2022-2023學年云南省梁河縣第一中學高三第二學期學習能力診斷數學試題

2022-2023學年云南省梁河縣第一中學高三第二學期學習能力診斷數學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3,請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.某人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心為一個焦點的橢圓，其軌道的離心率為％設地球半徑為R,該衛(wèi)星近地點離

地面的距離為，則該衛(wèi)星遠地點離地面的距離為（）

l+e2e八l+ee

A.r+RB.---r+----R

1-e1-e1-e1-e

1-e2e_1-ee八

C.——r+——RD.——r+——R

l+e1+el+el+e

2.祖瞄原理：“惠勢既同，則積不容異”.意思是說：兩個同高的幾何體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.設A、

3為兩個同高的幾何體，P：A、B的體積不相等，q：A、3在等高處的截面積不恒相等.根據祖瞄原理可知，P是q

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知函數則/[/（一2）]=（）

A.1B.2C.3D.4

[2'-gO.'(1Y

4.已知/(%)=,八，則//log,-=()

-x,x<0LI3〃

22

A.2B.-C.——D.3

33

5.已知加，"是兩條不重合的直線，見夕是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若/“a,mp,n//a,n//(3,則a(3

B.若加〃〃，mVa,nLp,則a0

C.若加_L〃，"?ua,nu/3,則aJ?4

D.若加_L〃，ma,nL(3,則

6.設向量a,萬滿足同=2,W=l,a"）=60,則卜+仍|的取值范圍是

A.［四,+<?）B.卜瓦+8）

7.已知集合入7日川丁+產=小^二人兒切丁=？'｝,則AB元素個數為（）

A.1B.2C.3D.4

8.某醫(yī)院擬派2名內科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護士共8人組成兩個醫(yī)療分隊，平均分到甲、乙兩個村進行義務巡

診，其中每個分隊都必須有內科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護士，則不同的分配方案有

A.72種B.36種C.24種D.18種

9.已知平面向量1=（4,2），力=（x,3），a//b'則實數》的值等于（）

33

A.6B.1C.—D.

22

10.設機，〃均為非零的平面向量，則“存在負數;I,使得加=力?”是“〃??"<（）”的

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.已知i是虛數單位，則手+二?（）

A.7+=二B.C.D.：一二

JiVJ?i￥J

12.阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個

22

“圓柱容球'’的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現“圓柱內切球的體積是圓柱體積的彳，且球的表面積也是圓柱表面積的彳”

33

這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為24%,則該圓柱的內切球體積為（）

4，,1632

A.一兀B.167rC.—兀D.—兀

333

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知復數z=（i—2）2（i為虛數單位），貝!h的共物復數是,回=.

7

14.設命題〃：3x0e/?,2%+2f<2，則T：.

15.在△ABC中，ZBAC=60,為NBAC的角平分線，且AO=（AC+（AB,若AB=2,貝!|8C=.

3

16.已知｛4｝為等比數列，S“是它的前〃項和.若%%=2%,且％與2%的等差中項為1,則Ss=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠

鏡.使用三年來，已發(fā)現132顆優(yōu)質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現的脈沖星，脈沖星是上世紀60年

代天文學的四大發(fā)現之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）

是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.765735秒.某-天文研究機構觀測并統計了93顆已被確認為新發(fā)現的脈

沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.

（1）在93顆新發(fā)現的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？

（2）根據頻率分布直方圖，求新發(fā)現脈沖星自轉周期的平均值.

、x=tcosa

18.（12分）在平面直角坐標系xOy中，點Pz（0,—1）,直線/的參數方程為｛,,。為參數），以坐標原點為

y=—l+tsina

極點，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為夕+Qcos26=8si〃e.

（1）求曲線。的直角坐標方程；

（2）若直線/與曲線。相交于不同的兩點A民用是線段的中點，當1PM=時，求5加￡的值.

19.（12分）心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定

點的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標系Qr中，方程。=。（1-sin。）（a>0）表示的曲線G就是一條心形

線，如圖，以極軸Qr所在的直線為r軸，極點。為坐標原點的直角坐標系xOy中.已知曲線G的參數方程為

x=l+瘋

,當a為參數）.

