2022-2023學年河南省洛陽市高一下學期期末質量檢測數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省洛陽市2022-2023學年高一下學期期末質量檢測數學試題本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結束，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內，點對應的復數的模等于（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因為，所以對應復數為，其模為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，所以，又集合，所以故選：D3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二倍角正弦公式可得，故選：A4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項A錯誤；對于選項B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內，故選項B錯誤；對于選項C，因為，所以直線的方向向量互相垂直，又，則，故選項C正確；對于選項D，若，，，則或異面，故選項D錯誤.故選：C.5.從A班隨機抽一名學生是女生的概率是，從B班隨機抽一名學生是女生的概率是，現從兩個班各隨機抽一名學生，那么兩名學生不全是女生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，所以兩名學生不全是女生的概率是，故選：A6.已知是偶函數，則a=（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗根據偶函數的定義：即，得，即，可得，即，故選：A7.如圖，二面角為，點，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意：，，，的夾角為，所以，,，，所以故選：D8.已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：因為單位圓O是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當共線反向時，取到最大值1，故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某廠7月生產A型、B型產品共900件，其中A型400件．按型號進行分層，用分層隨機抽樣的方法，從7月產品中抽取一個容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（）A.應抽取的A型產品件數為20B.應抽取的B型產品件數為25C.應抽取的A型產品件數為25D.應抽取的B型產品件數為20〖答案〗AB〖解析〗應抽取的A型產品件數為，應抽取的B型產品件數為，故選：AB10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為直線B.在上單調遞增C.的圖象可由函數圖象向右平移個單位得到D.函數是奇函數〖答案〗AC〖解析〗對于A，,所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；對于B，時，，因為，所以在上不單調，故B錯誤；對于C，函數圖象向右平移個單位得到,所以的圖象可由函數圖象向右平移個單位得到，故C正確；對于D，，為偶函數，故D錯誤.故選:AC.11.在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，則下列結論正確的是（）A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.D.異面直線MN與所成角的正弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連接，因為M，N分別是，的中點，所以∥，因為在正方體中，∥，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，所以A正確，對于B，連接，由選項A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，因為M，N分別是，的中點，所以，因為，所以，因為，所以≌，所以，因為∥，，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，對于C，連接，因為∥，所以與所成的角為，因在正方體中，，所以為正三角形，所以，所以與不垂直，所以C錯誤，對于D，因為∥，所以異面直線MN與所成角為，因為平面，平面，所以在中，，則，所以，所以D正確，故選：ABD12.設函數的定義域為R，且滿足，，當時，．則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數C.當時，的取值范圍為D.函數與圖象僅有個不同的交點〖答案〗BCD〖解析〗依題意，當時，，當時，，函數的定義域為，由，可知的圖象關于對稱，由，則，的圖象關于對稱，又，因此有，即，于是有，從而得函數的周期，又，令可得，所以，對于A，，故A不正確；對于B，，所以函數為偶函數，B正確；對于C，當時，，有，則，當時，，，，所以，所以當時，的取值范圍為，C正確；對于D，在同一坐標平面內作出函數、的部分圖象，如圖：方程的實根，即是函數與的圖象交點的橫坐標，觀察圖象知，函數與的圖象有個交點，因此方程僅有個不同實數解，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．〖答案〗5〖解析〗，故〖答案〗為：514.從1，2，3，4，5，6中任取兩個不同的數，則這兩個數的積為奇數的概率為______．〖答案〗〖解析〗設取的兩個數為，則所有可能結果為：，，共15種情況，這兩個數的積為奇數有：，共3種情況，則這兩個數的積為奇數的概率為，故〖答案〗為：.15.