2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題二十五：拋物線上面積類綜合問題（原卷版）

2023年二輪復(fù)習(xí)解答題專題二十五：拋物線上面積類綜合問題方法點(diǎn)睛在處理相應(yīng)二次函數(shù)有關(guān)的面積類綜合問題時(shí)，結(jié)合相應(yīng)的圖形特征，學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)化和計(jì)算，注意運(yùn)用全等，勾股及相似等相關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合及代數(shù)式的運(yùn)算計(jì)巧，對(duì)于相應(yīng)交點(diǎn)，學(xué)會(huì)聯(lián)立方程組來求取點(diǎn)坐標(biāo)典例分析類型一：由已知面積來定未知面積類問題例1：（2022青海中考）如圖1，拋物線與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.圖1圖2（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)，點(diǎn)F是拋物線的頂點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)；（3）設(shè)點(diǎn)P是（1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在滿足的點(diǎn)P？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（請(qǐng)?jiān)趫D2中探討）類型二：圖形面積的最大值問題例2：（2022廣安中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．

（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）點(diǎn)P為該拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．類型三：與面積倍分有關(guān)的綜合題例3：（2022內(nèi)江中考）（12分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣4，0），B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2）．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)D為該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線AC上方，求點(diǎn)D到直線AC的距離的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，連接CP，直線CP把四邊形CBPA的面積分為1：5兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．專題過關(guān)1.（2022棗莊中考）（12分）如圖①，已知拋物線L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線于點(diǎn)C，∠AOB的平分線交線段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線的對(duì)稱軸l上的一點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2.（2022沈陽中考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)A．拋物線與y軸交于點(diǎn)C，作直線AD．（1）①求拋物線的函數(shù)表達(dá)式②并直接寫出直線AD的函數(shù)表達(dá)式．（2）點(diǎn)E是直線AD下方拋物線上一點(diǎn)，連接BE交AD于點(diǎn)F，連接BD，DE，面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)G為拋物線的頂點(diǎn)，將拋物線圖象中x軸下方部分沿x軸向上翻折，與拋物線剩下部分組成新的曲線為，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將曲線，沿y軸向下平移n個(gè)單位長(zhǎng)度（）．曲線與直線BC的公共點(diǎn)中，選兩個(gè)公共點(diǎn)作點(diǎn)P和點(diǎn)Q，若四邊形是平行四邊形，直接寫出P的坐標(biāo)．3．（2022日照中考）（14分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝﹣x2+2mx+3m，點(diǎn)A（3，0）．（1）當(dāng)拋物線過點(diǎn)A時(shí)，求拋物線的解析式；（2）證明：無論m為何值，拋物線必過定點(diǎn)D，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上位于第一象限的點(diǎn)，連接AB，PD交于點(diǎn)M，PD與y軸交于點(diǎn)N．設(shè)S＝S△PAM﹣S△BMN，問是否存在這樣的點(diǎn)P，使得S有最大值？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出S的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．4.（2022瀘州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（1）求，的值；（2）經(jīng)過點(diǎn)的直線分別與線段，直線交于點(diǎn)，，且與的面積相等，求直線的解析式；（3）是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段和直線上是否分別存在點(diǎn)，，使，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5.（2022樂山中考）如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)、，與y軸交于點(diǎn)C，且．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖2，過點(diǎn)C作軸交二次函數(shù)圖象于點(diǎn)D，P是二次函數(shù)圖象上異于點(diǎn)D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC，若，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，若點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上位于BC下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP交BC于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，試用含t的代數(shù)式表示的值，并求的最大值．6.（2022成都中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；（3）試探究直線是否經(jīng)過某一定點(diǎn)．若是，請(qǐng)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．7．（2022煙臺(tái)中考）（14分）如圖，已知直線y＝x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，求四邊形ABCD面積S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，Q，使以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為對(duì)角線的菱形？若存在，請(qǐng)求出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8.（2022泰安中考）如圖，拋物線的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），且連接，D是上方的拋物線一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；（2）連接，，是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出其最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）第二象限內(nèi)拋物線上是否存在一點(diǎn)D，垂直于點(diǎn)F，使得中有一個(gè)銳角等于與的兩倍？若存在，求點(diǎn)D得橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．9.（2022通遼中考）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線方程為．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．10.（2022包頭中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是，M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，直線與y軸交于點(diǎn)G．（1）求該拋物線的解析式；（2）如圖1，N是拋物線上一點(diǎn)，且位于第二象限，連接，記的面積分別為．當(dāng)，且直線時(shí)，求證：點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）如圖2，直線與y軸交于點(diǎn)H，是否存在點(diǎn)M，使得．若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．11.（2022營口中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求拋物線和直線的解析式；（2）如圖，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為D，作軸，垂足為E，交于點(diǎn)F，設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；（3）點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得直線垂直平分線段？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．12.（2022盤錦中考）如圖，拋物線與x軸交于兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，連接．

