數(shù)學(xué)教學(xué)論文：基于數(shù)學(xué)表象的想象力培養(yǎng)路徑

數(shù)學(xué)教學(xué)論文：基于數(shù)學(xué)表象的想象力培養(yǎng)路徑想象，是人探索世界、認(rèn)識世界和改造世界的重要方式。愛因斯坦說過：“想象力比知識更重要，因?yàn)橹R是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動著進(jìn)步，并且是知識進(jìn)化的源泉?！眮喞锸慷嗟轮赋?，想象力是發(fā)明、發(fā)現(xiàn)以及其他創(chuàng)造活動的源泉。德國數(shù)學(xué)家希伯爾特也曾說：“要想獲得科學(xué)的認(rèn)知，某些直觀的想象和判斷力是不可缺少的先決條件”?？梢?，想象力是推動人類和社會進(jìn)步的關(guān)鍵力量。想象是借助表象進(jìn)行的思維活動，表象是想象的媒介和“材料”，是直觀感知向抽象思維發(fā)展不可或缺的橋梁。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，表象和想象也打上了數(shù)學(xué)知識和思維的烙印。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)表象的特點(diǎn)，幫助學(xué)生在充分感知學(xué)習(xí)材料、體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程的基礎(chǔ)上，通過數(shù)學(xué)表象的建立和運(yùn)用，培養(yǎng)和發(fā)展想象能力。一、數(shù)學(xué)表象的涵義和特點(diǎn)想象是人在感知客觀事物的基礎(chǔ)上，將頭腦中已有的表象進(jìn)行結(jié)合、改造與創(chuàng)新而產(chǎn)生新表象的心理過程。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，想象則是基于數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，更多地運(yùn)用數(shù)學(xué)表象進(jìn)行的思維活動，數(shù)學(xué)中的圖形、圖表、模型、符號等，生活中與數(shù)學(xué)相關(guān)的事物形象、活動影像等，都可以看作數(shù)學(xué)表象。從數(shù)學(xué)思維的視角看，想象表現(xiàn)為運(yùn)用數(shù)學(xué)表象進(jìn)行推想、聯(lián)想和猜想，泛指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)了表象變化的思維活動。如表象從無到有、由少變多、由靜到動、由此及彼以及從一種表象變換成另一表象、從離散到整合等。表象是一種心理上的存在和內(nèi)隱的語言，是在知覺基礎(chǔ)上形成的感性形象，即人在思想中形成的關(guān)于事物的映像，是人腦對當(dāng)前沒有直接作用于感覺器官的、以前感知過的事物形象的反映。表象可分為個(gè)別表象和一般表象。個(gè)別表象是頭腦中保存的某個(gè)事物的形象，一般表象是頭腦中保存的某類事物的形象。例如談到長方體，頭腦中浮現(xiàn)的牙膏盒、字典等就是不同的個(gè)別表象，而從這些具體實(shí)物概括出的一般的長方體（模型）形象就是一般表象。數(shù)學(xué)表象是對事物的空間形式、數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、模型及其表示等方面特征的概括而得到的形象性心理表征，屬于一般表象范疇。按照表象的功能，數(shù)學(xué)表象可分為記憶表象和創(chuàng)造表象；依據(jù)表象的呈現(xiàn)狀態(tài)，數(shù)學(xué)表象可分為動態(tài)表象和靜態(tài)表象；從表象的描述結(jié)構(gòu)的繁簡程度，數(shù)學(xué)表象可分為單象和復(fù)合象。由于數(shù)學(xué)特有的抽象性、邏輯性，數(shù)學(xué)表象呈現(xiàn)以下特點(diǎn)。數(shù)學(xué)表象是形象的，也含有抽象成分。表象具有直觀性和概括性的雙重特性。數(shù)學(xué)表象是數(shù)學(xué)形象思維的元素。在學(xué)生的頭腦里，數(shù)學(xué)表象有的是具體的、直觀的，有的是模糊的、片面的、不全面、不深刻的，但都是相對形象的、具體的、可感的。而且表象是“在知覺的基礎(chǔ)上所形成的感性形象”，這一形象性的特點(diǎn)決定了學(xué)生在進(jìn)行思考時(shí)，總會借助形象的事物或圖像，這些事物或圖像本身既可以是具體的實(shí)物、模型，也可以是如幾何圖形、數(shù)量關(guān)系、圖示圖像這樣的思維抽象物，因而數(shù)學(xué)表象既表現(xiàn)出直觀、形象的特點(diǎn)，也含有抽象的成分。數(shù)學(xué)表象是靈活的，也受到理性約束。