專題8.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算(學(xué)生版)

專題8.1復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念名稱含義復(fù)數(shù)的定義形如a＋bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的分類=1\*GB3①若b=0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；=2\*GB3②若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；=3\*GB3③若a=0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合，即C復(fù)數(shù)相等a復(fù)數(shù)間的關(guān)系復(fù)數(shù)不能比較大小，若復(fù)數(shù)z1>z2復(fù)數(shù)的模設(shè)OZ對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi，則向量OZ的長(zhǎng)度叫作復(fù)數(shù)即z復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)zz1=a+bi與z2=c+di2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)平面:建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面,x軸叫作實(shí)軸,y軸叫作虛軸.如圖所示：(2)復(fù)數(shù)概念的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的.如圖所示：(2)復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義若復(fù)數(shù)z1=a+bi,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若OZ1,則復(fù)數(shù)z1+z2是以O(shè)Z復(fù)數(shù)z1-z2(3)從幾何意義理解復(fù)數(shù)的模若復(fù)數(shù)z1=a+bi,則z=a2+b2表示點(diǎn)Za,b到原點(diǎn)的距離，=4\*GB2⑷兩個(gè)復(fù)數(shù)的差的模z1-z2設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi,=1\*GB3①z1-z2==2\*GB3②設(shè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是點(diǎn)Z，=1\*ROMANI.若z-z1=r，則點(diǎn)Z的軌跡為圓；=2\*ROMANII.若r1<z-z1<r2=3\*ROMANIII.若z-z1=z-z2，則=4\*ROMANIV.若z-z1+z-z2=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡為橢圓；當(dāng)常數(shù)等于AB時(shí)，點(diǎn)Z的軌跡為線段；當(dāng)常數(shù)小于AB=5\*ROMANV.若z-z1-z-z2=常數(shù)，則當(dāng)常數(shù)大于AB3.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算設(shè)z1運(yùn)算法則運(yùn)算公式復(fù)數(shù)的運(yùn)算律加法z加法交換律:z加法結(jié)合律:z減法z乘法z乘法交換律:z乘法結(jié)合律:z乘法分配律:z除法z【重要結(jié)論】1.復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系：z?z2.i的乘方具有周期性：in3.利用復(fù)數(shù)相等a+bi=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,d∈R4.解決復(fù)數(shù)模問題常用結(jié)論：z=1.【人教A版必修二習(xí)題第8題P74】復(fù)數(shù)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z，滿足1≤|z-11+i|≤2，則點(diǎn)Z所在區(qū)域的面積A.π B.2π C.3π D.4π2.【人教A版必修二復(fù)習(xí)參考題7第9題P95】復(fù)數(shù)z1=3-4i，z2=cos2x-isin2x，則A.2 B.3 C.4 D.5考點(diǎn)一考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的基本概念【方法儲(chǔ)備】復(fù)數(shù)概念問題的解題方法：=1\*GB2⑴求一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部：將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a＋bi(a，b=2\*GB2⑵求一個(gè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)：將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a＋bi(a=3\*GB2⑶復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題：將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a＋bi(a，b∈R【典例精講】例1.(2023·上海市市轄區(qū)模擬)(sinθ-35)+(cosθ-45)i是純虛數(shù)，則例2.(2023·山東省青島市月考)復(fù)數(shù)z=a+i2-i(i為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.-∞,-2 B.-12,2 C.【拓展提升】練11(2023·陜西省西安市月考)已知復(fù)數(shù)z=1-2sin23+i?cos6?tan6，現(xiàn)有如下說法：①|(zhì)z|=1;②復(fù)數(shù)zA.3 B.2 C.1 D.0練12(2023·廣東省肇慶市期中)（多選）已知復(fù)數(shù)z=(m2-1)+(m-A.若m=0，則共軛復(fù)數(shù)z=1-3i B.若復(fù)數(shù)z=2，則m=3

C.若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則考點(diǎn)二考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算【方法儲(chǔ)備】1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略=1\*GB2⑴復(fù)數(shù)的加減法：在進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算時(shí)，可類比合并同類項(xiàng)，運(yùn)用法則(實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減)計(jì)算即可.=2\*GB2⑵復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.=3\*GB2⑶復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.2.復(fù)數(shù)相等：實(shí)部、虛部分別對(duì)應(yīng)相等,列方程組求參數(shù).3.常用結(jié)論①1±i2=±2i；②1+i1-i=i；③1-i1+i=-i；④a+bii4.復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程(1)在只含有z的方程中,z類似于代數(shù)方程中的x,可直接求解.(2)在含有z,z,|z|中至少兩個(gè)的復(fù)數(shù)方程中,可設(shè)z=a＋bi(【典例精講】

例3.(2023·安徽省安慶市月考)設(shè)i為虛數(shù)單位，若(1+i)n=(1-i)n，則nA.2020 B.2022 C.2024 D.2026例4.(2023·湖南省婁底市模擬)已知復(fù)數(shù)z1，z2是方程x2+x+1=0的兩個(gè)根，則z2A.-1 B.1 C.-2 D.0例5.(2023·湖北省黃岡市模擬)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z+(1-2i)z=4(1-2i)z+(1+2i)z=6A.12 B.-12 C.【拓展提升】練21(2023·云南省昆明市模擬)已知z=7-4i(1-i)2+i2023A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限練22(2023·遼寧省沈陽(yáng)市期末)（多選）已知復(fù)數(shù)z1=a2-1+ai，z2=1+a-1A.z1=13 B.z1z考點(diǎn)三考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的幾何意義【方法儲(chǔ)備】復(fù)數(shù)的何意義體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示、復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置、復(fù)數(shù)運(yùn)算及模的最值問題等；復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義可按平面向量加法、減法理解,利用平行四邊形法則或三角形法則解決問題.對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的考查往往以復(fù)數(shù)的運(yùn)算為載體,解法如下：=1\*GB2⑴進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算,將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式；=2\*GB2⑵把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間的關(guān)系問題,依據(jù)是復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R與復(fù)平面上的點(diǎn)a,b一一對(duì)應(yīng),建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解.【典例精講】例6.(2023·安徽省合肥市聯(lián)考)在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，若OC→例7.(2023·重慶市聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z-2-3i=5，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)不可能為(

