2023-2024學(xué)年山東省棗莊市滕州市九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省棗莊市滕州市九年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：每題3分，共30分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來．每小題選對(duì)得3分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)均計(jì)零分．1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．3．如圖，某公園有一個(gè)入口，A、B、C三個(gè)出口，甲、乙兩人進(jìn)入這個(gè)公園，活動(dòng)后從同一個(gè)出口出來的概率是（）A． B． C． D．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（）A．3 B． C．3 D．5．若，則k的值為（）A． B．1 C．﹣1 D．6．已知點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC，BC，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．如果＝，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割 B．如果AC2＝AB?BC，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割 C．如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割，那么AC與AB的比叫做黃金比 D．0.618是黃金比的近似值7．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝﹣3x+b不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程bx2+x+2023＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1或2個(gè)8．中國(guó)結(jié)寓意團(tuán)圓、美滿，以獨(dú)特的東方神韻體現(xiàn)中國(guó)人民的智慧和深厚的文化底蘊(yùn)，小陶家有一個(gè)菱形中國(guó)結(jié)裝飾，測(cè)得BD＝12cm，AC＝16cm，直線EF⊥AB交兩對(duì)邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF的長(zhǎng)為（）?A．8cm B．10cm C． D．9．如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．二、填空題：每題3分，共18分，將答案填在題的橫線上．11．若＝＝（a≠c），則＝．12．如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長(zhǎng)為．13．若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為．14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為．15．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為．16．如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)問經(jīng)過秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似．三、解答題：共8小題，滿分72，解答應(yīng)寫出文字說明，說理過程或演算步驟．17．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（2）x2﹣4x+5＝0；（3）2x2+3x﹣4＝0；（4）4（x2﹣x）＝﹣1．18．6月5日是世界環(huán)境日，為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某校舉行了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，從全校學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，把結(jié)果劃分為4個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生共有名；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)本次競(jìng)賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有多少名？（4）在這次競(jìng)賽中，九年一班共有4人獲得了優(yōu)秀，4人中有兩名男同學(xué)，兩名女同學(xué)，班主任決定從這4人中隨機(jī)選出2人在班級(jí)為其他同學(xué)做培訓(xùn)，請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法，求所選2人恰好是一男一女的概率．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，3），B（0，5）．（1）畫出△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△OA1B1；（2）連接AA1，∠OAA1的度數(shù)為°；（3）以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)將△ABO縮小得到△A2B2O，畫出△A2B2O，直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．20．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)m，n恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．21．頭盔，是人們騎行時(shí)的“安全防護(hù)盾，生命守護(hù)神”，作為學(xué)生的我們，更要樹立安全第一的意識(shí)．某經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售150個(gè)，9月份銷售216個(gè)，且從7月份到9月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？22．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的長(zhǎng)度．23．如圖：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．（1）當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（3）試問：在AB上是否存在一點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．24．如圖，將矩形ABCD沿AF折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作EG∥CD交AF于點(diǎn)G，連接DG．（1）求證：四邊形EFDG是菱形；（2）求證：EG2＝AF?GF；（3）若AG＝6，EG＝2，求BE的長(zhǎng)．

