地下水運動基本定律基本微分方程和數(shù)學模型

第二章地下水運動基本定律、

基本微分方程和數(shù)學模型第二章地下水基本定律介質(zhì)：地下水賦存于巖土的空隙中，并在其中運動。我們將賦存地下水的巖土稱為介質(zhì)。滲透：地下水在巖土空隙中的運動稱為滲透。第一節(jié)達西定律第一節(jié)地下水運動的基本定律:達西定律第一節(jié)達西定律一、滲透水流實際水流滲透水流第一節(jié)地下水運動的基本定律:達西定律第一節(jié)達西定律一、滲透水流（1）不考慮滲流途徑的迂回曲折，只考慮地下水流的主要流向。（2）不考慮巖土的顆粒存在，假想滲透水流充滿全部空間（包括骨架）。兩個假設(shè):假設(shè)水流必須符合下列條件：對于同一過水斷面，假想水流的流量等于通過該斷面的真實水流流量；作用于任一面積上的假想水流的壓力等于真實水流的壓力；假想水流在體積內(nèi)所受的阻力和真實水流所受的阻力相同。滲透水流，簡稱滲流第一節(jié)達西定律第一節(jié)達西定律地下水流運動的驅(qū)動力是什么？其流動的速度與什么有關(guān)？思考：二、達西定律1856年法國水力學家達西(Dacy)開展了大量實驗第一節(jié)達西定律達西定律，又稱線性滲透定律第一節(jié)達西定律實驗結(jié)果：滲流量或滲流速度與水力坡降成正比用微分來表示，即：此流速是假想水流的流速，實際水流的流速，根據(jù)過水斷面可得第一節(jié)達西定律達西定律的實質(zhì)是水流在流動過程中消耗的能量與流速和滲流長度成正比，與含水層的滲透系數(shù)成反比。第一節(jié)達西定律達西定律的適用范圍當雷諾數(shù)Re<100時，適用；當雷諾數(shù)Re>100時，不適用；在天然情況下，絕大多數(shù)地下水運動服從達西定律。第一節(jié)達西定律滲透系數(shù)K水力坡度為1時的滲透流速。第二節(jié)數(shù)學模型三、滲流中的幾個概念（水文地質(zhì)參數(shù)）導(dǎo)水系數(shù)T

當水力坡度為1時，通過整個含水層上的單位寬度流量。即：T=K·M意義：潛水位上升(下降)一個單位時,從單位面積含水層增加(減少)的水量。第二節(jié)數(shù)學模型潛水給水度μ

第二節(jié)數(shù)學模型彈性釋水系數(shù)μ*意義：水平面為一個單位面積，高為含水層全厚度M的含水層柱體中，當水頭降低一個單位時彈性釋放出來的水量。第二節(jié)數(shù)學模型潛水給水度與彈性釋水系數(shù)的區(qū)別釋水機理：潛水釋水過程完全是重力釋水；而承壓水是由于含水層骨架壓縮和地下水體膨狀共同作用的釋水。第二節(jié)滲流的基本微分方程和數(shù)學模型釋水率μs取一處于平衡狀態(tài)的承壓含水層土體，研究其在水頭變化時所引起的彈性釋水或儲存的過程。抽水前含水層上覆巖層的總壓力為P，含水層內(nèi)的水壓力為Pw，巖層顆粒骨架的反作用力為Ps，第二節(jié)數(shù)學模型1.幾個概念抽水后，水頭降低ΔH，此時上覆巖層總壓力不變，為保持平衡，水頭降低減少的壓力與骨架增加的壓力相等，

此時水體積由于水壓力減小而膨脹，從而釋放出一定的水量，同時因含水層骨架被壓縮而擠出一部分水量，合稱彈性釋水。第二節(jié)數(shù)學模型

對于含水層骨架有：對于水有：Vs—含水層體積Vw—水的體積Pw—水的壓力Ps—骨架的壓力α—水彈性壓縮系數(shù)Β—骨架壓縮系數(shù)第二節(jié)數(shù)學模型當水頭降低總共可得到的彈性水量為：由于含水層中dPs=dPw=ρgdH，Vw=nVs，n為孔隙率，有：定義：水頭降低一個單位時，從單位體積含水層中，因水體積膨脹和含水層骨架壓縮擠出的彈性釋放水量，稱釋水率。第二節(jié)數(shù)學模型意義：水平面為一個單位面積，高為含水層全厚度M的含水層柱體中，當水頭降低一個單位時彈性釋放出來的水量。第二節(jié)數(shù)學模型釋水系數(shù)μ*

