集合的含義與表示

集合的含義與表示2023/11/151問題:體育課的時(shí)候，當(dāng)老師一聲口令：“高一（6）班集合”，高一（6）班的同學(xué)們就會(huì)從四面八方聚集到體育老師身邊來，不是高一（6）班的同學(xué)就會(huì)自動(dòng)走開.2023/11/152鳥群羊群魚群集合同一類對(duì)象匯集在一起2023/11/153“集合”是日常生活中的一個(gè)常用詞，現(xiàn)代漢語解釋為:同一類對(duì)象匯集在一起，也就是許多的人或物聚在一起.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，集合是一種簡潔、高雅的數(shù)學(xué)語言，我們?cè)鯓永斫鈹?shù)學(xué)中的“集合”？2023/11/154

定義把一些元素組成的總體一般地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素.叫做集合.2023/11/155

考察下列問題：（1）1～20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)；（2）絕對(duì)值小于3的整數(shù)；思考：上述每個(gè)問題都由若干個(gè)對(duì)象組成，每組對(duì)象的全體分別形成一個(gè)集合，集合中的每個(gè)對(duì)象都稱為元素.上述2個(gè)集合中的元素分別是什么？知識(shí)探究：集合的概念2023/11/156知識(shí)探究：集合元素的特性任意一組對(duì)象是否都能組成一個(gè)集合？集合中的元素有什么特征？思考1：某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個(gè)集合？提示：集合中的元素必須是確定的，即確定性.思考2：在一個(gè)給定的集合中能否有相同的元素？提示：集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的，即互異性.思考3：某班的全體同學(xué)組成一個(gè)集合，調(diào)整座位后這個(gè)集合有沒有變化？提示：集合中的元素是沒有順序的，即無序性.2023/11/157集合中元素具的有幾個(gè)特征⑴確定性－因集合是由一些元素組成的總體，當(dāng)然，我們所說的“一些元素”是確定的．⑵互異性－即集合中的元素是互不相同的，如果出現(xiàn)了兩個(gè)(或幾個(gè))相同的元素就只能算一個(gè)，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．⑶無序性－即集合中的元素沒有次序之分．如：{1，2}，{2，1}為同一集合.只要構(gòu)成集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個(gè)集合是相等的2023/11/158①數(shù)1，3，5，7．②滿足3x－2＞x＋3的全體實(shí)數(shù)．③到角兩邊距離之和相等的點(diǎn)．④所有直角三角形．⑤高一（6）班全體同學(xué)．

數(shù)數(shù)點(diǎn)形人集合元素的特征:2023/11/159練習(xí).下列指定的對(duì)象，能構(gòu)成一個(gè)集合的是①很小的數(shù)②不超過30的非負(fù)實(shí)數(shù)③直角坐標(biāo)平面的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)④

的近似值⑤高一年級(jí)優(yōu)秀的學(xué)生⑥所有無理數(shù)⑦大于2的整數(shù)⑧正三角形全體(

)2023/11/15103.已知集合S={a，b，c}中的三個(gè)元素可構(gòu)成△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（）A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰三角形D解析：根據(jù)元素的互異性可知，a≠b，a≠c，b≠c。m≠02023/11/1511

若a不是集合A的元素，

則a不屬于集合A，記作a

A.集合常用大寫字母A，B，C，D，……表示，元素常用小寫字母a，b，c，d，……表示。若a是集合A的元素，記作a∈A；就說a屬于集合A，元素與集合的表示及之間的關(guān)系例如:A={1，2，3，4，5}則3∈A，2023/11/15126.設(shè)集合M={平行四邊形}，p表示某個(gè)矩形，q表示某個(gè)梯形，則p___M,q_____M.2023/11/1513常用的數(shù)集及其記法一些常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作_______;正整數(shù)集記作______________;

整數(shù)集記作_______;有理數(shù)集記作______;

