電路分析 第4版 10章 拉氏變換及其應(yīng)用

10章

拉氏變換及其應(yīng)用10.1

拉普拉斯變換的定義及性質(zhì)10.1.1拉氏變換法人定義及收斂域10.1.2拉氏變換的基本性質(zhì)10.1.3周期函數(shù)的拉氏變換10.2拉氏逆變換10.3運(yùn)算電路模型10.3.1電路元件的運(yùn)算模型10.3.2基爾霍夫定理的運(yùn)算形式10.4運(yùn)算法10.5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及零、極點(diǎn)分布對(duì)響應(yīng)的影響10.5.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)10.5.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)10.5.3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)與頻率響應(yīng)10.5.4卷積知識(shí)傳授

1、了解拉普拉斯變換和逆變換的定義；2、掌握常用函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換對(duì)；3、掌握部分分式展開(kāi)法求拉普拉斯反變換的方法；4、掌握動(dòng)態(tài)電路的s域電路模型、方程和求解方法；5、掌握s域的電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和零狀態(tài)響應(yīng)的求解方法。能力培養(yǎng)1、鍛煉具備利用工程數(shù)學(xué)工具解決復(fù)雜動(dòng)態(tài)電路問(wèn)題的能力價(jià)值引導(dǎo)1、換賽道與另辟蹊徑：拉普拉斯變換是一種工程數(shù)學(xué)的工具，其作用是換了賽道，再來(lái)研究經(jīng)典微積分描述的復(fù)雜電路問(wèn)題，會(huì)有彎道超車(chē)、另辟蹊徑的感覺(jué)，啟迪我們要提示自己也要學(xué)會(huì)變通，或許在另一個(gè)賽道上，一些問(wèn)題的解決變得易如反掌。例1:對(duì)數(shù)變換乘法運(yùn)算簡(jiǎn)化為加法運(yùn)算例2:相量法變換正弦運(yùn)算簡(jiǎn)化為復(fù)數(shù)運(yùn)算10-1拉普拉斯變換的定義了解一些數(shù)學(xué)中的變換引言：顯然：變換，可以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化運(yùn)算！圖（a）對(duì)數(shù)變換圖（b）相量形式變換s為復(fù)頻率稱：傅立葉變換，即時(shí)域函數(shù)f(t)的雙邊拉普拉斯變換為：其中

為任意實(shí)數(shù)，稱為奈培頻率，ω稱為角頻率。1.雙邊拉普拉斯（正）變換10.1.1拉普拉斯變換（反變換）的定義及收斂域圖（a）f(t)與F(s)一一對(duì)應(yīng)f(t)時(shí)域F(s)s域正變換逆變換時(shí)域函數(shù)f(t)稱為原函數(shù)，F(xiàn)(s)為象函數(shù)。原函數(shù)與象函數(shù)之間關(guān)系，如圖（a）所示。積分下限從0

開(kāi)始，稱為0

拉普拉斯變換。積分下限從0+

開(kāi)始，稱為0+拉普拉斯變換。f(t)=

(t)時(shí)，此項(xiàng)0本課程討論的單邊拉普拉斯變換均為0

拉普拉斯變換

對(duì)那些在t<0時(shí)，f(t)=0或者不存在的函數(shù)，或者并不關(guān)心取何值的函數(shù)，可看做f(t)ε(t)；定義單邊拉普拉斯變換：

單邊拉普拉斯（正）變換拉普拉斯逆變換定義正變換的簡(jiǎn)寫(xiě)方式

已知F(s)求f(t)，稱為拉普拉斯逆（反）變換。逆變換的表達(dá)式為f(t)與F(s)一一對(duì)應(yīng)象函數(shù)F(s)：用大寫(xiě)字母表示，如I(s)，U(s)。原函數(shù)f(t)：用小寫(xiě)字母表示，如i或i(t)、u、u(t)。逆變換的簡(jiǎn)寫(xiě)方式才能使得象函數(shù)F(s）在其定義域（s=σ+jω，又稱s域）收斂。在電路分析中電路變量基本都能滿足。2.拉普拉斯變換的收斂域——存在條件任意f(t)函數(shù)的拉普拉斯變換后的象函數(shù)F(s)不一定都存在。要符合狄里赫利條件!符合狄里赫利條件，是指f(t)本身有界或其乘以后有界（收斂）！即：如：直流變量：f(t)=常量；正弦量：f(t)=Icosωt;階躍函數(shù)：f(t)=ε(t)；指數(shù)衰減函數(shù)：f(t)=Ke-t/τ等沖激函數(shù)：f(t)=δ(t)；M為有限大的常數(shù)。(1)單位階躍函數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)(3)單位沖激函數(shù)=13.常用函數(shù)的單邊拉普拉斯變換還應(yīng)該記住幾個(gè)：10.1.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)序號(hào)性質(zhì)內(nèi)容1線性性2時(shí)域微分3時(shí)域積分4時(shí)域平移5s域平移6s域微分7s域積分尺度變換89卷積選擇幾個(gè)性質(zhì)強(qiáng)調(diào)一下！1.線性（齊性和疊加）性質(zhì)a、b為定常實(shí)數(shù)這個(gè)性質(zhì)，可以用來(lái)求解一些f（t）的象函數(shù)則2.時(shí)域微分性質(zhì)則這個(gè)性質(zhì)，反映了時(shí)域函數(shù)求一次微分，其象函數(shù)需乘以s的一次冪的特性！也可用來(lái)簡(jiǎn)化某些時(shí)域函數(shù)的象函數(shù)計(jì)算。只要知道這些時(shí)域函數(shù)的f(0-)即可。時(shí)域微分特性推廣：例10-2已知圖（a）電容中的電流和兩端電壓關(guān)聯(lián)參向，求電容電流的拉普拉斯變換。解由時(shí)域方程思考：能否由表達(dá)式畫(huà)出模型？其實(shí)方程式（2）描述的是一條支路，一個(gè)電流等于兩個(gè)電流的代數(shù)和:因此它可以用諾頓等效電路形式來(lái)等效！+uC-iCC圖（a）電容時(shí)域模型后面的我們將要學(xué)習(xí)這個(gè)模型。3.時(shí)域積分性質(zhì)這個(gè)性質(zhì)，反映了時(shí)域函數(shù)求一重積分，其象函數(shù)需除以s的一次冪的特性！也可用來(lái)簡(jiǎn)化某些時(shí)域函數(shù)的象函數(shù)計(jì)算。推廣一下：為積分初值若非單邊拉普拉斯變換，則特別說(shuō)明：例10-3已知：電感的電流與電壓時(shí)域模型如圖（a）所示，其方程為求電感電流的拉普拉斯變換式。解：iL+uL

