現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析理論與方法 第6章 電力系統(tǒng)潮流計(jì)算

第六章電力系統(tǒng)潮流計(jì)算1第六章電力系統(tǒng)潮流計(jì)算01概述02潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型03牛頓法潮流計(jì)算09其他潮流問題簡介08含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算05保留非線性潮流算法07交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算06非線性規(guī)劃潮流算法04P-Q分解法潮流計(jì)算2第一節(jié)概述3概述

4第一節(jié)電力系統(tǒng)潮流計(jì)算：潮流計(jì)算的作用：根據(jù)給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及運(yùn)行條件，求出整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的運(yùn)行狀態(tài)（母線電壓、功率分布以及功率損耗）。離線：規(guī)劃設(shè)計(jì)、運(yùn)行方式選擇、優(yōu)化計(jì)算、故障分析以及靜、暫態(tài)穩(wěn)定計(jì)算。在線：實(shí)時(shí)安全監(jiān)控(SCADA/EMS)。是電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)分析的最基本內(nèi)容。概述

5第一節(jié)潮流計(jì)算的基本要求：-----評價(jià)各種潮流算法性能時(shí)所依據(jù)的主要標(biāo)準(zhǔn)。算法的可靠性和收斂性計(jì)算速度和內(nèi)存占用量計(jì)算的方便性和靈活性第二節(jié)

潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型6

潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

7第二節(jié)潮流計(jì)算中的節(jié)點(diǎn)分類普遍采用的是節(jié)點(diǎn)法，節(jié)點(diǎn)電壓與節(jié)點(diǎn)電流之間的關(guān)系為-----潮流計(jì)算問題最基本的方程式，非線性代數(shù)方程式。其展開式分別為或

潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

8第二節(jié)PQ節(jié)點(diǎn)給定量：P,Q待求量：V,θ變電站，發(fā)電廠母線絕大多數(shù)節(jié)點(diǎn)PV節(jié)點(diǎn)給定量：P,V待求量：Q,θ有足夠可調(diào)無功又稱為電壓控制節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)給定量：V,θ待求量：P,Q只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)一般選擇主調(diào)頻發(fā)電廠，出線最多的發(fā)電廠作為平衡節(jié)點(diǎn)潮流計(jì)算中的節(jié)點(diǎn)分類

潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型9交流電力系統(tǒng)中的復(fù)數(shù)電壓變量可以用兩種坐標(biāo)形式來表示：或而復(fù)數(shù)導(dǎo)納為節(jié)點(diǎn)功率方程第二節(jié)

潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

10潮流方程的直角坐標(biāo)形式為潮流方程的極坐標(biāo)形式為第二節(jié)潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型11潮流方程更簡潔的表示方式

式中：p、u、x分別表示擾動變量、控制變量、狀態(tài)變量，潮流計(jì)算的含義就是針對某個(gè)擾動變量，根據(jù)給定的控制變量，求出相應(yīng)的狀態(tài)變量。第二節(jié)潮流計(jì)算的數(shù)學(xué)模型

12第二節(jié)潮流計(jì)算的約束條件所有節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)電壓幅值01電源節(jié)點(diǎn)有功無功功率02節(jié)點(diǎn)之間的電壓相角差03第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算13牛頓法潮流計(jì)算14牛頓法的基本原理第三節(jié)

牛頓法在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法。其要點(diǎn)是把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)地對相應(yīng)的線性方程式進(jìn)行求解的過程。對于非線性代數(shù)方程組即在待求量x的某一個(gè)初始估計(jì)值x(0)附近，將上式展開成泰勒級數(shù)并略去二階及以上的高階項(xiàng)，得到如下的經(jīng)線性化的方程組上式稱之為牛頓法的修正方程式。牛頓法潮流計(jì)算

15由此可以求得第一次迭代的修正量將初值與修正量相加，得到變量的第一次修正值。因此從一定的初值x(0)

出發(fā)，應(yīng)用牛頓法求解的迭代格式為牛頓法的基本原理第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算16可見，牛頓法的核心便是反復(fù)形成并求解修正方程式的過程。迭代過程一直進(jìn)行到滿足以下收斂判據(jù)為止?；蚴街校菏穷A(yù)先給定的小正數(shù)。第三節(jié)17可見：用牛頓法求方程的根，初始值的選取十分重要。如用：則由牛頓迭代公式得算得：如用：算得：例：用牛頓法求方程

在

附近的一個(gè)根。

第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

18牛頓法潮流計(jì)算的修正方程式直角坐標(biāo)形式對每個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，還有公式：采用直角坐標(biāo)系形式的修正方程式為第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

