湘桂黔名校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（ 含答案解析 ）

2023年春季期湘桂黔高二年級(jí)名校大聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：考試時(shí)間120分鐘，滿分150分.第1-12小題答案用2B填涂在答題卷選擇題方框內(nèi)，第17-22小題用0.5mm黑色簽字筆寫在答題卷上各題的答題區(qū)域內(nèi).在試題卷上作答無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一元二次不等式求解B，再利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：D.2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，然后利用共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：B.3.已知平面向量，滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律可求得，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所?故選：D.4已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.為偶函數(shù) D.的最小正周期為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由余弦型函數(shù)的性質(zhì)，即對(duì)稱性，周期性，奇偶性即可得到結(jié)果.【詳解】，的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，故A選項(xiàng)不正確.，的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，故B選項(xiàng)不正確.因?yàn)?，又，即，故為偶函?shù)，故C選項(xiàng)正確.的最小正周期為，故D選項(xiàng)不正確.故選：C.5.甲乙兩人在一座7層大樓的第一層進(jìn)入電梯，假設(shè)每人從第二層開始在每一層離開電梯是等可能的，則甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是6的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出樣本空間包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，所求事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，再用古典概型概率計(jì)算公式求解即可.【詳解】將甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)配對(duì)，組成種等可能的結(jié)果，用表格表示如下：甲乙234567234567記事件“甲乙兩人離開電梯的樓層數(shù)的和是”，則事件的可能結(jié)果有種，即，所以事件的概率為：，故選：C.6.若圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，利用幾何法求弦長(zhǎng)列出方程，解方程即可.【詳解】圓與圓兩式相減，整理得公共弦所在直線方程為，又，圓心為，半徑為2，公共弦長(zhǎng)為，則圓心到直線的距離，化簡(jiǎn)得，解得：．驗(yàn)證知符合題意.故選：A7.打印屬于快速成形技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層堆疊累積的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)（即“積層造型法”．過去常在模具制造、工業(yè)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域被用于制造模型，現(xiàn)正用于一些產(chǎn)品的直接制造，特別是一些高價(jià)值應(yīng)用（比如髖關(guān)節(jié)、牙齒或一些飛機(jī)零部件等）．已知利用打印技術(shù)制作如圖所示的模型，該模型為在圓錐底內(nèi)挖去一個(gè)正方體后的剩余部分（正方體四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐母線上，四個(gè)頂點(diǎn)在圓錐底面上），圓錐底面直徑為，母線與底面所成角的正切值為．打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量約為（取，精確到A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出幾何體的截面圖，由已知求得圓錐的高，再由三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出正方體的棱長(zhǎng)，運(yùn)用圓錐與正方體的體積公式求解．【詳解】解：如圖，是幾何體的軸截面圓錐底面直徑為，半徑為，母線與底面所成角的正切值為，圓錐的高為，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，解得．該模型的體積．制作該模型所需原料的質(zhì)量約為．故選：．8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可比較，進(jìn)而可得出答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即，令，則，令，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，即，所以，所以，綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)和是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)等差數(shù)列滿足，，則下列說法正確的是（）A. B.C.不是等差數(shù)列 D.【答案】ABD【解析】【分析】先求解等差數(shù)列基本量，寫出通項(xiàng)公式，可判斷AB；再根據(jù)等差數(shù)列定義，判斷數(shù)列是等差數(shù)列；選項(xiàng)D，由裂項(xiàng)可得.【詳解】等差數(shù)列滿足，，設(shè)公差為，由，則，解得.則，故選項(xiàng)AB正確；又，則，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故C錯(cuò)誤；由，得，故D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，是C上相異兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，且，則C.若，則 D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)相等向量得F為的中點(diǎn)，利用焦半徑公式求解弦長(zhǎng)判斷A，根據(jù)焦半徑公式及點(diǎn)在拋物線上建立方程求解判斷B，根據(jù)焦半徑公式求解弦長(zhǎng)判斷C，根據(jù)拋物線的定義，把轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，從而判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以F為的中點(diǎn)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知，直線與軸垂直，所以，正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，即，又，所以，所以，解得或，錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，正確；對(duì)于D，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義得，則，當(dāng)點(diǎn)N、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且最小值為.正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為2，M，N分別是AB，的中點(diǎn)，則（）A.B.C.平面MND截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為D.三棱錐的體積為1【答案】BCD【解析】【分析】建立坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)的關(guān)系判定A，B選項(xiàng)的正誤，把截面作出來，根據(jù)截面形狀可求周長(zhǎng)，利用等體積進(jìn)行轉(zhuǎn)化可求三棱錐的體積.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，因?yàn)椋耘c不平行，A不正確；因?yàn)?