﹣L圖（a）電感時(shí)域模型它可以用戴維南等效電路形式來(lái)等效！4.時(shí)域平移性質(zhì)

f(t)

(t)t圖（a）原函數(shù)0tf(t-t0)

(t-t0)t0圖（b）平移0f(t)

(t-t0)tt0圖（c）延遲0要注意時(shí)域平移，和時(shí)域延遲是不一樣的！

補(bǔ)例1：?例10-4：已知單個(gè)三角波形f(t)如圖所示，求f(t)的象函數(shù)F(s)。1Ttf(t)圖（a）0TAf(t)圖（c）0tTt圖（b）01f(t)已知單個(gè)脈沖波形f(t)如圖(a)所示，求f(t)的象函數(shù)F(s)。解：圖(a)

f(t)函數(shù)，可以用階躍函數(shù)與延遲階躍函數(shù)圖（b）組成獲得：即5.s域平移性質(zhì)例10-5:解證畢！6.s域?qū)?shù)性質(zhì)證畢！補(bǔ)充：初值定理和終值定理初值定理：f(t)在t=0處無(wú)沖激則終值定理：證：利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)例y2：ε(t)RC+u-校驗(yàn)：10.1.3周期函數(shù)的拉氏變換若周期函數(shù)f(t)=f(t+T

)滿足前述收斂條件，則拉普拉斯變換存在：證明：周期函數(shù)的拉氏變換...t/sf(t)1T/2T設(shè)f1(t)為第一周函數(shù)例10-7圖（a）所示周期函數(shù)T=2s，求其象函數(shù)F(s)。

解方法一：第一個(gè)周期可描述為解方法二：利用其表達(dá)式直接求出...t/sf(t)1T/2T圖（a）周期函數(shù)0積分微分小結(jié)：1、時(shí)域函數(shù)：，其拉普拉斯變換后的象函數(shù)是？ABCD提交單選題1分2、一個(gè)常數(shù)，，其拉普拉斯變換后的象函數(shù)為？5ABCD提交單選題1分3、時(shí)域函數(shù)，其拉普拉斯變換后象函數(shù)為？1ABCD提交單選題1分4、時(shí)域函數(shù)能夠進(jìn)行拉普拉斯變換的條件是：所有時(shí)域函數(shù)；符合；AB提交沖激函數(shù)的倍數(shù);C階躍函數(shù)的倍數(shù)。D單選題1分由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用逆變換公式：(2)查拉普拉斯變換與逆變換對(duì)應(yīng)表因此我們學(xué)的是：對(duì)F(s)進(jìn)行部分分式處理，得到部分分式Fn(s)，找其fn(t)。10.2拉普拉斯逆變換查表法的思路：是把象函數(shù)F(s)拆成簡(jiǎn)單的∑Fn(s)，容易找到其變換對(duì)fn(t)。就是多項(xiàng)式的因式分解。部分分式式中ai（i=0,1,2,…,m）和bj（j=0,1,2,…,n）為實(shí)常數(shù)，m和n為正整數(shù)。當(dāng)m<n時(shí)，F(xiàn)(s)為有理真分式；直接進(jìn)行部分分式處理。

當(dāng)m≥n時(shí)，F(xiàn)(s)為假分式，此時(shí)可利用多項(xiàng)式長(zhǎng)除法將F(s)分解為多項(xiàng)式與有理真分式之和的形式，即再進(jìn)行分析。對(duì)F(s)進(jìn)行部分分式處理