19雅克比矩陣各元素表示式第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

20牛頓法潮流計(jì)算

第三節(jié)極坐標(biāo)形式令，則采用極坐標(biāo)形式的潮流方程是：對每個(gè)PQ節(jié)點(diǎn),有將上述方程式在某個(gè)近似解附近用泰勒級數(shù)展開，并略去二階及以上的高階項(xiàng)后，得到以矩陣形式表示的修正方程式為對每個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)及PV節(jié)點(diǎn)，根據(jù)式（6-10），有21雅克比矩陣各元素表示式第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

22仔細(xì)分析以上兩種類型的修正方程式，可以看出兩者具有以下的共同特點(diǎn)。第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

A修正方程式的數(shù)目分別為2(n-1)-m及2(n-1)個(gè)，在PV節(jié)點(diǎn)所占比例不大時(shí)，兩者的方程式數(shù)目基本接近2(n-1)個(gè)。B雅可比矩陣的元素都是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，每次迭代，雅可比矩陣都需要重新形成。C分析雅可比矩陣的非對角元素的表示式可見，某個(gè)非對角元素是否為零決定于相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素是否為零。因此如將修正方程式按節(jié)點(diǎn)號的次序排列，井將雅可比矩陣分塊，把每個(gè)2×2的子陣作為一個(gè)元素，則按節(jié)點(diǎn)順序而成的分塊雅可比矩陣將和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣具有同樣的稀疏結(jié)構(gòu)，是一個(gè)高度稀疏的矩陣。D和節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣具有相同稀疏結(jié)構(gòu)的分塊雅可比矩陣在位置上對稱，但由于數(shù)值上不等，說以，雅可比矩陣是一個(gè)不對稱矩陣。23修正方程式的處理和求解修正方程式的處理技巧01“壓縮”存儲。只儲存其非零元素，且只有非零元素才參加運(yùn)算。03節(jié)點(diǎn)編號優(yōu)化(消元的最優(yōu)順序)。02修正方程式的求解采取邊形成、邊消元、邊存儲的方式。第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

24牛頓法的求解過程牛頓法潮流計(jì)算首先要輸人網(wǎng)絡(luò)的原始數(shù)據(jù)以及各節(jié)點(diǎn)的給定值并形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣；輸入節(jié)點(diǎn)電壓初值

和

置迭代次數(shù)k=0；然后開始進(jìn)人牛頓法的迭代過程。在進(jìn)行第k+1次迭代時(shí)，其計(jì)算步驟如下(以直角坐標(biāo)形式為例)。第三節(jié)牛頓法潮流計(jì)算

牛頓法潮流計(jì)算25牛頓潮流算法的性能分析收斂速度快。如果初值選擇較好，算法將具有平方收斂性，一般迭代4~5次便可以收斂到一個(gè)非常精確地解，而且其迭代次數(shù)與計(jì)算的網(wǎng)絡(luò)規(guī)?；緹o關(guān)良好的收斂可靠性。甚至對于病態(tài)的系統(tǒng)，牛頓法均能可靠地收斂。優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)啟動初值要求高。

，或用高斯—賽德爾法迭代1—2次作為初值。計(jì)算量大、占用內(nèi)存大。由于雅可比矩陣元素的數(shù)目約為2(n-1)×2(n-1)個(gè)，且其數(shù)值在迭代過程中不斷變化，因此每次迭代的計(jì)算量和所需的內(nèi)存量較大。第三節(jié)第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算26P-Q分解法潮流計(jì)算27P-Q分解法的基本原理第四節(jié)P-Q

分解法派生于以極坐標(biāo)形式表示的牛頓法；首先高壓電力系統(tǒng)中X

>>R，即有功功率的變化主要決定于電壓相位角的變化，而無功功率的變化主要取決于電壓幅值的變化。極坐標(biāo)形式的牛頓潮流計(jì)算法的修正方程為：P-Q分解法潮流計(jì)算28于是得到如下兩個(gè)已經(jīng)解耦的方程組

這一步簡化將原來的2n-2-m階的方程式分解為一個(gè)n-1階和一個(gè)n-m-1階的方程，大大節(jié)省了內(nèi)存量和解題時(shí)間，但是H和L的元素仍然是節(jié)點(diǎn)電壓函數(shù)且不對稱。2）與節(jié)點(diǎn)無功功率相對應(yīng)的導(dǎo)納通常遠(yuǎn)小于節(jié)點(diǎn)的自導(dǎo)納，也即算法的進(jìn)一步并且也是很關(guān)鍵的一步簡化是基于在實(shí)際的高壓電力系統(tǒng)中，下列的假設(shè)一般都能成立。1）線路兩端的相角差不大（小于），而且第四節(jié)（6-37）（6-38）P-Q分解法潮流計(jì)算