數(shù)學(xué)研究的空間形式和數(shù)量關(guān)系是一種思維的抽象物，它源于現(xiàn)實(shí)、高于現(xiàn)實(shí)，源于具體、成于抽象，介于具體和抽象之間的數(shù)學(xué)表象的生成不單單是復(fù)制、模仿，而常常產(chǎn)生沒有見過的新形象，因而數(shù)學(xué)表象具有一定的“超現(xiàn)實(shí)性”，具有靈活而富于變化和創(chuàng)造的鮮明特點(diǎn)。如沒有寬度、厚度且可無限延長的直線，在現(xiàn)實(shí)中是不存在的，只能借助思維創(chuàng)造出直線的數(shù)學(xué)表象，若不指明這一點(diǎn)，學(xué)生在作鈍角三角形的高時(shí)就會有困難。但是，創(chuàng)造新的數(shù)學(xué)表象，也是在一定規(guī)則、公理（或基本事實(shí)）等理性約束下進(jìn)行的，并非完全隨意的天馬行空、自由發(fā)揮。數(shù)學(xué)表象是豐富多元的，也呈現(xiàn)整體關(guān)聯(lián)。生活中的萬事萬物被人感知后，會產(chǎn)生豐富、繁多而又各式、多元的數(shù)學(xué)表象，且數(shù)學(xué)表象及其運(yùn)用時(shí)常常因人而異、因事而異。另外，數(shù)學(xué)表象連通具體和抽象、已知和未知，關(guān)聯(lián)著不同方面的數(shù)學(xué)對象和知識，因而這些數(shù)學(xué)表象并不只是以單一、獨(dú)立的形式存在，而是?？上嗷マD(zhuǎn)換、聯(lián)結(jié)和整合，表現(xiàn)出意義上的相關(guān)和整體上的關(guān)聯(lián)。二、借助數(shù)學(xué)表象培養(yǎng)想象力表象是最活躍的心理因素。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的想象是以數(shù)學(xué)表象的加工、變換、鏈接、創(chuàng)生等為方式的心理活動，想象力的培養(yǎng)理應(yīng)借助數(shù)學(xué)表象，充分關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識內(nèi)容和數(shù)學(xué)表象的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)表象的豐富、創(chuàng)建和辨析中學(xué)會想象，提高想象能力和創(chuàng)造能力。（一）豐富數(shù)學(xué)表象，支撐想象國內(nèi)外研究表明，想象是可以被傳授的，說明想象不都是自然而然、自主產(chǎn)生的，而需要精心的引導(dǎo)和必要的示范（演示）。究其原因，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，想象需要豐富多樣的數(shù)學(xué)表象作為支撐。而數(shù)學(xué)表象有其自身的特點(diǎn)，它兼有形象性和一定的抽象性，也需要一定的靈活性，同時(shí)受到理性的約束，因此，有時(shí)生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)實(shí)踐中積累和形成的數(shù)學(xué)表象，并不能支撐學(xué)生的想象和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；同時(shí)兒童最初的表象是由內(nèi)化的模仿活動形成的，這樣，精心的引導(dǎo)和必要的示范就給予學(xué)生具體直觀的借鑒和模仿的機(jī)會。在借鑒和模仿的過程中，學(xué)生建立一定數(shù)量和質(zhì)量的相關(guān)數(shù)學(xué)表象，才能夠支撐其想象。因此，根據(jù)表象的類型和學(xué)習(xí)的需要，教學(xué)中需要適時(shí)提供針對性、準(zhǔn)確性強(qiáng)的感性素材，創(chuàng)設(shè)生動活潑的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，以增強(qiáng)學(xué)生體驗(yàn)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象。下面就以動態(tài)數(shù)學(xué)表象和靜態(tài)數(shù)學(xué)表象這兩類表象的補(bǔ)充為例，簡要探討如何豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)表象。動態(tài)數(shù)學(xué)表象是包含對象變化、形體轉(zhuǎn)化、事情發(fā)展等完整經(jīng)過的“動態(tài)”印象或記憶，能夠幫助學(xué)生想象，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，啟發(fā)學(xué)生探索解決問題的方法和思路。所以補(bǔ)充動態(tài)表象，讓學(xué)生積累生動形象的動態(tài)數(shù)學(xué)表象尤為重要。教學(xué)時(shí)經(jīng)常需要采用動態(tài)演示的方式來顯現(xiàn)過程、解釋因由或暗示探究方向。如探索“乘法分配律”，為了更好地理解其內(nèi)涵和意義，防止學(xué)生錯用，可以補(bǔ)充“化靜為動”的動態(tài)表象，給學(xué)生創(chuàng)造想象的機(jī)會。