本課程主要討論F(s)為有理真分式的情況。即：假設(shè)滿足m<n。為便于F(s)的分解，令F(s)的分母為零：即：D(s)=0。從而可求出n個(gè)根pi(i=1,2,…,n)。當(dāng)s等于任何一個(gè)根時(shí)，F(xiàn)(s)等于無(wú)窮大。所以稱這些根為F(s)的極點(diǎn)。對(duì)真分式F(s)的分母進(jìn)行因式分解，可以展開(kāi)成部分分式的代數(shù)和。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，求分母D(s)=0中的s，就是大家中學(xué)數(shù)學(xué)的一元多次方程求解！也可以分析：N(s)=0。從而可求出m個(gè)根zj(j=1,2,…,m)，這些根稱為零點(diǎn)。根據(jù)極點(diǎn)的不同特點(diǎn)，F(xiàn)(s)的分解方法也不同。m<n利用部分分式將F(s)分解為：1．F(s)的極點(diǎn)僅為單根=0=0方法一：如：如從而利用變換對(duì)：（洛比達(dá)法則）（分解定理）方法二：所以：補(bǔ)例1例10-8解把F(s)變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式再對(duì)真分式進(jìn)行的部分分式展開(kāi)式為：計(jì)算系數(shù)求原函數(shù)f(t)。例10-9

令F(s)的分母多項(xiàng)式等于零，可得共軛復(fù)數(shù)根，即方法一：由根來(lái)求取ki求原函數(shù)f(t)。到最后得到結(jié)果：解畢！過(guò)程比較繁。關(guān)于方法二若：分解（部分分式）：即對(duì)s作必要的配方平移性質(zhì)平移性質(zhì)從而：

利用拉普拉斯變換性質(zhì)，有時(shí)比較方便例10-10解按照實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)展開(kāi)，得s域平移性質(zhì)求原函數(shù)f(t)。2.F(s)的極點(diǎn)有重根

極點(diǎn)s=p處有n個(gè)重根，即n階極點(diǎn)。則F(s)這樣展開(kāi)：式中各系數(shù)確定注：0！＝1，1?。?。補(bǔ)例2例10-11解F(s)展開(kāi)式為得：最后：計(jì)算各個(gè)系數(shù)例10-12應(yīng)用拉普拉斯變換求解圖（a）所示RL電路中t>0后的電流i(t)。解：由圖（a）可得電路t>0的時(shí)域方程為

對(duì)上式兩邊取拉普拉斯變換，應(yīng)用時(shí)域微分性質(zhì)，得：代入初始值，并整理得：取逆變換得時(shí)域解4Ω+2ε(t)-2Hi(0－)=5Ai圖（a）例10-12圖分析：細(xì)品之后發(fā)現(xiàn)：該電路在階躍函數(shù)作用下，且動(dòng)態(tài)元件初始值還非零。應(yīng)該為動(dòng)態(tài)電路全響應(yīng)分析。

則其部分分式中，k1=[填空1];k2=

[填空2].作答正常使用填空題需3.0以上版本雨課堂填空題2分2.)求F（s）分母多項(xiàng)式等于零的根，將F（s）分解成部分分式之和3.)求各部分分式的系數(shù)4.)對(duì)每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉普拉斯反變換。1.)

將F(s)化成最簡(jiǎn)真分式由F(s)求f(t)的步驟5.)注意拉普拉斯反變換，時(shí)域結(jié)果表達(dá)式后面通常乘以單位階躍函數(shù)。原因：是本課程介紹的拉普拉斯變換是單邊變換。小結(jié)：相量形式KCL、KVL元件復(fù)阻抗、復(fù)導(dǎo)納相量形式電路模型元件運(yùn)算阻抗、運(yùn)算導(dǎo)納運(yùn)算形式KCL、KVL運(yùn)算形式電路模型類似的：復(fù)頻域中的電路變量、電路元件與模型10.3運(yùn)算電路模型回顧相量域中的電路變量、電路元件與模型1、電阻元件的運(yùn)算模型u=Ri10.3.1電路元件的運(yùn)算模型i=Gut域s域+u-iR圖（a）時(shí)域模型+U(s)-I(s)R圖（b）復(fù)頻域模型2．電容的運(yùn)算模型t域s域uC(0-

)/s為初始值產(chǎn)生的附加電壓源sC運(yùn)算容納CuC(0-

)為初始值產(chǎn)生的附加電流源CuC(0－)+UC(s)-IC(s)sC圖（b）諾頓模型圖（c）戴維南模型1/(sC)+UC(s)-uC(0－)/s+-IC(s)+uC-iCC圖（a）時(shí)域模型3．電感的運(yùn)算模型t域s域LiL(0-

)為初始值產(chǎn)生的附加電壓源i(0-

)/s為初始值產(chǎn)生的附加電流源sL+-U(s)I(s)圖（c）諾頓模型+

-sLU(s)I(s)圖（b）戴維南模型參考方向i+u-L4、耦合電感的運(yùn)算模型互感產(chǎn)生的附加電壓源M

i1(0-

)和M

i2(0-

)ML1L2i1i2+u1-+u2-圖（a）時(shí)域模型L1i1(0-)Mi2(0-)Mi1(0-)L2i2(0-)+U2(s)-+U1

(s)-I1(s)I2(s)sL1sL2+-+-sM圖（b）運(yùn)算模型5、其它元件時(shí)域與s域的變換獨(dú)立電壓源獨(dú)立電流源受控源：如電壓控制電壓源+u1-+u2-Ri1u1圖（a）時(shí)域模型(s)U1+(s)-