實(shí)數(shù)集記作________;NN*或N+ZQR注意：自然數(shù)集包括02023/11/151432023/11/15152.已知集合A含有三個(gè)元素2,4,6且當(dāng)a∈A，有6-a∈A，則a為（）A.2B.2或4C.4D.0B解析：當(dāng)a=2時(shí)，6-a=4∈A;當(dāng)a=4時(shí)，6-a=2∈A；當(dāng)a=6時(shí)，6-a=0?A,∴a=2或a=4.2023/11/1516【例2】已知集合A是由三個(gè)元素m，m2＋1,1組成且2∈A，求m.解：∵2∈A，則m＝2或m2＋1＝2，∴m＝2或m＝±1，當(dāng)m＝2時(shí)，集合中的元素為2,5,1，符合集合中元素的互異性．當(dāng)m＝1時(shí)，不符合元素的互異性，舍去．當(dāng)m＝－1時(shí)，集合中的元素為－1,2,1，符合集合中元素的互異性．綜上，可知m＝2或m＝－1.2023/11/1517知識(shí)探究：集合的表示方法觀察下列集合：(1)中國古代四大發(fā)明組成的集合；(2)20的所有正因數(shù)組成的集合；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有正偶數(shù)組成的集合．思考1：上述四個(gè)集合中的元素能分別一一列舉出來嗎？提示：(1)(2)中的元素可以一一列舉出來．(3)(4)中的元素不能一一列舉，因?yàn)樵赜袩o窮多個(gè).2023/11/1518*有限集與無限集*⑴

有限集-------含有有限個(gè)元素的集合叫有限集⑵

無限集--------含有無限個(gè)元素的集合叫無限集2023/11/1519集合的表示法

(1)列舉法

當(dāng)集合中的元素的個(gè)數(shù)較少時(shí)，在表示集合時(shí)，可以把集合中的元素一一列舉出來，中間用逗號(hào)隔開，并用花括號(hào)“{}”把元素括起來．這種表示集合的方法叫做列舉法．例如，不大于10的正偶數(shù)的集合可以用

{2，4，6，8，10}表示.地球上的四大洋組成的集合表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.2023/11/1520

例1：用列舉法表示下列集合：(1)小于10的所有質(zhì)數(shù)組成的集合__________;(2)由大于3小于10的整數(shù)組成的集合___________________;(3)方程x2-16=0的實(shí)數(shù)解組成的集合_________;{2,3,5,7}{4,5,6,7,8,9}{-4,4}2023/11/1521【例1】用列舉法表示下列集合：(1)方程x(x2－1)＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)不大于10的非負(fù)偶數(shù)集；(3)一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖象的交點(diǎn)組成的集合．解：(1)方程x(x2－1)＝0的實(shí)數(shù)根為0,1，－1，故其實(shí)數(shù)根組成的集合為{－1,0,1}．(2)不大于10的非負(fù)偶數(shù)即為從0到10的偶數(shù)，故不大于10的非負(fù)偶數(shù)集為{0,2,4,6,8,10}．2023/11/1522【例1】用列舉法表示下列集合：(1)方程x(x2－1)＝0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)不大于10的非負(fù)偶數(shù)集；(3)一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖象的交點(diǎn)組成的集合．故一次函數(shù)y＝x與y＝2x－1圖象的交點(diǎn)組成的集合為{(1,1)}．2023/11/1523知識(shí)探究：集合的表示方法觀察下列集合：(1)中國古代四大發(fā)明組成的集合；(2)20的所有正因數(shù)組成的集合；(3)不等式x－2≥3的解集；(4)所有正偶數(shù)組成的集合．思考2：設(shè)(3)(4)中的元素為x，請(qǐng)用等式(或不等式)分別將它們表示出來．提示：(3)中元素x≥5；(4)中的元素x＝2n，n∈N＋.2023/11/1524（2）描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.