，所以，B正確；如圖，取的中點(diǎn),取的中點(diǎn)，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，平面截正方體所得截面為梯形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，所以,，所以平面截此正方體所得截面的周長(zhǎng)為，C正確；由上面分析可知，，平面，平面，所以平面，即點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，，而，所以三棱錐的體積為1，D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.關(guān)于對(duì)稱 B.是周期為4的函數(shù)C. D.【答案】BC【解析】【分析】由奇偶函數(shù)的定義，推導(dǎo)的最小正周期為4及對(duì)稱性，從而判斷AB，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和已知區(qū)間的解析式計(jì)算判斷C，根據(jù)周期性求和判斷D.【詳解】定義在上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，可得，即，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，從而，故，可得的最小正周期為4，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由于，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，則，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，，所以，，，又的最小正周期?，所以每個(gè)周期的和，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)是________．（填數(shù)字）【答案】240【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為:240.14.已知，則______．【答案】【解析】【分析】已知齊次弦比式，化弦為切，求出，再由二倍角公式求出的值.【詳解】由，解得，則.故答案為：.15.已知雙曲線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且為正三角形，則雙曲線的離心率為______．【答案】##【解析】【分析】依題意畫出圖形，根據(jù)余弦定理與雙曲線的定義建立等量關(guān)系求解離心率.【詳解】由對(duì)稱性，不妨設(shè)F為右焦點(diǎn)，則在右支上，設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，依題意，三角形為正三角形，則，連接，在中，，由余弦定理得，，可得，又，即，所以.故答案為：.16.三棱錐中，，，點(diǎn)是側(cè)棱的中點(diǎn)，且，則三棱錐的外接球的表面積___________.【答案】##【解析】【分析】推導(dǎo)出平面，利用正弦定理計(jì)算出的外接圓半徑，可得出三棱錐的外接球半徑為，利用球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：圓柱的底面圓直徑為，母線長(zhǎng)為，則的中點(diǎn)到圓柱底面圓上每點(diǎn)的距離都相等，則為圓柱的外接球球心，且有.本題中，依題意，由，，得.連接，由點(diǎn)是的中點(diǎn)且，則，且，又，，則，可知，又，所以平面.可將三棱錐置于圓柱中，且的外接圓為圓，圓的半徑為，所以，三棱錐的外接球的直徑為，則，故三棱錐的外接球的表面積.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角B；（2）若，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，將等式化簡(jiǎn)即可得到，進(jìn)而求得角的值；（2）由（1）及余弦定理，結(jié)合重要不等式可求出的最大值，即可求出面積的最大值．【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，則，即，可得，因?yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，且，由余弦定理知，即，可得，又由，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積，即的面積的最大值為.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合與的關(guān)系分析可得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算；（2）可得，利用錯(cuò)位相減法分析運(yùn)算.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，由，則，可得，整理得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故．【小問2詳解】由（1）可得：，則，，兩式相減得：，所以．19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，四邊形ABCD為直角梯形，，，，，，Q為PD的中點(diǎn)．（1）求證：平面ABQ；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線線垂直，即可證明線面垂直；（2）建立適當(dāng)空間坐標(biāo)系，利用法向量，即可求解二面角的正弦值.【小問1詳解】平面，平面,,,又，且平面，平面，所以平面，所以，，為的中點(diǎn)，所以，又，且平面，平面，所以平面.【小問2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB，AD，AP分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則則設(shè)平面ABQ的法向量為，則取，則，設(shè)平面BQE的一個(gè)法向量為，則，取，則所以二面角的正弦值為，故所求二面角的正弦值為.20.第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽（FIFAWorldCupQatar2022）決賽中，阿根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國(guó)隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男?女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生40女生30合計(jì)（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？（2）社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為，女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.【答案】（1）表格見解析，有（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意，得到隨機(jī)變量的可能的取值，求得相應(yīng)的概率得到分布列，利用期望公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得到列聯(lián)表如下：喜歡足球不喜歡足球合計(jì)男生6040100女生3070100合計(jì)90110200可得，所以有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).【小問2詳解】解：由題意，人進(jìn)球總次數(shù)的所有可能取值為，可得，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望為.21.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在E上．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)F的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為橢圓E的左頂點(diǎn)，直線QA，QB分別交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)與點(diǎn)在橢圓上建立方程組求解即可；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線QA，QB的方程，求出的坐標(biāo)，再坐標(biāo)表示，將韋達(dá)定理代入證明其為定值.【小問1詳解】由題意得，又點(diǎn)在橢圓上，則，解得，故所求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由題意知直線的斜率不為，可設(shè)方程為，聯(lián)立，消得，則，設(shè)由韋達(dá)定理得，，則，且，又則直線的方程為：，令得，，同理可得，，故，由，則，則.即為定值.【點(diǎn)睛】處理圓錐曲線中定值問題的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理過程中消去變量，從而得到定值.22.函數(shù)．（1）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（2）設(shè)，證明：．【答案】（1）（2）證明