釋水率乘以該含水層的厚度，稱為釋水系數(shù)。意義：潛水位上升(下降)一個單位時,從單位面積含水層增加(減少)的水量。第二節(jié)數(shù)學模型潛水給水度μ

導(dǎo)水系數(shù)T

當水力坡度為1時，通過整個含水層上的單位寬度流量。即：第二節(jié)數(shù)學模型T=K·M水的狀態(tài)方程對于給定質(zhì)量的水體積，增加一個壓力dPw，水體積產(chǎn)生一定的壓縮，根據(jù)質(zhì)量守恒定律：

ρ

Vw=常數(shù)

取全微分有：

ρdVw+Vwdρ=0

由于dPw=dH第二節(jié)數(shù)學模型水的狀態(tài)方程第二節(jié)數(shù)學模型顆粒骨架的狀態(tài)方程

顆粒骨架在壓力的作用下主要表現(xiàn)為垂直方向的空隙變形，而顆粒本身體積基本不變，因此，顆粒的體積為一常量：

Vs-nVs=常量

取全微分

dVs-ndVs-Vsdn=0

第二節(jié)數(shù)學模型

假定含水層骨架僅在垂直方向變形有：d(ΔZ)=α·(ΔZ)dPw

dn=(1-n)

αdPw第二節(jié)數(shù)學模型顆粒骨架的狀態(tài)方程（2）滲流連續(xù)性方程根據(jù)對滲流的假說，滲流場全部空間都被連續(xù)水流充滿。在滲流場中取任一微小單元體，其坐標為（X、Y、Z），邊長分別為Δx、Δy、Δz，地下水的密度為ρ，在X、Y、Z方向上的滲流速度為u、v、w。在Δt時間內(nèi)，沿X方向，流入單元的水量為：

ρQxΔt=ρuΔyΔzΔt第二節(jié)數(shù)學模型第二節(jié)數(shù)學模型

而沿X方向流出的水量為：兩者之差為X方向增加的水量，即：第二節(jié)數(shù)學模型沿Y方向增加的水量沿Z方向增加的水量第二節(jié)數(shù)學模型

因此，在Δt時間內(nèi)，單元體增加的水量為：單元體內(nèi)水占的體積為nΔxΔyΔz，n為孔隙率，其水量為ρnΔxΔyΔz。在Δt內(nèi)，單元體的水量變化為第二節(jié)數(shù)學模型

根據(jù)達西定律，水流流速在X、Y、Z方向有第二節(jié)數(shù)學模型地下水滲流連續(xù)性方程表示：在滲流場中的任何局部，都必須滿足質(zhì)量守恒和能量守恒。第二節(jié)數(shù)學模型

對于穩(wěn)定滲流，且假定n、ρ不變，則為地下水穩(wěn)定流的連續(xù)性方程：第二節(jié)數(shù)學模型（3）承壓含水層的基本微分方程在承壓含水層中，含水層產(chǎn)生變形時，主要是在垂直方向（Δz）上，而Δx、Δy近似為不變，因此，連續(xù)性方程為第二節(jié)數(shù)學模型第二節(jié)數(shù)學模型（用到水的狀態(tài)方程、含水層骨架壓縮的狀態(tài)方程）承壓含水層三維非穩(wěn)定滲流的微分方程第二節(jié)數(shù)學模型

若承壓含水層水平等厚，滲透水流作水平二維流，則有：第二節(jié)數(shù)學模型

對均質(zhì)各向同性的承壓水作二維非穩(wěn)定流時

對均質(zhì)各向同性的承壓水作二維穩(wěn)定流時第二節(jié)數(shù)學模型對于有注水或抽水時，ε表示單位時間對單位面積含水層抽出或注入的水量，則均質(zhì)各向同性非穩(wěn)定承壓二維流第二節(jié)數(shù)學模型（4）潛水含水層的基本微分方程

潛水含水層的頂部是潛水面，在非穩(wěn)定滲流的過程中潛水面的位置在不斷變化中，因此要精確處理這類問題比較困難，但實際問題中，地下水流接近水平流動，潛水面也比較平緩.因此，可作出一定假定條件來近似求解，即裘布衣假定。

第二節(jié)數(shù)學模型潛水面比較平緩，為緩變流；滲流速度的水平分量u、v沿z高度沒有變化，僅為x、y坐標和時間t的函數(shù)，即垂直流速可忽略不計或水頭不隨深度變化；過水斷面近似為一個垂直平面。第二節(jié)數(shù)學模型裘布衣假設(shè)：dxεHhxzdt時間內(nèi)，從上游斷面流入的水量：第二節(jié)數(shù)學模型從下游斷面流出的水量：從地表水滲的水量：Δx土體水量增量是：第二節(jié)數(shù)學模型水量的變化會引起潛水面的上升或下降，在dt時間內(nèi)潛水面變化：第二節(jié)數(shù)學模型其對應(yīng)的dx含水層水的體積變化量：水量平衡：第二節(jié)數(shù)學模型潛水二維流的微分方程：布西涅斯克方程第二節(jié)數(shù)學模型承壓水二維流的微分方程：形式相似，意義有所差別當水頭變化很小時，即ΔH<0.1h時，對均質(zhì)各向同性的潛水有T=Khh為潛水含水層平均厚度

