（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第10章 第4節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例 文 湘教版

2009~2013年高考真題備選題庫第10章算法初步、統(tǒng)計、統(tǒng)計案例第4節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例考點一變量間的相關(guān)性1．（2013福建，5分）已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是()A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′解析：本題主要考查線性回歸直線方程，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．由兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)可求得直線方程為y＝2x－2，b′＝2，a′＝－2.而利用線性回歸方程的公式與已知表格中的數(shù)據(jù)，可求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))xiyi－6\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(6),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(58－6×\f(7,2)×\f(13,6),91－6×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))2)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×eq\f(7,2)＝－eq\f(1,3)，所以eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.答案：C2.（2013重慶，13分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝80，eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝20，eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝184，eq\o(,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝720.(1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).解：本題主要考查兩個變量的相關(guān)性、線性回歸方程的求法及預(yù)報作用，考查考生的運(yùn)算求解能力與邏輯思維能力．(1)由題意知n＝10，eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(80,10)＝8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))yi＝eq\f(20,10)＝2.又eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－neq\o(x,\s\up6(－))2＝720－10×82＝80，eq\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－neq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))＝184－10×8×2＝24，由此可得b＝eq\f(\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x的值增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．3．（2012湖南，5分）設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：由于回歸直線的斜率為正值，故y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，選項A中的結(jié)論正確；回歸直線過樣本點的中心，選項B中的結(jié)論正確；根據(jù)回歸直線斜率的意義易知選項C中的結(jié)論正確；由于回歸分析得出的是估計值，故選項D中的結(jié)論不正確．答案：D4．（2011山東，5分）某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元解析：樣本中心點是(3.5,42)，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回歸直線方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1，把x＝6代入得eq\o(y,\s\up6(^))＝65.5.答案：B5．（2011陜西，5分）設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)是變量x和y的n個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論中正確的是()A．x和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率B．x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C．當(dāng)n為偶數(shù)時，分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同D．直線l過點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))解析：回歸直線過樣本中心點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．答案：D6．（2011遼寧，5分）調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加________萬元．解析：以x＋1代x，得eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254(x＋1)＋0.321，與eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321相減可得，年飲食支出平均增加0.254萬元．答案：0.2547．（2012福建，12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，其中b＝－20，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))；(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解：(1)由于eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，eq\x\to(y)＝eq\f(1,6)(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時，L取得最大值．故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．考點二統(tǒng)計案例1．（2013福建，12分）某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？P(χ2≥k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(注：此公式也可以寫成K2＝\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)))解：本題主要考查古典概型、抽樣方法、獨(dú)立性檢驗等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．所以，樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，記為A1，A2，A3；25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)，記為B1，B2.從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，它們是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．其中，至少1名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，它們是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝eq\f(7,10).(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79.因為1.79<2.706，所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”．2．(2010新課標(biāo)全國，12分)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例？說明理由．附：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)解：(1