)A.2+8i B.-2-6i C.5+i D.5-7i例8.(2023·江蘇省徐州市月考)已知z1為復(fù)數(shù)，且z1=2，則|z1【拓展提升】練31(2023·江蘇省南通市模擬)已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部均為整數(shù)，則滿足|z-1|≤|zz|的復(fù)數(shù)z的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.5練32(2023·北京市模擬)為求方程x5-1=0的虛根，可把原式變形為(x-1)(x2+ax+1)(x21.(2023·安徽省淮南市月考)（多選）已知a,b∈R，復(fù)數(shù)z1=(1-i)a，A.z1≥2，z2≥2

B.若a=2，b=3時(shí)，z1z2=422.(2023·河北省衡水市模擬)復(fù)數(shù)z=a+bia,b∈R且a,b≠0.若|1z-1|=2，則的值與aA.z+13 B.z+12【答案解析】1.【人教A版必修二習(xí)題第8題P74】解：11+i=1-i(1+i)(1-i)=1-i2=12-12i，

|z-11+i|=1，22.【人教A版必修二復(fù)習(xí)參考題7第9題P95】解：因?yàn)閦1=3-4i，z2=cos2x-isin2x，

則z1z2例1.解：∵(sinθ-35)+(cosθ-45)i是純虛數(shù)，

則sinθ-35=0cosθ-45例2.解：由題意，復(fù)數(shù)

z=a+i2-i=a+i2+i2-i又由

z

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以

2a-15<0,-2+a5<0

即實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

(-2,12)

練11.解：依題意，z=1-2sin23+i?cos6?tan6=cos6+i?sin6，

|z|=cos26+sin26=1，故①正確;

復(fù)數(shù)z的實(shí)部為cos6，為正數(shù)，練12.解：對(duì)于A，m=0時(shí)，z=-1+3i，則z對(duì)于B，若復(fù)數(shù)z=2，則滿足m2-1=2(m-3對(duì)于C，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則滿足m2-1=0(m-3對(duì)于D，若m=0，則z=-1+3i，4+2z+z2=4+2(-1+

例3.解：∵(1+i)2=1+2i-1=2i，(1-i)2=1-2i-1=-2i，

∴(1+i)n=[(1+i)2]n例4.解：因?yàn)閺?fù)數(shù)z1，z2是方程x2+x+1=0的兩個(gè)根，

所以z1+z2=-1例5.解：設(shè)z=a+bi(a,b∈R)，則z=a-bi，

由題意(1+2i)(a+bi)+(1-2i)(a-bi)=4(1-2i)(a+bi)+(1+2i)(a-bi)=6，

可得2a-4b=42a+4b=6?a=52b=練21.解：依題意，z=7-4i(1-i)2+i練22.解：因?yàn)閦1=a2-1+ai，z2=1+(a-1)i(a∈R)，所以z1-2z2=a2-3+2-ai，

因?yàn)閦1-2z2為實(shí)數(shù)，所以2-a=0，a=2，

所以z1=3+2i，z2=1+i，

所以|z1例6.解：∵復(fù)數(shù)z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，

它們所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，

∴A(-1,2)，B(1,-1)，C(3,-2)，

∵OC=xOA+yOB，

∴(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)，

∴-x+y=3，2x-y=-2，例7.解：設(shè)z=a+bi，因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足z-2-3i=5，則有a-22+b-32=25①，

對(duì)于A：若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為2+8i，則z=2-8i，故a=2，b=-8，不符合①式，故A錯(cuò)；

對(duì)于B：若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為-2-6i，則z=-2+6i，故a=-2，b=6，符合①式，

對(duì)于C：若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為5+i，則z=5-i，故a=5，b=-1，符合①式，

對(duì)于D：若復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為5-7i，則z=5+7i，故a=5，例8.解：設(shè)復(fù)數(shù)z1=x+yi(x,y∈R)，

則|z1|=x2+y2=2，

即x2+y2=4，

故復(fù)數(shù)z1練31.解：設(shè)z=a+bi(a,b∈Z)，則z=a-bi，|z-1|=所以(a-1)2+b2≤1.

法一：因?yàn)?a-1)2≥0，所以b2≤1，即-1≤b≤1.

當(dāng)b=±1時(shí)，a-1=0，即a=1，有兩組滿足條件但a=0，b=0時(shí)z=0，不符合題意，

故選C．

法二：如圖，可轉(zhuǎn)化為研究圓面(a-1)2+b2≤1內(nèi)(包括邊界)的整點(diǎn)個(gè)數(shù).圓面包括的整點(diǎn)分別

為(0,0)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(1,-1)，而(0,0)不適合z≠0，則符合題意的整點(diǎn)共有練32.解：(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)

=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+