29考慮1）、2）之后矩陣H和L各元素的表達(dá)式可簡化為：于是H和L可表示成式中，U是由各節(jié)點(diǎn)電壓幅值組成的對角陣。將式（6-43）帶入（6-37），（6-38）并加以整理，可得P-Q分解法修正方程式為：第四節(jié)（6-43）（6-44）（6-45）30通過這一步簡化，修正方程式中的系數(shù)矩陣由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，從而是常數(shù)矩陣。在實(shí)際的P-Q分解法程序中，為了提高收斂速度，對它們的構(gòu)成作了下面一些修改：(6-46)(6-47)⑶當(dāng)潮流程序中要求考慮負(fù)荷靜態(tài)特性時(shí)，中對角元素除導(dǎo)納矩陣對角元素的虛部以外，還要附加反映負(fù)荷靜態(tài)特性的部分。于是，目前通用的快速解耦潮流算法的修正方程式可寫成⑵為了減少在迭代過程中無功功率及節(jié)點(diǎn)電壓幅值對有功迭代的影響，將（6-44）右端U各元素均置為標(biāo)幺值1.0。⑴在中盡量去掉那些對有功功率及電壓相角影響較小的因素，如略去變壓器非標(biāo)準(zhǔn)電壓比和輸電線路充電電容的影響；在中盡量去掉那些對無功功率及電壓幅值影響較小的因素，如略去輸電線路電阻的影響。第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算31這里的與不僅階數(shù)不同，而且其相應(yīng)元素的構(gòu)成也不相同，具體計(jì)算公式為式中，及分別為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣相應(yīng)元素；為節(jié)點(diǎn)i的總并聯(lián)對地電納；及為相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)元件的電阻及電抗；表示號后標(biāo)號為j的節(jié)點(diǎn)必須和節(jié)點(diǎn)i直接相連，但不包括j=i的情況。第四節(jié)32P-Q分解法的特點(diǎn)和性能分析P-Q分解法修正方程式的特點(diǎn)123用一個(gè)n-1階和一個(gè)m階的線性方程組代替了牛頓法的n-1+m階線性方程組，顯著地減少了內(nèi)存需求量及計(jì)算量。系數(shù)矩陣B’和B’’為常數(shù)矩陣。因此，不必像牛頓法那樣每次迭代都要形成雅可比矩陣并進(jìn)行三角分解。系數(shù)矩陣B’和B’’是對稱矩陣。因此，只需要形成并貯存因子表的上三角或下三角部分，這樣又減少了三角分解的計(jì)算量并節(jié)約了內(nèi)存。第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算33牛頓法和P-Q解耦法的典型收斂特性NR—牛頓法FDLF—快速解耦法第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算341LOREM

右面給出了快速解耦法的程序原理框圖，其中KP和KQ分別是表征有功和無功迭代收斂情況的記錄單元。第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算35快速解耦法是在X>>R基礎(chǔ)上進(jìn)行的，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)元件大R/X比值病態(tài)問題時(shí)，算法會不收斂?？朔椒ǎ簩λ惴右愿倪M(jìn)對B元素采用不同取值方法。BX法改為XB法。補(bǔ)償法串聯(lián)補(bǔ)償法并聯(lián)補(bǔ)償法12第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算元件R/X大比值的病態(tài)問題36配網(wǎng)潮流計(jì)算法因此，配電網(wǎng)不適用P-Q分解法等常規(guī)潮流算法。目前常用的方法有：