RI1(s)+U2-

U1(s)圖（b）運(yùn)算模型1、已知電感的時(shí)域模型如右圖所示，那么下列關(guān)于電感的運(yùn)算模型，正確的是：ABCD提交+

-sLU(s)I(s)+

-sLU(s)I(s)sL+-U(s)I(s)sL+-U(s)I(s)單選題1分2、已知電容的時(shí)域模型如右圖所示，那么下列關(guān)于電容的運(yùn)算模型，正確的是：ABCD提交+uC

-iCC1/(sC)+UC(s)-

uC(0－)/s+

-IC(s)1/(sC)+UC(s)-

uC(0－)/s-

+IC(s)uC(0－)/s+UC(s)

-IC(s)sCuC(0－)/s+UC(s)

-IC(s)sC單選題1分10.3.2基爾霍夫定律的運(yùn)算形式以及運(yùn)算阻抗1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式2.無(wú)源元件RLC的運(yùn)算阻抗1)運(yùn)算阻抗+uC-(a)時(shí)域電路RLC+u-iab-Li(0－)++U(s)-+-uC(0－)/s1/(sC)sLRI(s)(b)運(yùn)算電路ab2)運(yùn)算形式的歐姆定律3)常規(guī)運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)納計(jì)算求運(yùn)算阻抗時(shí)默認(rèn)電感電流、電容電壓初始值為0！Li(0－)U(s)uC(0－)/s1/(sC)sLRI(s)圖(b’)運(yùn)算電路ab+

-

+

-

+

-

+

-

U'(s)R3R1sL1/sCZ(s)圖(c)求端口運(yùn)算阻抗cdR2比如：求圖（c）端口cd的運(yùn)算阻抗？串聯(lián)時(shí)運(yùn)算阻抗+u-iRLC+U(s)-I(s)RsL1/sC+u-iRLC+U(s)-I(s)1/R1/sLsC并聯(lián)時(shí)運(yùn)算導(dǎo)納對(duì)同一個(gè)端口而言RLC串并聯(lián)時(shí)的運(yùn)算阻抗和運(yùn)算導(dǎo)導(dǎo)納1）.電壓、電流用象函數(shù)形式；2）.元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納；3）.電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。3.初識(shí)運(yùn)算電路模型圖（b）運(yùn)算電路RRLsL1/sCI1(s)+Us(s)-I2(s)圖（a）時(shí)域電路RRLLCi1i2+Us(t)-圖(a)時(shí)域電路t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)5Ω1F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+﹣uc+

-iLuc(0-)=25ViL(0-)=5A圖（c）t>0運(yùn)算電路200.5s-++-1/s25/s2.55IL(S)UC(s)R1LC+us-+uC-iS(t=0)R2圖（b）時(shí)域電路t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)練習(xí)作出t>0后，圖（a）和（b）的運(yùn)算電路。圖（d）t>0運(yùn)算電路R1sL1/sC+U(s)-+UC(s)-I(s)R2-Li(0-)++u(0-)/s-10.4運(yùn)算法

第4章討論了線性動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析法。對(duì)于一階電路，當(dāng)激勵(lì)為直流，可以采用三要素公式法分析、或者建立一階常系數(shù)微分方程并求解，還是比較方便的。

再有：對(duì)于二階電路，必需建立二階常系數(shù)微分方程，并求解，也比較麻煩。當(dāng)對(duì)于二階以上的高階電路，時(shí)域分析法則更加麻煩。

如采用狀態(tài)變量法，或者數(shù)值解法可以解決，而這些工科數(shù)學(xué)，我們目前的數(shù)學(xué)知識(shí)還不夠。而對(duì)于上述時(shí)域不容易分析的情況，可采用s域分析法?！獞?yīng)用拉普拉斯變換法分析線性動(dòng)態(tài)電路

而當(dāng)激勵(lì)為其它函數(shù)時(shí)：比如正弦函數(shù)、階躍函數(shù)或沖激函數(shù)時(shí)，時(shí)域分析法就相對(duì)比較麻煩了。

方案1：首先列寫(xiě)動(dòng)態(tài)電路的微分方程，再利用拉普拉斯變換的性質(zhì)將微分方程轉(zhuǎn)化成s域的代數(shù)方程求解。

方案2：首先由時(shí)域電路求（畫(huà)）得運(yùn)算電路，在運(yùn)算電路中，列寫(xiě)電路的代數(shù)方程并求解象函數(shù)，然后再反函數(shù)的過(guò)程，這種方法稱為運(yùn)算法。微分方程拉式變換求解s域代數(shù)方程拉式逆變時(shí)域電路運(yùn)算電路求解象函數(shù)拉式逆變換運(yùn)算法的分析流程：1.由換路前電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)；2.畫(huà)t>0后運(yùn)算電路模型；3.應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)；4.反變換求原函數(shù)。下面介紹方法2：運(yùn)算法分析舉例。常規(guī)步驟：電路如圖（a）所示。t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)S,求iL，uL.。(2)畫(huà)運(yùn)算電路附加電源：Li(0-)=0.5,uC(0-)/s=100/s補(bǔ)例1：提示：運(yùn)算電路中，元件參數(shù)、變量、附加電源、激勵(lì)源等都不帶單位！數(shù)量級(jí)一致即可。200V30Ω0.1H10Ω-uC+1000μFiLuLS(t=0)圖(a)原電路200/s300.1s0.510103/s102/sIL(s)I2(s)圖(b)t>0后運(yùn)算電路-Uc（s）+(4)反變換求原函數(shù)（3）網(wǎng)孔電流法列方程，求待求量象函數(shù)續(xù)解（1）200/s300.1s0.510103/s100/sIL(s)I2(s)圖(a)運(yùn)算電路網(wǎng)孔電流法續(xù)解（2）200/s300.1s0.510103/s100/sIL(s)I2(s)圖(b)運(yùn)算電路UL(s)同理：例10-13圖(a)中，電容初始電壓電感初始電流為零。t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S閉合，電路元件參數(shù)如圖所示。試用運(yùn)算法求電流iL(t)。解:1）由于電容電壓的初始值為零，附加電源為零；2）等效的運(yùn)算電路如圖(b)所示；(a)時(shí)域電路S(t=0)50Ω4/3H+50V-100μFiL104/s(b)s域電路504s/3+50/s-IL(s)代入數(shù)值，解得4）求逆變換，從而得到時(shí)域解3）應(yīng)用結(jié)點(diǎn)電壓方法可得求待求量象函數(shù)即：零狀態(tài)情況下的二階動(dòng)態(tài)電路的過(guò)阻尼過(guò)渡過(guò)程。104/s(b)s域電路504s/3+50/s-IL(s)10A=1，B=-1.5，C=0.5補(bǔ)例1us(t)=