V=-----\-t

13

（1）求曲線的極坐標方程;

（2）若曲線G與C?相交于A、。、B三點,求線段AB的長.

X=1+COS(P

20.(12分)在平面直角坐標系“Oy中，曲線C的參數方程為.(。為參數)，以坐標原點為極點，x軸

y=sm夕

的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為夕sin=28.

(1)求曲線C的極坐標方程和直線/的直角坐標方程；

(2)若射線6=a[o<a<g]與曲線C交于點A(不同于極點O),與直線/交于點B,求盟J的最大值.

I2JI(JD\

21.(12分)已知圓C:(龍—2)2+(y—3)2=4外有一點(4,-1),過點P作直線/.

(1)當直線/與圓C相切時，求直線/的方程；

(2)當直線I的傾斜角為135。時，求直線/被圓C所截得的弦長.

22.(10分)已知函數/(*)=公3+區(qū)2,當％=1時，有極大值3；

(1)求。，6的值；

(2)求函數“X)的極小值及單調區(qū)間.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由題意畫出圖形，結合橢圓的定義，結合橢圓的離心率，求出橢圓的長半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠地點離地面的

距離.

【詳解】

橢圓的離心率：e=-G(0,l),(c為半焦距;a為長半軸)，

設衛(wèi)星近地點，遠地點離地面距離分別為r,n,如圖:

r+R(r+R)e

所以a

1-e1-e

r+Re(r+R)八1+e2e_

n-a+c-R-------+------------R=------r+------R

1-e1-e1-e1-e

故選：A

【點睛】

本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長半軸的求法，是解題的關鍵，屬于中檔題.

2、A

【解析】

由題意分別判斷命題的充分性與必要性，可得答案.

【詳解】

解：由題意，若A、B的體積不相等，則A、8在等高處的截面積不恒相等，充分性成立；反之，A、B在等高處的

截面積不恒相等，但A、8的體積可能相等，例如A是一個正放的正四面體，B一個倒放的正四面體，必要性不成立,

所以P是4的充分不必要條件,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充分條件、必要條件的判定，意在考查學生的邏輯推理能力.

3、C

【解析】

結合分段函數的解析式冼求出/(-2),進而可求出/[/(-2)].

【詳解】

由題意可得則〃/(—

/(-2)=32=9,2)]=/(9)=log2(9-l)=3.

故選:C.

【點睛】

本題考查了求函數的值，考查了分段函數的性質，考查運算求解能力，屬于基礎題.

4、A

【解析】

利用分段函數的性質逐步求解即可得答案.

【詳解】

log21<0,A/(log21)=-log21=log23>0；

???加(唱)]=/(噫3)=3-1=2；

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數值的求法，考查對數的運算和對數函數的性質，是基礎題，解題時注意函數性質的合理應用.

5、B

【解析】

根據空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.

【詳解】

A選項，若加a,m(3,n//a,B，則。，或a與夕相交；故A錯；

B選項，若加〃“，,則〃J_a,又夕是兩個不重合的平面，則口￡,故B正確；

C選項，若〃z_L〃，mua,則"ua或"〃0或〃與a相交，又nu/3,%夕是兩個不重合的平面，則a，或a

與￡相交；故C錯；

D選項，若帆_L〃，ma,則〃ua或〃〃&或〃與a相交，又nL/3,a,夕是兩個不重合的平面，則。，或a與

P相交；故D錯；

故選B

【點睛】

本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于?？碱}型.

6、B

【解析】

由模長公式求解即可.

【詳解】

卜+回=yj(a+tby=yja2+2a-bt+t2b2=,4+2r+產=J(r++3>百，

當。=-1時取等號，所以本題答案為B.

【點睛】

本題考查向量的數量積，考查模長公式，準確計算是關鍵，是基礎題.

7、B

【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.

【詳解】

由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合8表示函數y=2、的圖象上的點，作出兩集合所表示的

點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點8,所以兩個集合有兩個公共元素，所以A8元素個數

為2,

故選：B.

【點睛】

本題考查集合的交集運算，關鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數形結合的思想，屬于基礎題.

8、B

【解析】

根據條件2名內科醫(yī)生，每個村一名，3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，則分1名外科，2名護士和2名外科

醫(yī)生和1名護土，根據排列組合進行計算即可.