參考答案一、選擇題：每題3分，共30分．在每小題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)選出來．每小題選對(duì)得3分，選錯(cuò)、不選或選出的答案超過一個(gè)均計(jì)零分．1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．【分析】直接利用比例的性質(zhì)，內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可得出答案．解：∵＝，∴ab＝6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．【分析】由DE∥BC，利用平行線分線段成比例，可得出＝，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝AD+BD，即可求出結(jié)論．解：∵DE∥BC，∴＝＝＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，牢記“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．3．如圖，某公園有一個(gè)入口，A、B、C三個(gè)出口，甲、乙兩人進(jìn)入這個(gè)公園，活動(dòng)后從同一個(gè)出口出來的概率是（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人進(jìn)入這個(gè)公園，活動(dòng)后從同一個(gè)出口出來的結(jié)果有3種，再由概率公式求解即可．解：畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人進(jìn)入這個(gè)公園，活動(dòng)后從同一個(gè)出口出來的結(jié)果有3種，∴甲、乙兩人進(jìn)入這個(gè)公園，活動(dòng)后從同一個(gè)出口出來的概率為＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．4．如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD，垂足為E，若BE＝EO，則AD的長(zhǎng)是（）A．3 B． C．3 D．【分析】由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得AB＝AO，則OA＝AB＝OB＝1，得BD＝2，然后由勾股定理即可求解．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，∴OA＝AB＝OB＝1，∴BD＝2，∴AD＝＝＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，求出BD＝2是解題的關(guān)鍵．5．若，則k的值為（）A． B．1 C．﹣1 D．【分析】首先根據(jù)條件，根據(jù)a+b+c＝0和a+b+c≠0，可得到k值．解：當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，a＝﹣（b+c），因而k＝＝＝﹣1；當(dāng)a+b+c≠0時(shí)，k＝＝．故k的值是﹣1或．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．已知點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC，BC，下列說法錯(cuò)誤的是（）A．如果＝，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割 B．如果AC2＝AB?BC，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割 C．如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割，那么AC與AB的比叫做黃金比 D．0.618是黃金比的近似值【分析】若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果＝，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比；根據(jù)黃金分割的定義，分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，問題即可得解．解：根據(jù)黃金分割的定義可知A、B、D正確．C、如果線段AB被點(diǎn)C黃金分割（AC＞BC），那么AC與AB的比叫做黃金比，所以C錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于概念理解類題目，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割的定義．7．在平面直角坐標(biāo)系中，若直線y＝﹣3x+b不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于x的方程bx2+x+2023＝0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1或2個(gè)【分析】由直線解析式求得b≤0，然后確定△的符號(hào)即可．解：∵直線y＝﹣3x+b不經(jīng)過第一象限，∴b≤0，當(dāng)b＝0時(shí)，方程bx2+x+2023＝0是一次方程，有一個(gè)根，當(dāng)b＜0時(shí)，∵關(guān)于x的方程bx2+x+2023＝0，∴Δ＝12﹣4b×2023＞0，∴關(guān)于x的方程bx2+x+2023＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與Δ＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．8．中國(guó)結(jié)寓意團(tuán)圓、美滿，以獨(dú)特的東方神韻體現(xiàn)中國(guó)人民的智慧和深厚的文化底蘊(yùn)，小陶家有一個(gè)菱形中國(guó)結(jié)裝飾，測(cè)得BD＝12cm，AC＝16cm，直線EF⊥AB交兩對(duì)邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，則EF的長(zhǎng)為（）?A．8cm B．10cm C． D．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，根據(jù)勾股定理得到AB＝10（cm），根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝8cm，BO＝BD＝6cm，∴AB＝＝10（cm），∵S菱形ABCD＝AC?BD＝AB?EF，∴×16×12＝10EF，∴EF＝，故EF的長(zhǎng)為cm，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AB＝DC D．AB⊥DC【分析】先由三角形中位線定理證四邊形EGFH是平行四邊形，再證∠GFH＝90°，即可得出結(jié)論．