前推回推算法AB回路阻抗算法C牛頓法配網(wǎng)有時(shí)需考慮三相潮流計(jì)算配網(wǎng)自身的特點(diǎn)：環(huán)形結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、開環(huán)運(yùn)行方式（輻射狀線路）01存在大R/X比值問題02第四節(jié)P-Q分解法潮流計(jì)算第五節(jié)保留非線性潮流算法37保留非線性潮流算法直角坐標(biāo)形式的潮流方程為由上式可見，采用直角坐標(biāo)形式時(shí)，潮流問題實(shí)際上就是求解一個(gè)不含變量一次項(xiàng)的二次代數(shù)方程組。對這樣的方程組用泰勒級數(shù)展開，則二階項(xiàng)系數(shù)已是常數(shù)，沒有二次以上的高階項(xiàng)，所以泰勒級數(shù)只要取三項(xiàng)就能夠得到一個(gè)沒有截?cái)嗾`差的精確展開式。而牛頓法出于線性近似，略去了高階項(xiàng)，因此用每次迭代所求得的修正量對上一次的估計(jì)值加以改進(jìn)后，僅是向真值接近了一步而已。保留非線性潮流算法的數(shù)學(xué)模型第五節(jié)3839為了推導(dǎo)算法的方便，將上述潮流方程寫成更普遍的齊次二次方程的形式。作以下定義：一個(gè)具有n個(gè)變量的齊次代數(shù)方程式的普遍形式為：（6-55）第五節(jié)保留非線性潮流算法40于是，潮流方程組就可以寫成如下的矩陣形式：系數(shù)矩陣A為：（6-56）（6-58）第五節(jié)保留非線性潮流算法（6-57）或41保留非線性潮流算法的基本原理泰勒級數(shù)展開式（6-59）對式（6-55）在初值附近進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，可得到如下沒有截?cái)嗾`差的精確展開式：第五節(jié)保留非線性潮流算法42（6-61）第五節(jié)保留非線性潮流算法得到與（6-56）對應(yīng)的精確泰勒展開式為：（6-60）43（6-63）第五節(jié)保留非線性潮流算法式（6-60）的第三項(xiàng)相當(dāng)復(fù)雜，研究證明可以將其改寫成如下形式：具體證明-------見課本第111頁。該式是一個(gè)非常重要的關(guān)系式，它促成了本算法的突破，使二階項(xiàng)的計(jì)算非常方便。H是一個(gè)常數(shù)矩陣，其階數(shù)很高，但高度稀疏。44數(shù)值計(jì)算迭代公式式（6-63）是一個(gè)以作為變量的二次代數(shù)方程組，從一定的初值出發(fā)，求解滿足該式的解仍然要采用迭代的方法。式（6-63）可改寫成：（6-69）于是，算法的具體迭代公式為：算法的收斂判據(jù)是：也可以采用相鄰兩次迭代的二階項(xiàng)之差作為收斂判據(jù)，即：（6-70）（6-71）（6-72）第五節(jié)保留非線性潮流算法45保留非線性快速潮流算法的原理框圖如右圖所示。第五節(jié)保留非線性潮流算法46保留非線性潮流算法的特點(diǎn)和性能分析保留非線性快速潮流算法的特點(diǎn)可以通過和牛頓法進(jìn)行比較而得出。設(shè)求解的方程是：那么，牛頓法的迭代公式：保留非線性潮流算法的迭代公式：第五節(jié)保留非線性潮流算法47由迭代公式可見，與牛頓法的在迭代過程中變化的雅可比矩陣不同，保留非線性快速潮流算法采用的是初值x(0)計(jì)算而得到的恒定雅可比矩陣，整個(gè)計(jì)算過程只需形成一次。

總結(jié)兩者的特點(diǎn)，對比如下：以上非線性算法采用直角坐標(biāo)系形式，不含變量一次項(xiàng)的二次代數(shù)方程組；保留非線性算法可以是任意坐標(biāo)形式，并且對f(x)的數(shù)學(xué)性質(zhì)沒有限制（推導(dǎo)略）。A對于牛頓法，J陣可變，而保留非線性算法J陣恒定，對初值要求高；B保留非線性算法二階項(xiàng)計(jì)算非常簡單，x(k+1)次迭代都是從x(0)開始；C從迭代次數(shù)上說，牛頓法少；保留非線性算法總計(jì)算速度提高，接近P-Q