【詳解】

2名內科醫(yī)生，每個村一名，有2種方法，

3名外科醫(yī)生和3名護士，平均分成兩組，要求外科醫(yī)生和護士都有，則分1名外科，2名護士和2名外科醫(yī)生和1

名護士，

若甲村有1外科,2名護士，則有為」=*；;=,,其余的分到乙村，

若甲村有2外科,1名護士，則有二？二=：X：=J其余的分到乙村，

則總共的分配方案為2x(9+9)=2xl8=36種,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了分組分配問題，解決這類問題的關鍵是先分組再分配，屬于?？碱}型.

9、A

【解析】

根據向量平行的坐標表示即可求解.

【詳解】

Qa=(4,2),Z?=(x,3)'a!Ib'

二.4x3=2x,

即x=6,

故選：A

【點睛】

本題主要考查了向量平行的坐標運算，屬于容易題.

10、B

【解析】

根據充分條件、必要條件的定義進行分析、判斷后可得結論.

【詳解】

因為“，〃均為非零的平面向量，存在負數4,使得〃2=力1,

所以向量〃2,〃共線且方向相反，

所以加?“<(),即充分性成立；

反之，當向量相，"的夾角為鈍角時，滿足加?“<(),但此時加，〃不共線且反向，所以必要性不成立.

所以“存在負數4,使得加=4〃”是“mn<0”的充分不必要條件.

故選B.

【點睛】

判斷P是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件P能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件P，定義法

是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時注意選擇恰當的方法判斷命題是否正確.

11、D

【解析】

利用復數的運算法則即可化簡得出結果

【詳解】

Jtl-.二一二(/一二)2-3)_二一二；

~Z~^7Tz'=~~~+(2+Zi)(J-Z)="1T+-

Z131

=T二十/??M?二=：一二二I

故選二

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，屬于基礎題。

12、D

【解析】

設圓柱的底面半徑為J則其母線長為/=2八由圓柱的表面積求出J代入圓柱的體積公式求出其體積，結合題中的結論

即可求出該圓柱的內切球體積.

【詳解】

設圓柱的底面半徑為廣,則其母線長為1=2r,

因為圓柱的表面積公式為S圓柱表=2%/+2不力，

所以2〃/+2〃rx2r=24%,解得r=2,

因為圓柱的體積公式為％柱=S〃=4戶2,

所以%柱=?*2乂23=16萬，

2

由題知，圓柱內切球的體積是圓柱體積的］,

所以所求圓柱內切球的體積為

1/2..2321

故選:D

【點睛】

本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;

屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、3+4i5

【解析】

直接利用復數的乘法運算化簡，從而得到復數z的共趣復數和z的模.

【詳解】

22

...Z=(Z-2)=Z-4/+4=3-4/,則復數二的共物復數為3+4i,且忖=用不行=5.

故答案為：3+4/；5.

【點睛】

本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的基本概念，是基礎的計算題.

14、VxeR,2X+2'~X>2

【解析】

存在符號改任意符號，結論變相反.

【詳解】

命題p是特稱命題，則r7為全稱命題，

故將“天。eR”改為“VxeR”，將“2M+<2”改為“2*+2I-X>2”，

故力：VxeH,2V+2I-J：>2.

故答案為：Vxe/?,2'+2'-x>2.

【點睛】

本題考查全(特)稱命題.對全(特)稱命題進行否定的方法：

(1)改寫量詞：全稱量詞改寫為存在量詞，存在量詞改寫為全稱量詞；

(2)否定結論：對于一般命題的否定只需直接否定結論即可.

15、2百

【解析】

由AO=：AC+qA8,求出CD長度關系，利用角平分線以及面積關系，求出AC邊，再由余弦定理，即可求解.

【詳解】

AD=^AC+^AB,^^AD-AC)=^{AB-AD),

CD=3DB,:.CD=3DB,

S3CD；ACADsinNC4QAC

$ADBBD-AB-ADsinZBADAB2

2

AC=6,BC-=AB2+AC2-2AB-AC-cosABAC=40-2x6=28,

BC=2近.

故答案為：2，7.

【點睛】

本題考查共線向量的應用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計算求解能力，屬于中檔題.