具體做法是演示將兩個(gè)寬或長相等的長方形合成新長方形的“旋轉(zhuǎn)—移動—合并”的動畫，讓學(xué)生借助形象的素材和圖形合并的演示，建立和積累與之對應(yīng)的動態(tài)數(shù)學(xué)表象，此表象隱含了“兩個(gè)長方形合并成一個(gè)新長方形”的要求和方式，為學(xué)生想象做好了準(zhǔn)備，也為下面通過“分開算”和“合著算”進(jìn)行規(guī)律的探索和概括提供了研究思路。這里的動畫演示就是補(bǔ)充動態(tài)表象的過程，加深了學(xué)生對乘法分配律意義的理解（如“分配”的涵義），有助于學(xué)生學(xué)會乘法分配律的正向和逆向使用，也利于學(xué)生想象力的發(fā)揮。補(bǔ)充動態(tài)表象在幫助學(xué)生能動想象方面的作用比較顯然，此外，也常需補(bǔ)充靜態(tài)數(shù)學(xué)表象，支撐學(xué)生的想象，更好地發(fā)揮表象從具體直觀到數(shù)學(xué)抽象的橋梁作用。例如，在教自然數(shù)的認(rèn)識時(shí)，只關(guān)注數(shù)學(xué)表象的直觀性，很容易掩蓋數(shù)的深刻內(nèi)涵與它的概括性、復(fù)雜性。在認(rèn)識某個(gè)具體自然數(shù)時(shí)，不僅要讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)物到抽象數(shù)量再到抽象的數(shù)的“數(shù)學(xué)化”過程，還要讓學(xué)生感受到很多物體合成的多個(gè)整體（如班級）也可以用自然數(shù)來計(jì)數(shù)或排序，這既是補(bǔ)充自然數(shù)的表象、強(qiáng)化其“形象性”，也有益于提升想象層次，讓學(xué)生在經(jīng)歷“具體實(shí)物—抽象符號—舉例表示—復(fù)雜集合—進(jìn)一步抽象”的過程中，體會數(shù)所表現(xiàn)的較大程度的概括性和抽象性。（二）創(chuàng)建數(shù)學(xué)表象，發(fā)展想象通過重組、加工、構(gòu)想等方法創(chuàng)建新的數(shù)學(xué)表象，是發(fā)展想象的重要路徑，通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)表象從無到有的創(chuàng)造、由一及多的拓展，以及概念表述從一種表征到另一表征或由簡單到復(fù)雜的變換等?？梢詣?chuàng)設(shè)操作情境、活動情境、演示情境、問題情境等豐富多樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情境，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)解決問題、表征知識的需要自主地創(chuàng)建新表象和新形象，拓廣想象空間，加上推理和計(jì)算等協(xié)同探求解決問題的思路，促進(jìn)想象力的提升。創(chuàng)建數(shù)學(xué)表象的方式不一而足。例如要使數(shù)學(xué)表象“從無到有”，可創(chuàng)設(shè)合宜的問題情境，讓學(xué)生根據(jù)語言的引導(dǎo)和經(jīng)驗(yàn)的驅(qū)使，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)表象。在這個(gè)過程中，可以將藝術(shù)想象的引導(dǎo)方式轉(zhuǎn)用到數(shù)學(xué)想象中來，也可以根據(jù)教學(xué)的需要，采用直觀的教學(xué)手段（如數(shù)形結(jié)合等），賦予抽象的數(shù)學(xué)對象以具體表象（具體實(shí)物、圖形表象）來展開想象和學(xué)習(xí)活動。又如要使表象“由一及多”，即數(shù)學(xué)表象從單象到復(fù)合象，創(chuàng)造出新的數(shù)學(xué)形象，可以由幾個(gè)具有相同屬性、相近表征、內(nèi)在關(guān)聯(lián)的簡單幾何圖形進(jìn)行結(jié)合和重組，也可以由單個(gè)（或一類）數(shù)學(xué)表象引發(fā)多種想象，或從抽象的數(shù)學(xué)表象聯(lián)想到具體實(shí)物，經(jīng)歷表象的“再現(xiàn)”或“再造”過程；再如概念表征的變換過程，主要表現(xiàn)為讓學(xué)生揭示、闡釋表示某個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵時(shí)，自由地用圖形、實(shí)物、符號等“可視化”媒介來表征，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)表象的靈活切換和想象力的發(fā)展。以“從無到有”為例，數(shù)學(xué)表象的“從無到有”，是創(chuàng)造性想象的真正體現(xiàn)。但它不是唾手可得的，需要創(chuàng)設(shè)特定的問題情境，借助合宜的啟發(fā)和引導(dǎo)，才能讓學(xué)生在“需要”“認(rèn)知沖突”之類的狀態(tài)下主動地創(chuàng)建新表象。例如，高是三角形數(shù)學(xué)表象中沒有的表象，如何啟發(fā)學(xué)生創(chuàng)建這一表象？