分解法；收斂可靠性比牛頓法、P-Q分解法都高；第五節(jié)保留非線性潮流算法48保留非線性潮流算法迭代過程圖6-8是兩種算法迭代過程的比較：

牛頓法迭代過程

圖6-8第五節(jié)保留非線性潮流算法49采用相鄰兩次迭代的二階項(xiàng)之差作為收斂判據(jù)？定義：用恒定不變的由變量初始值計(jì)算得到的雅可比矩陣進(jìn)行整個(gè)牛頓法迭代過程的計(jì)算圖6-8中圖示迭代過程快速解耦法←牛頓法→保留非線性算法定雅可比牛頓法（補(bǔ)充）總結(jié)：第五節(jié)保留非線性潮流算法第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法50非線性規(guī)劃潮流算法51潮流計(jì)算問題的實(shí)質(zhì)就是求解一個(gè)非線性代數(shù)方程組，通過對電力系統(tǒng)固有的物理特性相結(jié)合，已經(jīng)提出了多種求解該方程組的有效算法。在實(shí)際計(jì)算中，對于一些病態(tài)系統(tǒng)（如重負(fù)荷系統(tǒng)、具有梳子狀放射結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)等），卻往往會出現(xiàn)計(jì)算過程震蕩甚至不收斂的現(xiàn)象?，F(xiàn)象出現(xiàn)的原因：1）由于潮流算法本身不夠完善？2）從一定初值出發(fā)，在給定的運(yùn)行條件下，從數(shù)學(xué)上來講，非線性潮流方程組本來就是無解的？第六節(jié)52潮流計(jì)算問題在數(shù)學(xué)上可以表示為求某一個(gè)由潮流方程構(gòu)成的函數(shù)的最小值問題，以此代替代數(shù)方程組的直接求解，稱之為非線性規(guī)劃潮流計(jì)算法。該方法的顯著特點(diǎn)是從原理上保證了計(jì)算過程永遠(yuǎn)不會發(fā)散。本節(jié)：數(shù)學(xué)規(guī)劃原理和牛頓潮流算法的有機(jī)結(jié)合——帶有最優(yōu)乘子的牛頓算法，簡稱最優(yōu)乘子法。有效的解決了病態(tài)電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算問題。第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法53非線性規(guī)劃潮流算法的數(shù)學(xué)模型設(shè)將潮流計(jì)算問題概括為求解如下的非線性代數(shù)方程組或式中：x為待求的n維向量，bi為給定的常量。i=(1,2,…,n)可以構(gòu)造標(biāo)量函數(shù)為：或第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法54若式f(x)=0表示的非線性代數(shù)方程組的解存在，則以平方和形式出現(xiàn)的標(biāo)量函數(shù)F(x)的最小值應(yīng)該為零。若此最小值不能變?yōu)榱?，則說明不存在能滿足原方程組的解。這樣，就把原來的解代數(shù)方程組的問題轉(zhuǎn)化為求。從而使的問題。

從而可將潮流計(jì)算問題歸為如下的非線性規(guī)劃問題：這里沒有附加的約束條件，因此在數(shù)學(xué)規(guī)劃中屬于無約束非線性規(guī)劃的范疇。第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法55要求出目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)，按照數(shù)學(xué)規(guī)劃的方法，通常由下述步驟組成（k為迭代次數(shù)）：非線性規(guī)劃潮流算法的計(jì)算過程確定一個(gè)初始估計(jì)值x(0)置迭代次數(shù)k=0從x(k)出發(fā)，按照能使目標(biāo)函數(shù)下降的原則，確定一個(gè)搜索或?qū)?yōu)方向沿著搜索方向確定能使目標(biāo)函數(shù)下降得最多的一個(gè)點(diǎn)，也就是決定移動的步長。由此得到了一個(gè)新的迭代點(diǎn)，即校驗(yàn)是否成立。如成立，則就是要求的解；否則，令，轉(zhuǎn)向步驟⑶，重復(fù)循環(huán)計(jì)算。第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法56式中：為步長因子，其數(shù)值的選擇應(yīng)使目標(biāo)函數(shù)下降最多，用算式表示為由此可見，為了求得問題的解，關(guān)鍵要解決兩個(gè)問題：⑴確定第k次迭代的搜索方向；⑵確定第k次迭代的最優(yōu)步長因子

。下圖6-9所示為應(yīng)用上述步驟求目標(biāo)函數(shù)最小值的過程，這里假設(shè)變量向量是二維的。第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法57帶有最優(yōu)乘子的牛頓潮流算法作為搜索方向，并稱之為目標(biāo)函數(shù)在處的牛頓方向。接著是如何決定最優(yōu)步長因子的問題。對一定的，目標(biāo)函數(shù)是步長因子的一個(gè)一元函數(shù)為了改進(jìn)上述的非線性規(guī)劃潮流算法，首先在決定搜索方向的問題上，利用常規(guī)牛頓潮流算法每次迭代所求出的修正量向量問題的關(guān)鍵是如何寫出這個(gè)一元函數(shù)的解析表達(dá)式。如果有了它，則可以很容易地通過下式而求得第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法58采用直角坐標(biāo)的潮流方程的泰勒展開式（保留非線性項(xiàng)）可以精確地表示為引入標(biāo)量乘子以調(diào)節(jié)變量x的修正步長，于是有其中第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法59簡明起見，定義如下向量上式對求導(dǎo)，令其等于零，由此可以求得最優(yōu)乘子于是，可以簡寫成原來的目標(biāo)函數(shù)可以寫為第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法60將上式展開，可得其中上式是一個(gè)關(guān)于的三次代數(shù)方程，可以用卡丹公式或牛頓法等求解，所得的解就是。第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法61帶有最優(yōu)乘子的牛頓算法的具體應(yīng)用為計(jì)算最優(yōu)乘子而增加的計(jì)算量很少，見圖6-10。⑴從一定的初值出發(fā)，原來的潮流問題有解。目標(biāo)函數(shù)

⑵從一定初值出發(fā)原來的潮流問題無解。這種情況的原因可能是解存在，但計(jì)算精度不夠。⑶有別于以上兩種情況?？梢苑殖梢韵氯N不同情況：第六節(jié)非線性規(guī)劃潮流算法第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算62交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算63