解：若四邊形EGFH為矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是AB⊥DC，理由如下：∵E，G分別是AD，BD的中點(diǎn)，∴EG是△DAB的中位線，∴EG＝AB，EG∥AB，同理，F(xiàn)H＝AB，F(xiàn)H∥AB，GF∥DC，∴EG＝FH，EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵AB⊥DC，GF∥DC，F(xiàn)H∥AB，∴GF⊥FH，∴∠GFH＝90°，∴平行四邊形EGFH是矩形，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了中點(diǎn)四邊形的性質(zhì)、矩形的判定以及三角形中位線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AF，DE相交于點(diǎn)M，G為BC上一點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)．若BG＝3，CG＝1，則線段MN的長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．【分析】根據(jù)條件正方形邊長(zhǎng)為4，由勾股定理求出線段DG長(zhǎng)，利用中位線得到MN長(zhǎng)即可．解：連接DG，EF，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴四邊形AEFD是矩形，∴M是ED的中點(diǎn)，在正方形ABCD中，BG＝3，CG＝1，∴BC＝DC＝4，在Rt△DGC中，由勾股定理得，DG＝＝＝，在三角形EDG中，M是ED的中點(diǎn)，N是EG的中點(diǎn)，∴MN是三角形EDG的中位線，∴MN＝DG＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，構(gòu)造三角形是破解本題的關(guān)鍵．二、填空題：每題3分，共18分，將答案填在題的橫線上．11．若＝＝（a≠c），則＝．【分析】根據(jù)等比的性質(zhì)即可求解．解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例線段，關(guān)鍵是熟練掌握比例的等比的性質(zhì)．12．如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，則AC的長(zhǎng)為．【分析】連接BD交AC于點(diǎn)O，由菱形的性質(zhì)得OA＝OC，∠BAO＝30°，AC⊥BD，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得OB＝，然后由勾股定理求出OA的長(zhǎng)，即可解決問題．解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴OA＝OC，∠BAO＝∠DAB＝30°，AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AB＝，∴OA＝＝＝，∴AC＝2OA＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．若x＝3是關(guān)于x的方程ax2﹣bx＝6的解，則2023﹣6a+2b的值為2019．【分析】把x＝3代入方程求出3a﹣b的值，代入原式計(jì)算即可求出值．解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，則原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．故答案為：2019．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．14．如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（672，675）．【分析】根據(jù)當(dāng)A1、A2、A3的坐標(biāo)的變化情況，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．解：∵A1（﹣2，1），A4（﹣1，2），A7（0，3），A10（1，4），…，∴A3n﹣2（n﹣3，n），∵2023＝3×675﹣2，∴A2023的坐標(biāo)為（672，675），故答案為：（672，675）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換、點(diǎn)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形、總結(jié)出點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律．15．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，若過P點(diǎn)作AB的垂線交AB于E點(diǎn)，過P點(diǎn)作AD的垂線交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)度最小為．【分析】連接AP、EF，依據(jù)PE⊥AB，PF⊥AD，∠A＝90°，可得四邊形AEPF為矩形，借助矩形的對(duì)角線相等，將求EF的最小值轉(zhuǎn)化成AP的最小值，再結(jié)合垂線段最短，將問題轉(zhuǎn)化成求Rt△BAD斜邊上的高，利用面積法即可得解．解：如圖，連接AP、EF，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴∠AEP＝∠AFP＝90°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°．∴四邊形AEPF為矩形．∴AP＝EF．∴要求EF的最小值就是要求AP的最小值．∵點(diǎn)P從B點(diǎn)沿著BD往D點(diǎn)移動(dòng)，∴當(dāng)AP⊥BD時(shí)，AP取最小值．下面求此時(shí)AP的值，在Rt△BAD中，∵∠BAD＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10．∵S△ABD＝AB?AD＝AP?BD，∴AP＝＝＝．∴EF的長(zhǎng)度最小為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、垂線段最短及面積法求直角三角形斜邊上的高，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．16．如圖，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)問經(jīng)過1或2.5秒時(shí)，△PBQ與△ABC相似．【分析】設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ與△ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可．解：設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ與△ABC相似，則有AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t，當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，有BP：AB＝BQ：BC，即（10﹣2t）：10＝4t：20，解得t＝2.5（s）當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，有BQ：AB＝BP：BC，即4t：10＝（10﹣2t）：20，解得t＝1．所以，經(jīng)過2.5s或1s時(shí)，△PBQ與△ABC相似．