(t)，求單位階躍響應(yīng)i(t)及電感電壓uL(t)。(a)時(shí)域電路R+us-Li+uL(t)-+1/s-RI(s)sL(b)運(yùn)算電路+UL(s)-運(yùn)算電路如圖(b)所示，其中電壓源的象函數(shù)US(s)=1/s逆變換為解：求圖（a）電容電流沖激響應(yīng)。補(bǔ)例2電容電流含有0時(shí)刻的沖激量！解：1)沖激響應(yīng)默認(rèn)為零狀態(tài)，故無(wú)附加電源。RC+uc

isiC圖（a）沖激電路R1/sC+Uc(s)

Is(s)圖（b）運(yùn)算電路IC(s)2)作運(yùn)算電路如圖（b）所示，其中：3)求象函數(shù)4)求反函數(shù)討論：沖激響應(yīng)中電容電壓和電流的特點(diǎn)即：運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的范圍更廣。階躍響應(yīng)更輕松；二階電路比較輕松；沖激響應(yīng)也很輕松。小結(jié)（1）運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路RC+uc

isiC圖（a）沖激電路tuc(V)0不連續(xù)，有突變！圖（b）電容電壓0時(shí)刻有沖激tic圖（c）電容電流10.4運(yùn)算法前面分析了s域（幅頻域）分析法來(lái)分析線性動(dòng)態(tài)電路，可以不論激勵(lì)的特殊性，也可以不論動(dòng)態(tài)二階電路的阻尼情況，均比較簡(jiǎn)單。本節(jié)再補(bǔ)充一些例題，繼續(xù)深入理解和掌握運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的應(yīng)用方法?！獞?yīng)用拉普拉斯變換法分析線性動(dòng)態(tài)電路（2）比如線性電路中有雙電感時(shí)、或雙電容時(shí)的動(dòng)態(tài)電路分析；比如當(dāng)激勵(lì)為其它函數(shù)（比如衰減函數(shù)）時(shí)。(雙電感串聯(lián)電路)t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)S,求電流i1,i2。補(bǔ)例3.+-S(t=0)R1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ω圖（a）雙電感串聯(lián)電路10/s20.3s1.530.1sI1(s)圖（b）運(yùn)算電路+-S(t=0)R1L1L2R2i1i20.3H0.1H10V2Ω3Ω圖（a）雙電感電路討論：因?yàn)椋猴@然：t/si1=i2523.75Oi/A圖（b）電感電流波形為什么？原電路圖（a）可知：根據(jù)換路定則：換路前后如果還遵循則要求電感中電壓必須為有限值。那么本題中，電感中電壓是有限值嗎？UL1(s)圖（b）兩電感上電壓都有沖激量！uL1-6.56t-0.375(t)0.375(t)uL2t-2.19事實(shí)上：這里利用是磁鏈?zhǔn)睾阋?guī)律討論（續(xù)）：UL2(s)10/s20.3s1.530.1sI1(s)圖（a）運(yùn)算電路補(bǔ)例4：雙電容并聯(lián)的動(dòng)態(tài)電路用運(yùn)算法計(jì)算圖（a）中，開(kāi)關(guān)S閉合后的電容電壓uc2(t)和電容電流ic2(t)，設(shè)原先已經(jīng)穩(wěn)定，電容C2中原來(lái)無(wú)能量，R=1

，C1=0.25F，C2=0.5F。C1C2+-uC1+-uC2S(t=0)iiC1iC2＋1V圖（a）時(shí)域電路R解：

先計(jì)算初值：再畫(huà)出電路的運(yùn)算模型（圖b所示）以及標(biāo)出待求量的象函數(shù)取結(jié)點(diǎn)a，列寫(xiě)結(jié)點(diǎn)電壓方程：4/s2/s+-UC1(s)+-UC2(s)+1/s圖（b）運(yùn)算電路1+1/s-IC2(s)a0求得求電流：續(xù)解4/s2/s+-UC1(s)+-UC2(s)+1/s圖（b）運(yùn)算電路1+1/s-IC2(s)a0例10-14圖(a)電路，電感初始電流為0，t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)S閉合，求t>0時(shí)的電感電壓uL(t)。+10e-tV–