由于增加了直流系統(tǒng)變量，交直流電力系統(tǒng)的潮流計(jì)算就與純交流系統(tǒng)潮流計(jì)算有所不同。在純交流系統(tǒng)中，決定潮流分布的是節(jié)點(diǎn)的電壓大小和相角。交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算:根據(jù)交流系統(tǒng)各節(jié)點(diǎn)給定的負(fù)荷和發(fā)電情況，結(jié)合直流系統(tǒng)指定的控制方式，通過計(jì)算來確定整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)。目前廣泛采用的交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算方法：1統(tǒng)一解法2順序解法第七節(jié)64統(tǒng)一解法:以極坐標(biāo)形式的牛頓法為基礎(chǔ)，將直流系統(tǒng)方程和交流系統(tǒng)方程統(tǒng)一進(jìn)行迭代求解。潮流雅可比矩陣除包括交流電網(wǎng)參數(shù)外，還包括直流換流器和直流輸電線路的參數(shù)。順序解法:在迭代過程中，將直流系統(tǒng)方程和交流系統(tǒng)方程分別進(jìn)行求解。在求解交流系統(tǒng)方程時(shí)，將直流系統(tǒng)用接在相應(yīng)節(jié)點(diǎn)上的已知其有功功率和無功功率的負(fù)荷來等值。而在求解直流系統(tǒng)方程時(shí)，將交流系統(tǒng)模擬成加在換流器交流母線上的一個(gè)恒定電壓。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算65式中:IdcB

,IB分別為直流系統(tǒng)和交流系統(tǒng)的基準(zhǔn)電流。潮流計(jì)算時(shí)，交流系統(tǒng)通常采用標(biāo)幺制，因此直流系統(tǒng)也應(yīng)采用標(biāo)幺制。因此，需要將換流器的基本方程化為標(biāo)幺制下的形式以與交流系統(tǒng)相連接。本書選取直流系統(tǒng)的基準(zhǔn)功率和基準(zhǔn)電壓與交流系統(tǒng)相等，即式中：SdcB,SB分別是直流系統(tǒng)和交流系統(tǒng)的基準(zhǔn)功率；VdcB

,VB分別為直流系統(tǒng)和交流系統(tǒng)的基準(zhǔn)電壓。由于因此直流系統(tǒng)的標(biāo)幺制第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算66式中：為直流系統(tǒng)阻抗基準(zhǔn)值。

前面得到的6脈波換流器的有名值基本方程歸納如下。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算

67根據(jù)以上選定的基準(zhǔn)值，其標(biāo)幺方程式如下。式中：對于整流器為，對于逆變器則為。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算68為方便，采用標(biāo)幺值時(shí)將省去下標(biāo)。對于每極具有Nb個(gè)6脈波橋串聯(lián)、極數(shù)為Np的直流輸電系統(tǒng)，標(biāo)幺值方程為：直流線路穩(wěn)態(tài)方程為

第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算69交直流潮流的牛頓法（統(tǒng)一解法）（補(bǔ)充）例：常規(guī)交流潮流計(jì)算—帶負(fù)荷調(diào)壓下圖中節(jié)點(diǎn)1為PV節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)2~4為PQ節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)5為平衡節(jié)點(diǎn)。潮流計(jì)算中帶負(fù)荷調(diào)壓變壓器的變比應(yīng)自動選擇調(diào)整，使節(jié)點(diǎn)3的電壓維持為給定值U。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算70對于該簡單系統(tǒng)，用常規(guī)牛頓法求解的修正方程式為為了要維持U3

為給定值U3s，在計(jì)算中將原來的變量U3

看成是等于U3s

的一個(gè)常量，而以變壓器變比K取代U3

成為變量，第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算71于是上式將變?yōu)槿缦滦问剑悍椒偨Y(jié)：改變原來潮流方程的構(gòu)成，增加或改寫其中的一些方程式，待求變量的組成以及迭代矩陣（J）結(jié)構(gòu)也有所變化。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算72統(tǒng)一解法—交直流系統(tǒng)潮流方程組—采用收斂性較好的牛頓法。為了方便交直流混合系統(tǒng)潮流計(jì)算數(shù)學(xué)模型的建立，將整個(gè)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)分為直流節(jié)點(diǎn)和純交流節(jié)點(diǎn)。直流節(jié)點(diǎn)與換流變壓器一次側(cè)相連的節(jié)點(diǎn)（圖5-17t）純交流節(jié)點(diǎn)是指沒有換流變壓器與其相連的節(jié)點(diǎn)。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算73對于純交流節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)功率方程式與純交流系統(tǒng)完全相同，即式中：j可能是純交流節(jié)點(diǎn)也可能是直流節(jié)點(diǎn)；nac為純交流節(jié)點(diǎn)數(shù)。其節(jié)點(diǎn)功率偏差向量記為，則式中：分別為給定的節(jié)點(diǎn)有功功率和無功功率向量；分別為節(jié)點(diǎn)注入有功功率和無功功率相量。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算74對于直流節(jié)點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)功率偏差向量記為，則