解法二：設(shè)ts后，△PBQ與△ABC相似，則有，AP＝2t，BQ＝4t，BP＝10﹣2t分兩種情況：（1）當(dāng)BP與AB對(duì)應(yīng)時(shí)，有，即，解得t＝2.5s（2）當(dāng)BP與BC對(duì)應(yīng)時(shí)，有，即，解得t＝1s所以經(jīng)過1s或2.5s時(shí)，以P、B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，故答案為：1或2.5【點(diǎn)評(píng)】此題考查相似三角形的判定，本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學(xué)生平時(shí)學(xué)過的知識(shí)要會(huì)融合起來．三、解答題：共8小題，滿分72，解答應(yīng)寫出文字說明，說理過程或演算步驟．17．用適當(dāng)方法解下列方程：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3）；（2）x2﹣4x+5＝0；（3）2x2+3x﹣4＝0；（4）4（x2﹣x）＝﹣1．【分析】（1）先移項(xiàng)，然后提取公因式將原方程轉(zhuǎn)化為（x﹣3）（5x﹣2）＝0，進(jìn)而得x﹣3＝0或5x﹣2＝0，然后解這兩個(gè)一元一次方程即可得出原方程的解；（2）利用求根公式法，先求出根的判別式Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，據(jù)此得原方程沒有實(shí)數(shù)根；（3）利用求根公式法，先求出根的判別式Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41＞0，然后代入求根公式即可得出原方程的解；（4）先將原方程化為一般式4x2﹣4x+1＝0，再進(jìn)行因式分解得（2x﹣1）2＝0，據(jù)此可得原方程的解．解：（1）5x（x﹣3）＝2（x﹣3），移項(xiàng)得：5x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（5x﹣2）＝0，∴x﹣3＝0或5x﹣2＝0，由x﹣3＝0，解得：x＝3，由5x﹣2＝0，解得：x＝0.4，∴原方程的解為：x1＝3，x2＝0.4．（2）x2﹣4x+5＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝5，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，∴原方程沒有實(shí)根．（3）2x2+3x﹣4＝0，a＝2，b＝3，c＝﹣4，Δ＝32﹣4×2×（﹣4）＝41，∴x＝＝，∴原方程的解為：x1＝，x2＝；（4）4（x2﹣x）＝﹣1，將原方程轉(zhuǎn)化為一般式得：4x2﹣4x+1＝0，∴（2x﹣1）2＝0，∴2x﹣1＝0，解得：x＝，∴原方程的解為：x1＝x2＝【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握因式分解法、求根公式法解一元二次方程的方法和步驟是解決問題的關(guān)鍵．18．6月5日是世界環(huán)境日，為提高學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，某校舉行了環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，從全校學(xué)生的成績(jī)中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析，把結(jié)果劃分為4個(gè)等級(jí)：A（優(yōu)秀）；B（良好）；C（中）；D（合格）．并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖兩幅統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問題：（1）本次抽樣調(diào)查的學(xué)生共有60名；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）該校共有1200名學(xué)生，請(qǐng)你估計(jì)本次競(jìng)賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有多少名？（4）在這次競(jìng)賽中，九年一班共有4人獲得了優(yōu)秀，4人中有兩名男同學(xué)，兩名女同學(xué)，班主任決定從這4人中隨機(jī)選出2人在班級(jí)為其他同學(xué)做培訓(xùn)，請(qǐng)你用列表法或畫樹狀圖法，求所選2人恰好是一男一女的概率．【分析】（1）由優(yōu)秀的人數(shù)除以所占百分比即可；（2）求出C合格的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）由該校共有學(xué)生人數(shù)乘以“良好”以上的學(xué)生所占的比例即可；（4）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中被選中的兩人恰好是一男一女的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】（1）調(diào)查的學(xué)生共有＝＝60（名）；故答案為：60；（2）C合格的人數(shù)＝60﹣24﹣18﹣3＝15（名），（3）1200×＝480（名），答：估計(jì)本次競(jìng)賽獲得B等級(jí)的學(xué)生有480名；（4）畫樹狀圖如下：∴一共有12中等可能的情況，其中一男一女的情況有8種，∴所選2人恰好是一男一女的概率為＝．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時(shí)要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，3），B（0，5）．（1）畫出△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△OA1B1；（2）連接AA1，∠OAA1的度數(shù)為45°；（3）以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，在第一象限內(nèi)將△ABO縮小得到△A2B2O，畫出△A2B2O，直接寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo)．【分析】（1）將點(diǎn)A、B分別繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到其對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)O首尾順次連接即可得出答案；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)位似變換的概念作出點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再與點(diǎn)O首尾順次連接即可．解：（1）如圖，△OA1B1即為所求；（2）∵OA＝OA1，且∠AOA1＝90°，∴∠OAA1＝45°；故答案為：45；（3）如圖，△OA2B2即為所求，A2（3，）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查作圖—旋轉(zhuǎn)變換與位似變換，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換與位似變換的定義與性質(zhì)，并據(jù)此得出變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)．