16、-11

【解析】

設等比數列｛4｝的公比為q,根據題意求出能和%的值，進而可求得4和q的值，利用等比數列求和公式可求得演的

值.

【詳解】

由等比數列的性質可得2q=a2a3=44，：?4=2,

33311

由于。4與2%的等差中項為a，則4+2%=5，則2%=/-44=一］，?'?%=-1，

^~:.q=~—,?|=—7=-16,

%8”2/

因此6(1))-i6xm

因此，S＜二』一~—=-----!=一~-——=1=-11-

…14

2

故答案為：一11.

【點睛】

本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)79顆；(2)5.5秒.

【解析】

(1)利用各小矩形的面積和為1可得。，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數;

(2)平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.

【詳解】

(1)第一到第六組的頻率依次為

0.1,0.2,0.3,0.2,2a,0.05,其和為1

所以24z—1—(0-1+0.2+0.3+0.2+0.05),a-0,0751

所以，自轉周期在2至10秒的大約有93x(1-0.15)=79.05^79(顆).

(2)新發(fā)現的脈沖星自轉周期平均值為

0.1x1+0.2x3+0.3x5+0.2x7+0.15x9+0.05x11=5.5(秒).

故新發(fā)現的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數的估計值等知識，是一道容易題.

24

18、(1)x2=；(2)y.

【解析】

(1)在已知極坐標方程兩邊同時乘以p后，利用pcos9=x,psinO=j,口2=》2+,2可得曲線。的直角坐標方程；

(2)聯立直線/的參數方程與x2=4y由韋達定理以及參數的幾何意義和弦長公式可得弦長與已知弦長相等可解得.

【詳解】

解：(1)在p+pcos20=8sinO中兩邊同時乘以p得p2+p2(cos2?-sin20)=8psin0,

x2+j2+x2-J2=8J,即=4y,

所以曲線C的直角坐標方程為：x2=4y.

(2)聯立直線/的參數方程與好=句得：(cosa)2?-4(sina)￡+4=0,

設A,5兩點對應的參數分別為公必

由A=16sin2a-16cos2a>0,得sina>也，

…22sin￡_40

t\+t2=---,—,由\PM\=

2

COS-Qcosci9

45

所以20sin2(x+9sina-20=0,解得sina=—或sina=-----(舍去),

54

所以sina=—.

【點睛】

本題考查了簡單曲線的極坐標方程，屬中檔題.

7T

19、(1)9=一(peR)；(2)2a.

【解析】

(1)化簡得到直線方程為y=*x,再利用極坐標公式計算得到答案.

3a7)

(2)聯立方程計算得到A,計算得到答案.

2'6

【詳解】

X=1+6t

(1)由＜消/得，x-0y=0即y=——X?

G是過原點且傾斜角為5的直線，...02的極坐標方程為。=二(0CR).

a

e^-

(2)由16得,

p=a(l—sin，)

6

3a

p=w

由6得,：.\AB\^-+—^2a.

。上22

p=a(l-sin。)

6

【點睛】

本題考查了參數方程，極坐標方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.

1+

20、(1)C,；Q=2COS。，直線/：x+y=4；(2)^.

【解析】

X=OCOS0

(1)由消參法把參數方程化為普通方程，再由公式《.八進行直角坐標方程與極坐標方程的互化；

y=psin0

\OA

(2)由極徑的定義可直接把6=。代入曲線C和直線/的極坐標方程，求出極徑8,22,把比值舄化為夕的三角函

\08\

數，從而可得最大值、

【詳解】

00OO[x=pcosd.

(1)消去參數?？傻们€C的普通方程是(x-l)2+y2=],即f+y2-2x=o,代入〈y八得夕2=2pcos6,

y-夕sin”

即夕=2cos6,J曲線C的極坐標方程是夕=2cos，；

由「sin(6+C)=20,化為直角坐標方程為x+y=4.

4

272

(2)設(自,。),3(2,,a),貝!!g=2cosa,Pz=——

sin(6z+—)

|。4|_月_cosasin(a+Rsinacosa+cos2a1.八1—10.?〃1

--------------------二—sin2a+—cos2a+—=——sm(2a+—)+一