實驗六、擬合與插值問題課件

數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)實驗六一、實驗項目名稱

傳染病模型

——插值與擬合2023/11/151實驗六、擬合與插值問題進(jìn)一步鞏固、加強(qiáng)Matlab的應(yīng)用能力、學(xué)會用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合了解在最小二乘意義下數(shù)據(jù)擬合的理論和方法.通過對實際問題的分析和研究，初步掌握建立數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型的方法插值的基本原理二、實驗?zāi)康?023/11/152實驗六、擬合與插值問題三、實驗內(nèi)容與步驟1、建模實例：傳染病模型2、MATLAB求函數(shù)的擬合與插值2023/11/153實驗六、擬合與插值問題

目的1、傳染病模型

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報傳染病高潮到來的時刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型2023/11/154實驗六、擬合與插值問題1.1問題重述問題:有一種傳染?。ㄈ鏢ARS、甲型H1N1）正在流行。現(xiàn)在希望建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，利用已經(jīng)掌握的一些數(shù)據(jù)資料對該傳染病進(jìn)行有效地研究，以期對其傳播蔓延進(jìn)行必要的控制，減少人民生命財產(chǎn)的損失?？紤]如下的幾個問題，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并進(jìn)行一定的比較分析和評價展望。1、不考慮環(huán)境的限制，設(shè)單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是常數(shù)，建立模型求t時刻的感染人數(shù)。2、假設(shè)環(huán)境條件下所允許的最大可感染人數(shù)為。單位時間內(nèi)感染人數(shù)的增長率是感染人數(shù)的線性函數(shù)，最大感染時的增長率為零。建立模型求t時刻的感染人數(shù)。2023/11/155實驗六、擬合與插值問題3、現(xiàn)有衛(wèi)生防疫部門采集到的某地區(qū)一定時間內(nèi)一定間隔區(qū)間的感染人數(shù)數(shù)據(jù)（見下表），利用該數(shù)據(jù)確定上述兩個模型中的相關(guān)參數(shù)，并將它們的預(yù)測值與實際數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析（計算仿真偏差）并對兩個模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑u價。（注：該問題中，設(shè)最大可感染人數(shù)為2000人）2023/11/156實驗六、擬合與插值問題實驗問題2023/11/157實驗六、擬合與插值問題模型（一）模型（二）Matlab---微分方程的求解已解決今天我們研究問題4的方法擬合插值2023/11/158實驗六、擬合與插值問題據(jù)人口統(tǒng)計年鑒，知我國從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)資料如下：(人口數(shù)單位為：百萬)（1）在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2）建立人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系，并估算1999年的人口數(shù)。擬合問題實例1年份

1949

1954

1959

1964

1969

人口數(shù)

541.67

602.66672.09704.99

806.71

年份1974

1979

1984

1989

1994人口數(shù)

908.59

975.421034.75

1106.76

1176.74

2023/11/159實驗六、擬合與插值問題如何確定線性模型2023/11/1510實驗六、擬合與插值問題1曲線擬合問題的提法:

已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的n個點(diǎn)),(iiyx，

ixni,,,2,1L=互不相同，尋求一個函數(shù)（曲線）)(xfy=，使)(xf在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好，如圖:

xy0++++++++一、曲線擬合確定f(x)使得

達(dá)到最小

最小二乘準(zhǔn)則

2023/11/1511實驗六、擬合與插值問題２.用什么樣的曲線擬合已知數(shù)據(jù)?常用的曲線函數(shù)系類型：１．畫圖觀察；２．理論分析指數(shù)曲線：

雙曲線（一支):

多項式：

直線：

2023/11/1512實驗六、擬合與插值問題線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…,rm(x)}的選取

1.通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…,n

作圖，通過直觀判斷確定f(x)：2023/11/1513實驗六、擬合與插值問題３擬合函數(shù)組中系數(shù)的確定2023/11/1514實驗六、擬合與插值問題用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.多項式在x處的值y可用以下命令計算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項式系數(shù)a=[a1,…,am,

am+1](數(shù)組）輸入同長度的數(shù)組x，y擬合多項式次數(shù)2023/11/1515實驗六、擬合與插值問題人口預(yù)測線性模型

對于開始提出的實驗問題,代如數(shù)據(jù)，計算得從而得到人口數(shù)與年份的函數(shù)關(guān)系為把x=1999代如，估算出1999年的人口數(shù)為

y=1252.1（百萬）＝12.52億1999年實際人口數(shù)量為１２.６億。線性預(yù)測模型2023/11/1516實驗六、擬合與插值問題symsx

x=1949:5:1994;

y=[541.67602.66672.09704.99806.71908.59975.421034.751106.761176.74];

plot(x,y,'r*’)

z=polyfit(x,y,1)

y1=polyval(z,x)

holdon

plot(x,y1,'b+-')人口模型的解2023/11/1517實驗六、擬合與插值問題symsxx=0:1:14y=[3953729612917123231438650262976092010651232];plot(x,y,'r*')z=polyfit(x,y,2)y1=polyval(z,x)holdonplot(x,y1,'b+-')傳染病模型3的解2023/11/1518實驗六、擬合與插值問題二、插值

2.面對一個實際問題，應(yīng)該用插值，還是擬合。1.插值的基本原理；三種插值方法：拉格朗日插值，分段線性插值，三次樣條插值。2023/11/1519實驗六、擬合與插值問題插值問題實例1機(jī)械加工

xy機(jī)翼下輪廓線2023/11/1520實驗六、擬合與插值問題插值問題的提法已知n+1個節(jié)點(diǎn)其中互不相同，不妨設(shè)求任一插值點(diǎn)處的插值