20．已知關(guān)于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求證：k取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)m，n恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】（1）計(jì)算其判別式，得出判別式不為負(fù)數(shù)即可；（2）當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為腰時(shí)，則可知方程有一個(gè)根為4，代入可求得k的值，則可求得方程的另一根，可求得周長(zhǎng)；當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為底時(shí)，可知方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴無論k取何值，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為腰時(shí)，則可知方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根為4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程為x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分別為2、4，∴△ABC的周長(zhǎng)為10；當(dāng)邊長(zhǎng)為4的邊為底時(shí)，則m＝n，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程為x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此時(shí)2+2＝4，不符合三角形的三邊關(guān)系，舍去；綜上可知△ABC的周長(zhǎng)為10．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．21．頭盔，是人們騎行時(shí)的“安全防護(hù)盾，生命守護(hù)神”，作為學(xué)生的我們，更要樹立安全第一的意識(shí)．某經(jīng)銷商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔7月份到9月份的銷量，該品牌頭盔7月份銷售150個(gè)，9月份銷售216個(gè)，且從7月份到9月份銷售量的月增長(zhǎng)率相同．（1）求該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率；（2）若此種頭盔的進(jìn)價(jià)為30元/個(gè)，測(cè)算在市場(chǎng)中，當(dāng)售價(jià)為40元/個(gè)時(shí)，月銷售量為600個(gè)，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元/個(gè)，則月銷售量將減少5個(gè)，為使月銷售利潤(rùn)達(dá)到10000元，而且盡可能讓顧客得到實(shí)惠，則該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少元/個(gè)？【分析】（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該品牌頭盔7月份及9月份的月銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)月銷售利潤(rùn)＝每個(gè)頭盔的利潤(rùn)×月銷售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．解：（1）設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：150（1+x）2＝216，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該品牌頭盔銷售量的月增長(zhǎng)率為20%．（2）設(shè)該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)為y元，依題意，得：（y﹣30）（600﹣×5）＝10000，整理，得：y2﹣130y+4000＝0，解得：y1＝80（不合題意，舍去），y2＝50，答：該品牌頭盔的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為50元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的長(zhǎng)度．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC且AD＝BC，等量代換得到BC＝EF，推出四邊形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得AD＝AB＝BC＝10，由勾股定理求出AE＝8，AC＝4．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE＝，在Rt△AEC中，AC＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．23．如圖：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P點(diǎn)在AC上（與A、C不重合），Q在BC上．（1）當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)△PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng)；（3）試問：在AB上是否存在一點(diǎn)M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng)．【分析】（1）由于PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，△CPQ與△CAB的面積比為1：2，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求出CP的長(zhǎng)；（2）由于△PQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可用CP表示出PQ和CQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可表示出AP、BQ的長(zhǎng)．根據(jù)△CPQ和四邊形ABQP的周長(zhǎng)相等，可將相關(guān)的各邊相加，即可求出CP的長(zhǎng)；（3）因?yàn)椴荒艽_定哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分類討論．①當(dāng)∠MPQ＝90°，且PM＝PQ時(shí)．因?yàn)椤鰿PQ∽△CAB，根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)的比等于高的比，可求出PQ的值；②∠PQM＝90°時(shí)與①相同；③當(dāng)∠PMQ＝90°，且PM＝MQ時(shí)，過M作ME⊥PQ，則ME＝PQ，根據(jù)相似三角形邊長(zhǎng)的比等于高的比，可求出PQ的值．解：（1）∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝S四