+

uL–

4ΩS(t=0)

1H

4Ω

+u1–

+2u1–iL圖(a)時(shí)域電路+

110+s

–4

s

4

+

U1(s)–

+

2U1(s)–IL(s)

+

UL(s)–

(b)解運(yùn)算電路如圖(b)所示，列結(jié)點(diǎn)電壓方程圖(a)所示電路開(kāi)關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)，電容初始儲(chǔ)能為零，在t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)S，求t>0時(shí)的電流i1(t)。例10-15解因?yàn)樵娐芬逊€(wěn)定，可分別求得電容的附加電源為:

畫(huà)出t≥0的運(yùn)算電路，如圖(b)所示。+10V-(a)時(shí)域電路R1Ωi1C0.5FLS(t=0)0.2HI1(s)2/s(b)s域電路+10/s-10.2s-2+例10-16解電壓源時(shí)域表示為電路如圖(a)所示，其電壓源為設(shè)電路的初始條件均為零，元件參數(shù)如圖中所示。試用運(yùn)算法求解電容的端電壓uC(t)。圖(b)電壓源信號(hào)us(t)/Vt/s00.0110+us-圖(a)時(shí)域電路250Ω200Ω40H100μF+uC_其波形如圖(b)所示。續(xù)解因初始值為零，運(yùn)算電路的結(jié)構(gòu)如圖(c)所示:+Us(s)-圖(c)s域電路25020040s104/s+UC(s)_結(jié)點(diǎn)方程為10所以或分段表示為1、運(yùn)算法直接求得全響應(yīng)，且無(wú)需判斷電路階數(shù)，電源激勵(lì)可以是直流、交流、沖激、指數(shù)等多種形式。3、運(yùn)算法分析動(dòng)態(tài)電路的步驟2、用0-初始條件，躍變情況自動(dòng)包含在響應(yīng)中。1).由換路前電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)。2).畫(huà)運(yùn)算電路圖3).應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4).反變換求原函數(shù)。小結(jié)動(dòng)態(tài)電路，采用運(yùn)算法分析，能夠分析下列哪些響應(yīng)？零狀態(tài)響應(yīng)；零輸入響應(yīng)；階躍響應(yīng)；ABCD提交沖激響應(yīng)。多選題1分練習(xí)1us(t)=

(t)，求單位階躍響應(yīng)i(t)及電感電壓uL(t)。(a)時(shí)域電路R+us-Li+uL(t)-+1/s-RI(s)sL(b)運(yùn)算電路+UL(s)-運(yùn)算電路如圖(b)所示，其中電壓源的象函數(shù)US(s)=1/s逆變換為解：求圖（a）電容電流沖激響應(yīng)。練習(xí)2電容電流含有0時(shí)刻的沖激量！解：1)沖激響應(yīng)默認(rèn)為零狀態(tài)，故無(wú)附加電源。RC+uc

isiC圖（a）沖激電路R1/sC+Uc(s)

Is(s)圖（b）運(yùn)算電路IC(s)2)作運(yùn)算電路如圖（b）所示，其中：3)求象函數(shù)4)求反函數(shù)10.5網(wǎng)絡(luò)函數(shù)及零、極點(diǎn)分布對(duì)響應(yīng)的影響1、（在s域）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)2、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)的關(guān)系在第9章討論交流電路的頻率響應(yīng)時(shí)，曾引入網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念。即以頻率為自變量，來(lái)分析正弦交流電路網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅頻特性和相頻特性。而學(xué)習(xí)拉普拉斯變換時(shí)，定義的s=σ+jω，且指明整個(gè)s都稱為頻率，若把這個(gè)s作為自變量，按照網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義，響應(yīng)象函數(shù)/激勵(lì)象函數(shù)，將得到一個(gè)更廣泛的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的分析范圍。下面來(lái)分析，基于自變量為s時(shí)，形成的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，以及相關(guān)分析：引言10.5.1網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與單位沖激響應(yīng)

在s域分析中，將網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)定義為：電路在單個(gè)獨(dú)立電源激勵(lì)下，零狀態(tài)下響應(yīng)的象函數(shù)R(s)與激勵(lì)源的象函數(shù)E(s)之比，即則1、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)定義

由于動(dòng)態(tài)元件的初始條件為零，運(yùn)算電路中不存在由初始值產(chǎn)生的附加電源。因而運(yùn)算電路與時(shí)域電路模型的結(jié)構(gòu)相同。認(rèn)識(shí)：

由于激勵(lì)可以是獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源，響應(yīng)可以是電壓或電流，根據(jù)激勵(lì)和響應(yīng)所處的端口位置，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可分為如下六種：1）策動(dòng)點(diǎn)阻抗函數(shù)：H(s)=U1(s)/I1(s)2）策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納函數(shù)：H(s)=I1(s)/U1(s)3）轉(zhuǎn)移阻抗函數(shù)：H(s)=U2(s)/I1(s)4）轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)：H(s)=I2(s)/U1(s)5）轉(zhuǎn)移電壓比函數(shù)：H(s)=U2(s)/U1(s)6）轉(zhuǎn)移電流比函數(shù)：H(s)=I2(s)/I1(s)s域中的6種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)+U1(s)-I1(s)I2(s)N+U2(s)-圖（a）端口變量的參考方向例10-17

