90°+12∠BAC(2)若△ABC的三邊長分別為a,b,c,☉I的半徑為r,則有S△ABC=12(a+b+c)r(3)(選學)在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,則內(nèi)切圓半徑r=a+b-c2提分3如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,點O是△ABC的內(nèi)心,則∠BOC的度數(shù)為(B)A.120° B.110°C.115° D.130°【解析】∵AB=AC,∠BAC=40°,∴∠ABC+∠ACB=140°.∵點O是△ABC的內(nèi)心,∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB,∴∠OBC+∠OCB=12∠ABC+提分4(2021·北京)如圖,☉O是△ABC的外接圓,AD是☉O的直徑,AD⊥BC于點E.(1)求證:∠BA