第7講Matlab解微分方程

數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗Matlab解微分方程實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2、學(xué)會用Matlab求微分方程的數(shù)值解.1、學(xué)會用Matlab求簡單微分方程的解析解.1、求簡單微分方程的解析解.4、作業(yè).2、求微分方程的數(shù)值解.3、數(shù)學(xué)建模實例

微分方程的解析解求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(‘方程1’,‘方程2’,…‘方程n’,‘初始條件’,‘自變量’)Toff1.m結(jié)果：u=tan(t+c1)解輸入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')結(jié)果為:y=3e-2xsin（5x）ToMatlab（ff2）解輸入命令：

[x,y,z]=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z','Dy=4*x-5*y+3*z','Dz=4*x-4*y+2*z','t')；結(jié)果為：x=(c1-c2+c3+c2e-3t-c3e-3t)e2t

y=-c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2tz=(-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t

ToMatlab（ff3）返回注意：某些方程的解析解如果不存在則只能求數(shù)值解練習(xí)微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義

在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實際上對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。返回（二）建立數(shù)值解法的一些途徑1、用差商代替導(dǎo)數(shù)

若步長h較小，則有故有公式：此即歐拉法。2、使用數(shù)值積分對方程y’=f(x,y),兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：實際應(yīng)用時，與歐拉公式結(jié)合使用：此即改進(jìn)的歐拉法。故有公式：3、使用泰勒公式

以此方法為基礎(chǔ)，有龍格-庫塔法、線性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度當(dāng)一個數(shù)值公式的截斷誤差可表示為O（hk+1）時（k為正整數(shù)，h為步長），稱它是一個k階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫塔法有二階公式和四階公式。線性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。返回（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）ode45ode23ode113ode15sode23s由待解方程寫成的m-文件名ts=[t0，tf]，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差10-3,絕對誤差10-6),命令為：options=odeset（’reltol’,rt,’abstol’,at）,rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差.1、在解n個未知函數(shù)的方程組時，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫成.2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組.注意:例：x+(x2-1)x+x=0為方便令x1=x，x2=x分別對x1,x2求一階導(dǎo)數(shù)，整理后寫成一階微分方程組形式

x1=x2x2=x2(1-x12)-x1建立m文件解微分方程······建立m文件functionxdot=wf(t,x)xdot=zeros(2,1)xdot(1)=x(2)xdot(2)=x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)給定區(qū)間、初始值;求解微分方程t0=0;tf=20;x0=[00.25]';[t,x]=ode23(‘wf’,t0,tf,x0)；plot(t,x),figure(2),plot(x(:,1),x(:,2))命令格式:[T,Y]=ODE23(ODEFUN,TSPAN,Y0)建立m文件functiondxdt=wf(t,x)dxdt=[x(2);x(2)*(1-x(1)^2)-x(1)];求解微分方程[t,x]=ode23(@wf,[030],[00.25]);plot(t,x);figure(2)plot(x(:,1),x(:,2))解:令y1=x，y2=y1’1、建立m-文件vdp1000.m如下：

functiondy=vdp1000(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1000*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1);

2、取t0=0，tf=3000，輸入命令：

[T,Y]=ode15s('vdp1000',[03000],[20]);plot(T,Y(:,1),'-')3、結(jié)果如圖ToMatlab（ff4）解

1、建立m-文件rigid.m如下：

functiondy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令：

[T,Y]=ode45('rigid',[012],[011]);plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'*',T,Y(:,3),'+')3、結(jié)果如圖ToMatlab（ff5）圖中，y1的圖形為實線，y2的圖形為“*”線，y3的圖形為“+”線.返回導(dǎo)彈追蹤問題設(shè)位于坐標(biāo)原點的甲艦向位于x軸上點A(1,0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時，導(dǎo)彈將它擊中？解法一（解析法）由(1),(2)消去t整理得模型:ToMatlab(chase1)軌跡圖見程序chase1解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);2.取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：

x0=0;xf=0.99999;[x,y]=ode23('eq1',[x0xf],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'g.');holdon;plot(x,y(:,1),'b*');

結(jié)論:導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦ToMatlab(ff6)令y1=y,y2=y1’，將方程（3）化為一階微分方程組。解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解)設(shè)時刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t))，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)).3．因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t4.解導(dǎo)彈運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下：

functiondy=eq2(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(1-y(1))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);dy(2)=5*(t-y(2))/sqrt((1-y(1))^2+(t-y(2))^2);取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下：

[t,y]=ode45('eq2',[02],[00]);Y=0:0.01:2;plot(1,Y,'-')，holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')ToMatlab(chase2)5.結(jié)果見圖1導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.圖1圖2返回在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,…,直到tf=0.21時，得圖2.結(jié)論：時刻t=0.21時，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。ToMatlab(chase2)慢跑者與狗一個慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為:x=10+20cost,y=20+5sint.突然有一只狗攻擊他.這只狗從原點出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運(yùn)動方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時狗的運(yùn)動軌跡.1.模型建立設(shè)時刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t))，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t)).則X=10+20cost,Y=20+15sint,狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問題類似，建立狗的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程:2.模型求解(1)w=20時,建立m-文件eq3.m如下:functiondy=eq3(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下：

t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq3',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5,2.5,3.5,…,至3.15時,狗剛好追上慢跑者.ToMatlab(chase3)建立m-文件eq4.m如下:functiondy=eq4(t,y)

dy=zeros(2,1);dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2))/sqrt((10+20*cos(t)-y(1))^2+(20+15*sin(t)-y(2))^2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下：

t0=0;tf=10;[t,y]=ode45('eq4',[t0tf],[00]);T=0:0.1:2*pi;X=10+20*cos(T);Y=20+15*sin(T);plot(X,Y,'-')holdonplot(y(:,1),y(:,2),'*')在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=20,40,80,…,可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者.ToMatlab(chase4)(2)w=5時返回地中海鯊魚問題意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？他無法解釋這個現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個食餌—捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個問題.

該模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡單的模型.首先，建立m-文件shier.m如下：

function

dx=shie