圖(a)、(b)分別表示了時(shí)域電路和對(duì)應(yīng)的零初始條件的運(yùn)算電路。其中E(s)為激勵(lì)(輸入電壓源)的象函數(shù),設(shè)響應(yīng)的象函數(shù)為I2(s)，求H(s)=I2(s)/E(s)。i2+e(t)-L1L2R1R2(a)時(shí)域電路I1(s)+E(s)-sL1sL2R1R2(b)運(yùn)算電路I2(s)解由運(yùn)算電路圖（b），設(shè)網(wǎng)孔I1(s）和I2（s），并列寫(xiě)網(wǎng)孔電流方程為：求某些網(wǎng)絡(luò)函數(shù)解得討論1：

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)：是一個(gè)與激勵(lì)大小無(wú)關(guān)的量！而是與構(gòu)成電路的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)、激勵(lì)的頻率s有關(guān)。I1(s)+E(s)-sL1sL2R1R2(b)運(yùn)算電路I2(s)續(xù)解補(bǔ)例1圖（a）所示RLC串聯(lián)電路，計(jì)算圖（b）中，網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=UR(s)/U(s)。I(s)+U(s)-sLR圖(b)運(yùn)算電路1/sC+UR(s)-+u(t)-L=1HR=1Ω圖(a)原電路C=1F+uR(t)-解：顯然，利用圖（b），可以求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為討論2：顯然，通常的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，是一個(gè)關(guān)于s的多項(xiàng)式，且為有理真分式。2、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)關(guān)系當(dāng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)，即e(t)=

(t)或E(s)=1時(shí)，則R(s)=H(s)E(s)=H(s)即：網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)（或反函數(shù)）就是沖激響應(yīng)！這個(gè)關(guān)系很明確也很有用。表明了若要求解一個(gè)電路系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，可以通過(guò)運(yùn)算電路，求解一個(gè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的方法獲得，這樣會(huì)比在時(shí)域電路中分析要簡(jiǎn)便。討論與說(shuō)明而在電路分析課程中，我們研究的范疇為：明確了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，然后給定激勵(lì)，分析電路的響應(yīng)，通過(guò)前面的分析和解，我們知道，采用運(yùn)算方法過(guò)程也十分簡(jiǎn)單。補(bǔ)例2已知某電路的單位沖激響應(yīng)為h(t)=3e-2tε(t)，輸入為單位階躍函數(shù)e(t)=ε(t),求零狀態(tài)響應(yīng)r(t)。解首先求得網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為輸入的象函數(shù)為經(jīng)反變換得例10-18圖（a）所示零狀態(tài)電路中L=0.2H，C=0.1F，R1=6Ω，R2=4Ω，us(t)=7e-2tV。求R2中的電流i2(t)、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)=I2(s)/Us(s)及電流i2單位沖激響應(yīng)。i2+us(t)-LR1R2圖(a)時(shí)域電路C解運(yùn)算電路如圖（b）所示，將各元件參數(shù)都換成象函數(shù)，列結(jié)點(diǎn)電壓方程I2(s)+-0.2s64圖(b)s域電路10/sUS(s)=U(s)0所以單位沖激響應(yīng)為電流i2(t)為續(xù)解1、s域的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)，是指電路在下列哪種響應(yīng)下的輸出象函數(shù)R(s）與輸入象函數(shù)E（s）的比？零輸入全響應(yīng)零狀態(tài)ABC提交過(guò)阻尼D單選題1分10.5.2網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)

電路分析中網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)一般而言都是有理真分式，其分子和分母是s的多項(xiàng)式，均可分解為因子形式。不妨設(shè)：其通常的表達(dá)式為 1、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)計(jì)算與零、極點(diǎn)分布圖式中：zi

(i=1,2,…,m)是N(s)=0的根，稱為H(s)的零點(diǎn)；pi

(i=1,2,…,n)是D(s)=0的根，稱為H(s)的極點(diǎn)；H0

為常數(shù)。H(s)的零、極點(diǎn)可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。1）網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)計(jì)算2）零、極點(diǎn)分布圖將這些零、極點(diǎn)標(biāo)注在s平面內(nèi)，平面中零點(diǎn)用“o”表示，極點(diǎn)用“x”表示，便得到H(s)的零、極點(diǎn)分布圖。例10-19，試?yán)L出零、極點(diǎn)分布圖。解1）計(jì)算零點(diǎn)、極點(diǎn)：得2個(gè)零點(diǎn)：z1=2,z2=3得4個(gè)極點(diǎn):p1、2=-1(二重),p3=-1+j2,p4=-1-j2某網(wǎng)絡(luò)函數(shù)2個(gè)零點(diǎn)：z1=2,z2=34個(gè)極點(diǎn)

p1、2=-1(二重),

p3=-1+j2,

p4=-1-j2。例10-19續(xù)解2）、繪出零、極點(diǎn)分布圖σ321-1-2jω-j2j2圖（a）s域零極點(diǎn)分布圖O2、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)關(guān)系由于網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與單位沖激響應(yīng)h(t)構(gòu)成拉普拉斯變換對(duì),