節(jié)點(diǎn)可視為由產(chǎn)生,表達(dá)式復(fù)雜或無封閉形式,，或未知.。

2023/11/1521實驗六、擬合與插值問題

求解插值問題的基本思路

構(gòu)造一個(相對簡單的)函數(shù)通過全部節(jié)點(diǎn),即再用計算插值，即

2023/11/1522實驗六、擬合與插值問題插值的基本原理選講PPT（24-30）2023/11/1523實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.1插值多項式有唯一解2023/11/1524實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.2拉格朗插值多項式又（2）有唯一解，故（3）與（1）相同。2023/11/1525實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.3誤差估計2023/11/1526實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.4例將[0,/2]n等分，用g(x)=cos(x)產(chǎn)生n+1個節(jié)點(diǎn)，作Ln(x)（取n=1,2),計算cos(/6),估計誤差。解:n=1,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),L1(x)=y0l0+y1l1=1-2x/,cos(/6)=0.6667n=2,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/4,0.7071),(x2,y2)=(/2,0),L2(x)=y0l0+y1l1+y2l2=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2cos(/6)=L2(/6)=0.8508精確值：cos(/6)=0.86602023/11/1527實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日(Lagrange)多項式插值1.5

拉格朗日插值多項式的振蕩ToMATLAB(runge)Runge現(xiàn)象:2023/11/1528實驗六、擬合與插值問題2.分段線性插值

xjxj-1xj+1x0xn計算量與n無關(guān);n越大，誤差越小.2023/11/1529實驗六、擬合與插值問題3.三次樣條插值2023/11/1530實驗六、擬合與插值問題1.拉格朗日插值:自編程序,如名為lagr1.m

的M文件，第一行為functiony=lagr1(x0,y0,x)

輸入:節(jié)點(diǎn)x0,y0,

插值點(diǎn)x(均為數(shù)組，長度自定義)）；輸出:插值y(與x同長度數(shù)組)）。應(yīng)用時輸入x0,y0,x后,運(yùn)行y=lagr1(x0,y0,x)2.分段線性插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x)3.三次樣條插值:已有程序

y=interp1(x0,y0,x,’spline’)

或

y=spline(x0,y0,x)用MATLAB作插值計算2023/11/1531實驗六、擬合與插值問題對表格給出的函數(shù)，求出沒有給出的函數(shù)值

例2表中是待加工零件下輪廓線的一組數(shù)據(jù)，現(xiàn)需要得到x坐標(biāo)每改變0.1時所對應(yīng)的y的坐標(biāo).

x03571112131415y01.21.72.12.01.81.21.01.6下面是關(guān)于插值的兩條命令(專門用來解決這類問題)：y=interp1(x0,y0,x)分段線性插值y=spline(x0,y0,x)三次樣條插值

2023/11/1532實驗六、擬合與插值問題其中x0,y0是已知的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，是同維向量。y對應(yīng)于x處的插值。y與x是同維向量。解決上述問題,我們可分兩步:一用原始數(shù)據(jù)繪圖作為選用插值方法的參考.二確定插值方法進(jìn)行插值計算x0=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]';y0=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]'plot(x0,y0)%完成第一步工作x=0:0.1:15;y=interp1(x0,y0,x');%用分段線性插值完成第二步工作plot(x,y)y=spline(x0,y0,x');plot(x,y)%用三次樣條插值完成第二步工作2023/11/1533實驗六、擬合與插值問題對y=1/(1+x2),-5≤x≤5，用n（=11）個節(jié)點(diǎn)（等分）作上述兩種插值，用m（=21）個插值點(diǎn)（等分）作圖，比較結(jié)果。解：鍵入并運(yùn)行如下命令n=11;m=21;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.^2);xo=-5:10/(n-1):5;yo=1./(1+xo.^2);y1=interp1(xo,yo,x);y2=spline(xo,yo,x);plot(x,y,'r',x,y1,'b',x,y2,'k')練習(xí)：2023/11/1534實驗六、擬合與插值問題例3

一水庫上游河段降暴雨.，根據(jù)預(yù)報測算上游流入水庫的流量為Q(t)(102立方米/秒)：

t(時)81216243044485660Q(t)3654789210135251613

利用這個預(yù)報值估計14：30和20：30時上游流入水庫的流量。假設(shè):1已知數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。

2相鄰兩個時刻之間的流量沒有突然的變化。2023/11/1535實驗六、擬合與插值問題2023/11/1536實驗六、擬合與插值問題t=[8,12,16,24,30,44,48,56,60];q=[36,54,78,92,101,35,25,16,13];t1=8:0.5:60;q1=interp1(t,q,t1,'linear');plot(t,q,'b',t1,q1);holdon;q2=interp1(t,q,t1,'spline');plot(t,q,'b',t1,q1,t1,q2,'r')q1q22023/11/1537實驗六、擬合與插值問題2023/11/1538實驗六、擬合與插值問題擬合與插值的關(guān)系

函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者在數(shù)學(xué)方法上是完全不同的．

實例：下面數(shù)據(jù)是某次實驗所得，希望得到X和f之間的關(guān)系？問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合．若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題；2023/11/1539實驗六、擬合與插值問題最臨近插值、線性插值、樣條插值與曲線擬合結(jié)果：2023/11/1540實驗六、擬合與插值問題即要求出二次多項式:中的使得:1、對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合上機(jī)操作（1、2擬合；3、4用插值法）2023/11/1541實驗六、擬合與插值問題2、

最佳營銷策略問題：某公司有一批以每桶2元購進(jìn)的彩漆為了獲得較高的利潤希望以較高的價格賣出但價格越高,售出量就越少,二者之間的關(guān)系由表一給出.于是打算用作廣告的辦法來促銷.而廣告費(fèi)與銷售量的關(guān)系可由銷售增長因子來描述.例如,投入