（6-108）式中：分別為給定的節(jié)點(diǎn)有功功率和無功功率向量；為注入直流系統(tǒng)的有功功率和無功功率向量。分別為注入交流系統(tǒng)的用功功率和無功功率向量。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算75對于每一個(gè)換流器，包括以下5個(gè)方程：換流器基本方程（6-103）中的第二、第三個(gè)方程直流網(wǎng)絡(luò)方程（6-105）以及整流器和逆變器的兩個(gè)控制方程直流系統(tǒng)變量它滿足以下方程第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算76對于交直流電力系統(tǒng)潮流方程式，采用極坐標(biāo)形式的牛頓法求解時(shí)，其修正方程式為由于直流系統(tǒng)中的注入功率只與節(jié)點(diǎn)電壓的大小有關(guān)，而與節(jié)點(diǎn)電壓的相角無關(guān)，因此，由H、N、M、L

構(gòu)成的原交流系統(tǒng)的雅可比矩陣中只有Ntt和Ltt要發(fā)生變化，其余的元素都不變。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算77由（6-108）可得Ntt和Ltt的變化量為另外雅可比矩陣中交直流電力系統(tǒng)的潮流問題可按照牛頓法求解傳統(tǒng)潮流的計(jì)算流程求解。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算78

順序解法的基本思想是：迭代計(jì)算過程中，將交流系統(tǒng)潮流方程和直流系統(tǒng)潮流方程分別單獨(dú)進(jìn)行求解。在求解交流系統(tǒng)方程時(shí)，將直流系統(tǒng)換流站處理成接在相應(yīng)交流節(jié)點(diǎn)上的一個(gè)等效P.Q負(fù)荷。而在求解直流系統(tǒng)方程時(shí)，將交流系統(tǒng)模擬成加在換流站交流母線上的一個(gè)恒定電壓。交直流潮流的順序解法第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算791換流器參數(shù)和直流輸電電流Id已知，用估計(jì)的換流器交流電壓計(jì)算直流輸電作為負(fù)荷吸收的有功功率和無功功率。2用已知負(fù)荷求解交流潮流，得到換流器交流電壓的改進(jìn)值；3重復(fù)以上兩步驟，直到交流潮流收斂并滿足直流輸電的運(yùn)行條件為止。順序解法的步驟如下下面以兩端直流輸電的交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算為例，根據(jù)不同的已知條件和換流器控制方式，介紹順序法的求解過程。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算80⑴直流系統(tǒng)運(yùn)行在控制方式一設(shè)整流側(cè)定電流控制，逆變側(cè)定息弧角控制。即有且已知換流器交流母線的電壓，直流潮流計(jì)算主要有兩種情況：1）若已知換流變壓器變比。計(jì)算可從逆變側(cè)開始，有第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算81然后計(jì)算整流側(cè)電量：式中，作為輸出，將用于交流潮流的下一次迭代中。在計(jì)算角時(shí)，應(yīng)校驗(yàn)，可調(diào)整電壓比Kr，使在期望的范圍內(nèi)，否則應(yīng)轉(zhuǎn)入控制方式二，并按控制方式二進(jìn)行潮流計(jì)算。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算822）若換流變壓器電壓比Kr、Ki未知，通常要求在潮流計(jì)算中整定電壓比Kr、Ki，使。此時(shí)的潮流計(jì)算順序?yàn)楦鶕?jù)可得由分別解出Kr、Ki。然后計(jì)算。然后計(jì)算交流潮流。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算83⑵直流系統(tǒng)運(yùn)行在控制方式二在Kr和Ki已知的條件下，由于觸發(fā)角已知，故由整流側(cè)向逆變側(cè)作直流電量計(jì)算。計(jì)算順序如下：即整流側(cè)定最小觸發(fā)角、逆變側(cè)定電流控制。即首先計(jì)算整流側(cè)電量第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算84作為輸出，將用于交流潮流的下一次迭代中。然后計(jì)算逆變側(cè)直流電量第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算85將方程即整流側(cè)定最小觸發(fā)角控制、逆變側(cè)定角控制。一般情況下只需考慮控制方式一和控制方式二，但是，對于伴有穩(wěn)定性研究的潮流解就有必要考慮控制方式三。計(jì)算順序如下：⑶直流系統(tǒng)運(yùn)行在控制方式三聯(lián)立求解可得首先計(jì)算線路的電流第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算86求得電流后，可進(jìn)一步求得，于是可按如下方程求得直流系統(tǒng)作為負(fù)荷的功率。第七節(jié)交直流電力系統(tǒng)潮流計(jì)算第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算8788含柔性輸電元件的電力系統(tǒng)潮流控制及潮流計(jì)算問題基本上可以分為兩大類：第一類是根據(jù)具體的柔性輸電元件的功能和系統(tǒng)運(yùn)行的需要給出潮流控制目標(biāo)，通過計(jì)算獲得電力系統(tǒng)的潮流和柔性輸電元件的控制參數(shù)。01第二類是給定柔性輸電元件的控制參數(shù)，通過計(jì)算獲得系統(tǒng)的潮流。02當(dāng)柔性輸電元件被用于直接控制其安裝地點(diǎn)的運(yùn)行參數(shù)，如節(jié)點(diǎn)電壓的幅值、線路的有功、無功功率時(shí)，采用第一類。0102在優(yōu)化系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，柔性輸電元件可以間接的控制非安裝地點(diǎn)的運(yùn)行參數(shù)，這時(shí)采用第二類。第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算89SVC和STATCOM都屬于并聯(lián)型裝置，在潮流計(jì)算中可以將它們看作一個(gè)并聯(lián)在節(jié)點(diǎn)上的電容或電抗，向系統(tǒng)注入或從系統(tǒng)吸收無功功率。在潮流計(jì)算中，將裝有SVC或STATCOM的節(jié)點(diǎn)作為PV節(jié)點(diǎn)即可。含SVC和STATCOM的潮流計(jì)算第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算90UPFC可以同時(shí)控制節(jié)點(diǎn)電壓和線路輸送的有功及無功功率含UPFC的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的任務(wù)是：對于系統(tǒng)的某運(yùn)行方式和UPFC的控制目標(biāo)，計(jì)算系統(tǒng)所有節(jié)點(diǎn)電壓的幅值與相角和UPFC的控制參數(shù)。這種解耦算法可以方便地與傳統(tǒng)的牛頓法潮流計(jì)算相結(jié)合，在迭代過程中僅需對雅可比矩陣進(jìn)行少量的修正，因而完全保留了傳統(tǒng)牛頓法潮流計(jì)算的收斂性。（下面介紹該算法）含UPFC的潮流計(jì)算將UPFC的控制目標(biāo)方程及交流節(jié)點(diǎn)功率方程統(tǒng)一迭代的算法；采用附加節(jié)點(diǎn)注入功率的基本方法，將UPFC與電力系統(tǒng)解耦的算法等。具體方法有很多，如第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算91下圖給出了穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型(其中功率為P+jQ)