可以在學(xué)生知道三角形的特征后，隨即追問：“三角形由3條線段圍成。它里面還有一些看不到的線段，你看出來了嗎？”在學(xué)生茫然無措之時(shí)，迅速出示一個(gè)等腰三角形讓學(xué)生觀察和判斷。由于沒有比較的對象，學(xué)生難以“無中生有”。繼而在學(xué)生百思不得其解時(shí)，再迅速出示一個(gè)與剛才三角形底邊相等而高不等的三角形，適時(shí)啟發(fā)：“現(xiàn)在你發(fā)現(xiàn)這條看不見的線段了嗎？”由于是“看不見的線段”，學(xué)生尋找時(shí)自然就排除了三角形的三條邊，轉(zhuǎn)而把觀察的視角集中到兩個(gè)三角形的“高不一樣”?！澳阏f的高在哪呢？能指給同學(xué)們看一看嗎？”此時(shí)，三角形的一條高的表象在學(xué)生的心中已然漸漸生成和清晰，學(xué)生在指示的時(shí)候教師便可順勢出示這條原本沒有的“高”（如圖1）……可以看出，高的出現(xiàn)是表象生成的過程，是在比較后實(shí)現(xiàn)的“從無到有”的結(jié)果，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)表象的形象生動和一定的抽象“意味”，也展現(xiàn)了創(chuàng)造性想象的魅力，對學(xué)生想象能力的提高大有裨益。（三）辨析數(shù)學(xué)表象，合理想象心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)表象是相對形象的、具體的，有時(shí)是不全面、不精確、不深刻的，又因個(gè)人的生活經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、感知和思維方式等的不同，使得建立的表象也存在差異，運(yùn)用這樣的數(shù)學(xué)表象展開思考，容易造成“錯漏偏頗”的想象。因此，針對模糊粗淺、主觀片面的數(shù)學(xué)表象，需要結(jié)合數(shù)學(xué)知識和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步加以辨析，如擺脫生活經(jīng)驗(yàn)和原有表象可能造成的干擾，通過外在表征將諸多表象進(jìn)行對比，糾正典型的表象偏差，從而展開合理的想象。例如，生活中的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，常見的有像時(shí)鐘、大風(fēng)車一樣的以物體的中心為固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，也有像旋轉(zhuǎn)桿一樣的以物體一端（看成一個(gè)點(diǎn)）為固定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，前后兩者相較之下，前一種“旋轉(zhuǎn)”的數(shù)學(xué)表象更貼近學(xué)生的生活實(shí)際，易于展開想象。雖然這兩種常見的旋轉(zhuǎn)方式都是數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，但是學(xué)生在學(xué)習(xí)“后者”旋轉(zhuǎn)方式時(shí)，容易將“前者”的表象帶入到“后者”，時(shí)常出現(xiàn)“位移”“變形”的想象錯誤，造成教學(xué)缺憾。加強(qiáng)數(shù)學(xué)表象辨析需要基于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，講究表象辨析的方式和方法。以教學(xué)旋轉(zhuǎn)時(shí)“畫出長方形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的圖形”為例，需要做以下兩方面的辨析：一是對繞長方形不同頂點(diǎn)按同樣要求（通常順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°）旋轉(zhuǎn)后位置的辨析，讓學(xué)生清晰地看到旋轉(zhuǎn)后的長方形的位置及與原來長方形的關(guān)聯(lián)；二是對旋轉(zhuǎn)前后圖形中的“對應(yīng)的關(guān)鍵點(diǎn)或線段（與固定點(diǎn)連接的點(diǎn)或線段）”的辨析，讓學(xué)生直觀地感受對應(yīng)點(diǎn)或?qū)?yīng)邊的位置關(guān)系（都按要求旋轉(zhuǎn)了相同角度），在認(rèn)識“由于對應(yīng)點(diǎn)或線段的同時(shí)旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)了圖形的旋轉(zhuǎn)”這個(gè)道理的同時(shí)，也建立了深刻的、牢固的數(shù)學(xué)表象，避免了因表象偏差引起的“錯漏”想象。學(xué)生正確表象的形成有一個(gè)產(chǎn)生、發(fā)展的過程，應(yīng)該根據(jù)數(shù)學(xué)表象的特點(diǎn)，針對學(xué)生想象能力與認(rèn)知要求之間的差距，以適當(dāng)?shù)膯栴}和活動為載體，加強(qiáng)表象的辨析，