（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點(diǎn)P在第四象限，點(diǎn)D在線段上，連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)E，連接，記的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)F為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸l與線段交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．13.（2022泰州中考）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)B(3，1).

（1）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)隨的增大而增大且時(shí)，直接寫出的取值范圍；（3）平行于軸的直線l與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)C、D（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊），與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)E.若△ACE與△BDE的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo).14.（2022連云港中考）已知二次函數(shù)，其中．

（1）當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點(diǎn)，求此時(shí)函數(shù)圖像的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求證：二次函數(shù)的頂點(diǎn)在第三象限；（3）如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點(diǎn)為，求面積的最大值．15.（2022岳陽中考）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1：y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(1,0)．

(1)求拋物線F1的解析式；

(2)如圖2，作拋物線F2，使它與拋物線F1關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，請(qǐng)直接寫出拋物線F2的解析式；

(3)如圖3，將(2)中拋物線F2向上平移2個(gè)單位，得到拋物線F3，拋物線F1與拋物線F3相交于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))．

①求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)M，N分別為拋物線F1和拋物線F3上C，D之間的動(dòng)點(diǎn)(16.（2022婁底中考）如圖，拋物線與軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)取何值時(shí)，的面積最大？并求出面積的最大值．（3）點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，作//交軸于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)寫出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．17.（2022常德中考）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值18.（2022隨州中考）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸分則點(diǎn)A和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線，且，P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖2，連接AC，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC上方時(shí)，求四邊形PABC面積的最大值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）設(shè)M為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P，M運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使四邊形PMCN為矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)P及其對(duì)應(yīng)點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．19.（2022黃岡中考）拋物線y＝x2－4x與直線y＝x交于原點(diǎn)O和點(diǎn)B，與x軸交于另一點(diǎn)A，頂點(diǎn)為D．（1）直接寫出點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）如圖1，連接OD，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)tan∠PDO＝時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，M是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，Q是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點(diǎn)E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．20.（2022龍東中考）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使的面積是面積的4倍，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．21.（2022哈爾濱中考）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求a，b的值；（2）如圖1，點(diǎn)D在該拋物線上，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)D向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)E．點(diǎn)P為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為t，的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，連接，點(diǎn)F在上，過點(diǎn)F向y軸作垂線，垂足為點(diǎn)H，連接交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作y軸的平行線與過點(diǎn)P所作的x軸的平行線相交于點(diǎn)N，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，點(diǎn)R在上，連接，若，，求直線的解析式．22.（2022賀州中考）如圖，拋物線過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）條件下，是否存在點(diǎn)M為拋物線第一象限上的點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．23.（2022廣東中考）如圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，，，點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過P作交于點(diǎn)Q．

（1）求該拋物線的解析式；（2）求面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．24.（2022福建中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，4）兩點(diǎn)．P是拋物線上一點(diǎn)，且在直線AB的上方．（1）求拋物線的解析式；（2）若△OAB面積是△PAB面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖，OP交AB于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D．記△CDP，△CPB，△CBO的面積分別為，，．判斷是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．25.（2022南陽臥龍一模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)M為該拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P在拋物線第一象限的圖象上，則面積的最大值為________．26.（2022西工大附中三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線W1與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣6），頂點(diǎn)為D（﹣2，2）．

（1）求拋物線W1表達(dá)式；（2）將拋物線W1繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線W2，拋物線W2的頂點(diǎn)為D'，在拋物線W2上是否存在點(diǎn)M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．27.（2022山西百校聯(lián)考）如圖，已知拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．連接，．（1）求拋物線的表達(dá)式，并直接寫出所在直線的表達(dá)式．（2）點(diǎn)為第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，，求四邊形面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）設(shè)點(diǎn)是所在直線上一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，