具體方法:在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及以取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.2023/11/1525思考你能用描述法表示不等式x－7<3的解集嗎？代表元素符號(hào)元素共同特征或滿足的條件2023/11/1526練習(xí)：用描述法表示下列集合：(1)小于10的所有有理數(shù)組成的集合_____________;(2)所有偶數(shù)組成的集合_____________________;(3)直角坐標(biāo)系內(nèi),第二象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合_______________________;說明:如果從上下文的關(guān)系來看,x∈R,x∈Z等是明確的,那么x∈R,x∈Z可以省略,只寫其元素x.如:不等式x-7<3的解集可以表示為A={x|x<10}.所有奇數(shù)組成的集合可以表示為:B={x|x=2k+1,k∈Z}.{x∈Q|x<10}{x|x=2n,n∈Z}{(x,y)|x<0,且y>0}2023/11/1527例2試用列舉法和描述法表示下列集合:(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.2023/11/1528例2試用列舉法和描述法表示下列集合:(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.2023/11/15292．用描述法表示下列集合：(1)所有正偶數(shù)組成的集合；(3)不等式4x－6<5的解集；解：(1)文字描述法：{x|x是正偶數(shù)}．符號(hào)描述法：{x|x＝2n，n∈N*}．(3){x|4x－6<5，x∈R}．2023/11/1530說明:(1)列舉法和描述法是集合的常用表示方法,兩種方法各有優(yōu)點(diǎn),用什么方法表示集合,要具體問題具體分析.要注意，一般集合中元素較多或有無限個(gè)元素時(shí)，不宜采用列舉法強(qiáng)調(diào)：描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素{(x,y)|y=x2+3x+2}與{y|y=x2+3x+2}不同，例如：{整數(shù)}，即代表整數(shù)集Z。辨析：這里的{}已包含“所有”的意思，所以不能寫成{全體整數(shù)}。下列寫法{實(shí)數(shù)集}，{R},{高一級(jí)全體學(xué)生}也是錯(cuò)誤的。2023/11/1531(2)在集合的書寫形式上,要注意規(guī)范性.(3)在沒有指定集合的表示方法時(shí),能明確表示集合的要明確表示出來.如關(guān)于x的方程x-a=0的解集應(yīng)寫成{a},而不是a.如所有小于20的既是奇數(shù)又是素?cái)?shù)的數(shù)組成的集合表示為{3,5,7,11,13,17,19}更為明確;又如非負(fù)奇數(shù)組成的集合表示為：{x|x=2n+1,n∈N}更為恰當(dāng),這一點(diǎn)需要注意.2023/11/15325.集合A={a,b,(a,b)}含有______個(gè)元素。33.已知集合M={x∈N|8-x∈N}，則M中的元素最多有_____個(gè)。92023/11/1533圖示法------畫一條封閉曲線,用它的內(nèi)部來表示一個(gè)集合.常用于表示不需給具體元素的抽象集合.對(duì)已給出了具體元素的集合也當(dāng)然可以用圖示法來表示.如:集合{1,2,3,4,5}用圖示法表示為:123452023/11/1534課堂練習(xí)(課本5頁)

練習(xí)：1.用符合“∈”或“

”填空：(1)設(shè)A為所有亞洲國家組成的集合，則：中國_____A；美國_____A；印度_____A；英國_____A．(2)若A＝{x|x2＝x}，則－1_____A；(3)若B＝{x|x2＋x－6＝0}，則3_____B；(4)若C＝{x∈N|1≤x≤10}，則8_____C，9.1_____C；∈∈∈練習(xí)：2課本P11A22023/11/1535例、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）大于1小于10的偶數(shù)與質(zhì)數(shù)所成的集合（2）正有理數(shù)集（3）偶數(shù)集奇數(shù)集正奇數(shù)集能被3整除的整數(shù)集合的表示方法舉例{x∈Q|x＞0}{x|x＝2n，n∈Z}{x|x＝2n+1，n∈Z}{x|x＝2n+1，n∈N*}{x|x＝3n，n∈N}2023/11/1536【例2】用描述法表示下列集合：(1)被5除余1的正整數(shù)集合；(4)在平面直角坐標(biāo)系中，兩坐標(biāo)軸上點(diǎn)的集合．解：(1){x|x＝5k＋1，k∈N}；(4){(x，y)|xy＝0}．【例3】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希罕?大3的