：設(shè)UPFC將線路輸送功率控制為式中：Ps和Qs為給定常數(shù)。于是線路阻抗上流過的電流為第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算92考慮到線路電阻消耗的有功功率后，即可得到Psj的表達(dá)式。由于穩(wěn)態(tài)時(shí)UPFC既不吸收也不發(fā)出有功功率，因此，Pij=Psj。于是對于無功，由于第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算93進(jìn)一步可得其中于是從上面的推導(dǎo)可見，UPFC從節(jié)點(diǎn)i

抽出的功率可以用節(jié)點(diǎn)電壓和支路功率表達(dá)而與UPFC的控制參數(shù)

無關(guān)。參數(shù)Iq的存在正體現(xiàn)了UPFC的并聯(lián)補(bǔ)償功能獨(dú)立于線路潮流控制。第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算94經(jīng)UPFC所在的線路從節(jié)點(diǎn)j

抽出的功率被UPFC控制為常數(shù)。因此，用上述節(jié)點(diǎn)功率等值UPFC使潮流計(jì)算與UPFC完全解耦。第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算95潮流計(jì)算收斂后，計(jì)算UPFC的控制參數(shù)。(王錫凡《現(xiàn)代電力系統(tǒng)分析》)TCSC:ThyristorControlledSeriesCompensation當(dāng)節(jié)點(diǎn)i

的電壓幅值受UPFC控制而為常數(shù)時(shí)，則節(jié)點(diǎn)i為PV節(jié)點(diǎn)，顯然節(jié)點(diǎn)i

的無功方程不參加迭代，在潮流獲解后由下方程求出所需的Iq。第八節(jié)含柔性輸電原件的電力系統(tǒng)潮流計(jì)算96基于電壓源換流器的高壓直流輸電（VoltageSourceConverterbasedHighVoltageDirectCurrentTransmission，VSC-HVDC）