第二節(jié)數(shù)學模型若隔水底板水平，以隔水底板為基準面，此時有，H=h，當無其他補給和排泄時，均質(zhì)各向同性的潛水二維穩(wěn)定流方程為：第二節(jié)數(shù)學模型（5）定解條件和數(shù)學模型

初始條件開始時刻水頭函數(shù)在滲流場的分布規(guī)律，如果開始時刻滲流場內(nèi)任意一點的水頭已知為H0，則初始條件的數(shù)學表達式為：第二節(jié)數(shù)學模型

注：對于穩(wěn)定流來說，定解條件中沒有初始條件，因為地下水作穩(wěn)定流時其運動要素是不隨時間而變化的。邊界條件是指在各個計算時刻，邊界上某些函數(shù)的變化規(guī)律是已知的。邊界條件主要有兩種：第二節(jié)數(shù)學模型

①第一類邊界條件（已知水頭邊界，Dirichlet條件）是指待求的水頭函數(shù)H(x,y,z)在邊界

1上的變化規(guī)律是已知的，其數(shù)學形式為如：河流作為含水層的邊界，其水位已知，就可作為一類邊界處理。第二節(jié)數(shù)學模型

②第二類邊界（已知流量邊界,Neumann條件）邊界上單位寬度的流量是已知的即為二類邊界

2

，其數(shù)學表達式為：

q-單位寬度流量；

n-邊界

2的內(nèi)法線方向（指向滲流場）第二節(jié)數(shù)學模型

當邊界為隔水邊界時，則第二節(jié)數(shù)學模型

當內(nèi)邊界為抽水井壁時，抽水流量已知：

微分方程與定解條件結(jié)合在一起稱為數(shù)學模型或定解問題。數(shù)學模型的求解方法有：

1、解析解：用數(shù)學方法直接求出數(shù)學模型的解，這種解稱解析解，也是數(shù)學模型的精確解。

2、數(shù)值解：把數(shù)學模型中的連續(xù)變量離散成離散變量，再進行求解，這種方法稱數(shù)值解，求得的解為近似解。第二節(jié)數(shù)學模型第三節(jié)含水層中地下水的穩(wěn)定流承壓含水層地下水的一維滲流有一承壓含水層均質(zhì)，水平等厚，地下水的流線為相互平行的水平直線，兩端水頭已知，上游斷面x1處水頭為H1，下游斷面x2處的水頭為H2，此時地下水為一維滲流，求滲流過程中的水頭變化規(guī)律與x2處的流量。第三節(jié)地下水穩(wěn)定流承壓含水層中地下水的二維滲流①若承壓含水層的隔水頂板和底板不水平，含水層厚度沿水流方向作直線變化，而滲流寬度B不變，此時地下水為二維滲流。通常在實際計算時常取含水層上下游二斷面的平均厚度，求得的單位寬度流量的近似值：第三節(jié)地下水穩(wěn)定流②若承壓含水層的頂板和底板相互平行，含水層厚度不變，而滲流寬度B為直線變化，地下水位平面二維流。第三節(jié)地下水穩(wěn)定流

例：沿承壓水流向有兩個參照鉆孔，孔1含水層厚度為18.00米，穩(wěn)定水位標高150.75米，孔2含水層厚度為25.00米，水位標高149.3米。兩孔相距1000米，含水層滲透系數(shù)45米/日。試求每公里寬度上承壓含水層的天然流量。第三節(jié)地下水穩(wěn)定流均質(zhì)潛水含水層地下水的二維滲流某潛水含水層均質(zhì)，各向同性，隔水地板水平，且滲流寬度不變。流動狀態(tài)滿足裘布衣假定。因此潛水含水層的微分方程適用的。求浸潤曲線和流量。第三節(jié)地下水穩(wěn)定流???如何運用潛水含水層的微分方程求浸潤曲線和流量

例：河岸邊剖面2處，隔水頂板標高為10.52米，河水位為50.12米，向距500米處剖面1處，隔水層標高10.52米，潛水位標高為50.82米，含水層的滲透系數(shù)為10.00米/日。求在寬度為200米的斷面上流向河流的潛水流量，離剖面1為1