因此，從H(s)的零、極點(diǎn)的分布情況就可以預(yù)見(jiàn)沖激響應(yīng)的時(shí)域特性。

以H(s)僅具有一階極點(diǎn)函數(shù)為例來(lái)分析：經(jīng)部分分式展開(kāi)并取反變換，沖激響應(yīng)為：ki決定了時(shí)域響應(yīng)的幅值。極點(diǎn)p

i在s平面內(nèi)的分布決定了時(shí)域響應(yīng)的性質(zhì)。（2）式分析可知幾種典型的極點(diǎn)分布與時(shí)域響應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系（1）當(dāng)單極點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)（pi

=0），則：hi(t)為階躍函數(shù)；0σjω圖（a）s域單極點(diǎn)分布p1=0h1(t)t圖（b）時(shí)域?qū)?yīng)的沖激響應(yīng)k1預(yù)測(cè)時(shí)域響應(yīng)（2）當(dāng)極點(diǎn)位于負(fù)或正實(shí)軸上（pi<0或pi>0），則hi(t)0σjω圖（1）極點(diǎn)分布p3>0p2<0h2(t)t圖（2）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)k2h3(t)tk3圖（3）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)如圖（1）單極點(diǎn)p3如圖（1）中單極點(diǎn)p2（3）虛軸上的共軛極點(diǎn)（p4

=jω0和p5=-jω0成對(duì)出現(xiàn)），如圖（a）所示。h4,5(t)t圖（b）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)k4,50σjωω0-ω0圖（a）極點(diǎn)分布p4p5則其對(duì)應(yīng)的定性分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、時(shí)域原函數(shù)分別為（4）當(dāng)極點(diǎn)為左半平面內(nèi)的共軛極點(diǎn)(p6，7=-σ±jω,成對(duì)出現(xiàn)，其中σ

>0)時(shí)：0σjω-σ+jω0-σ-jω0圖（1）極點(diǎn)分布p6p7h(t)t圖（2）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)如圖（1）所示，兩成對(duì)出現(xiàn)共軛復(fù)根的極點(diǎn)，分布在左半平面。則其對(duì)應(yīng)的定性分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、時(shí)域原函數(shù)分別為（5）當(dāng)極點(diǎn)為右半平面內(nèi)的共軛極點(diǎn)（p8，9=σ±jω成對(duì)出現(xiàn)，其中σ

>0）時(shí)0σjωσ+jω0σ-jω0圖（1）極點(diǎn)分布p8p9h(t)t圖（2）對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)0如圖（1）所示，兩成對(duì)出現(xiàn)共軛復(fù)根的極點(diǎn)，分布在右半平面。則其對(duì)應(yīng)的定性分析網(wǎng)絡(luò)函數(shù)、時(shí)域原函數(shù)分別為圖10-18極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系極點(diǎn)分布與時(shí)域（沖激）響應(yīng)關(guān)系匯總圖討論H(s)在右半平面有任意階極點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)均隨時(shí)間增長(zhǎng)而增大，這種電路是不穩(wěn)定的。推敲

一下非沖激響應(yīng)時(shí)域的表達(dá)式：即E(s)≠1令D(s)=0可得極點(diǎn)，pi

(i=1,2,…,n),令Q(s)=0可得極點(diǎn)，pj(j=1,2,…,m),其中各極點(diǎn)均不相同。而電路的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)：對(duì)應(yīng)的時(shí)域響應(yīng)為:極點(diǎn)pi稱為自由頻率（或固有頻率）；引起的是自由響應(yīng)；pj是由激勵(lì)源的極點(diǎn),引起的稱為強(qiáng)迫響應(yīng)；系數(shù)ki和kj都與H(s)和E(s)有關(guān)。設(shè)已知象函數(shù)：例10-20圖(a）所示電路，解因?yàn)槔肏（s）時(shí)，僅能求出零狀態(tài)響應(yīng)，其象函數(shù)為：對(duì)應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)為全響應(yīng)＝零狀態(tài)響應(yīng)（UZS）＋零輸入響應(yīng)（UZI）+u1(t)-RC+u2(t)-圖(a）例10-20電路固有頻率續(xù)解全響應(yīng)為零輸入響應(yīng)為+u1(t)-RC+u2(t)-圖(a）原電路3、當(dāng)某網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為則其對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)為（）等幅振蕩過(guò)阻尼非振蕩衰減欠阻尼振蕩衰減臨界非振蕩衰減ABCD提交單選題1分4、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系？?jī)H與沖激響應(yīng)的幅值有關(guān)僅與沖激響應(yīng)的起始點(diǎn)有關(guān)與沖激響應(yīng)無(wú)關(guān)僅與沖激響應(yīng)函數(shù)中固有頻率有關(guān)。ABCD提交單選題1分5、網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)分布與沖激響應(yīng)的關(guān)系？ABCD提交與沖激響應(yīng)的幅值有關(guān)與沖激響應(yīng)的起始點(diǎn)有關(guān)與沖激響應(yīng)無(wú)關(guān)與沖激響應(yīng)函數(shù)中固有頻率有關(guān)。單選題1分6、動(dòng)態(tài)電路的全響應(yīng)，下列說(shuō)法不正確的是（）。全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)=階躍響應(yīng)+沖激響應(yīng)全響應(yīng)=強(qiáng)迫響應(yīng)+自由響應(yīng)ABCD提交單選題1分10.5.3網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點(diǎn)與頻率響應(yīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布不同，電路的頻率響應(yīng)也不同。又回到分析