已知實數M，N滿足，則的最小值是______．〖答案〗4〖解析〗因為實數a，b滿足，所以，且，即，可得，當且僅當取得最小值.故〖答案〗為：.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設三棱錐的外接球球心為，半徑為，外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，則，解得，在，，故：，故，又，，，，當且僅當時取等號，三棱錐的體積.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．17.已知復數，且為純虛數．（1）求b；（2）設復數滿足，且復數對應的點在第二象限，求實數a的取值范圍．解：（1），∵是純虛數，∴∴．（2）復數，∵復數所對應的點在第二象限，∴解得：．∴實數a的取值范圍為．18.已知向量，，滿足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．解：（1）向量在向量方向上的投影向量為.（2）,當時，，即.19.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求；（2）若角的平分線與交于點，且，，求的面積．解：（1）因為，所以，，整理可得，即，因為，則，由余弦定理可得，因為，故.（2）由，即，即，解得，所以，的面積為.20.某單位組織一場黨史知識競賽活動，隨機抽取100名員工的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示頻率分布表：分組頻率0.050.150.250.30.20.05（1）求樣本成績的第80百分位數；（2）試利用表格中數據估算這次黨史知識競賽的平均成績；（3）已知樣本中成績落在區(qū)間內的員工男女比例為，現從該樣本中分數在的員工中隨機抽出2人，求至少有1人是女員工的概率．解：（1）樣本中成績在的頻率為，樣本中成績在的頻率為，所以樣本中成績的第80百分位數在，所以樣本中成績的第80百分位數為：.（2）樣本平均值為：（分），估計這次黨史知識競賽的平均成績?yōu)?1分．（3）這次黨史競賽成績落在區(qū)間內的員工有名，男員工3人，女員工2人，記“至少有一個女員工被選中”為事件A，記這5人為1，2，3，4，5號，其中女員工為1，2號，則樣本空間：，其中，所以至少有1人是女員工的概率為.21.如圖，在三棱柱中，，，．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．（1）證明：取BC中點為N，連接，∵，∴，又∵，∴，∵，平面，∴平面，∵平面，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，由（1）BC⊥平面，平面，所以，∵，平面，∴平面，∴為在平面內的射影，∴為與平面所成的角，在直角中，，∴，即與平面所成角的正弦值為．22.已知函數有兩個零點．（1）求實數a的取值范圍；（2）設，是g（x）的兩個零點，證明：．（1）解：．由可得，令，由可得，故．當或，即或時，無解，所以g（x）不存在零點；當，即時，有一解，此時x僅有一解，所以g（x）只存在一個零點；當，即時，有兩解，此時在各有一解，故g（x）有兩個零點．綜上，實數a的取值范圍為．（2）證明：函數g（x）有兩個零點，，令，則，為方程的兩根，則，，所以，兩邊平方得，因為，所以，所以，由可得，所以，則，因為在上單調遞減，所以，即河南省洛陽市2022-2023學年高一下學期期末質量檢測數學試題本試卷共4頁，共150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2．考試結束，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在復平面內，點對應的復數的模等于（）A.5 B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗因為，所以對應復數為，其模為.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，則，所以，又集合，所以故選：D3.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由二倍角正弦公式可得，故選：A4.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）A若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于選項A，若，，，，由面面平行判定定理知，得不出，故選項A錯誤；對于選項B，若，則直線與平面，可平行、相交或在平面內，故選項B錯誤；對于選項C，因為，所以直線的方向向量互相垂直，又，則，故選項C正確；對于選項D，若，，，則或異面，故選項D錯誤.故選：C.5.從A班隨機抽一名學生是女生的概率是，從B班隨機抽一名學生是女生的概率是，現從兩個班各隨機抽一名學生，那么兩名學生不全是女生的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗從A班選一名女生從B班選一名男生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名女生的概率為：；從A班選一名男生從B班選一名男生的概率為：，所以兩名學生不全是女生的概率是，故選：A6.已知是偶函數，則a=（）A.2 B.1 C.－1 D.－2〖答案〗A〖解析〗根據偶函數的定義：即，得，即，可得，即，故選：A7.如圖，二面角為，點，在棱l上的射影分別是，，若，則AB長度為（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意：，，，的夾角為，所以，,，，所以故選：D8.已知單位圓O是△ABC的外接圓，若，則的最大值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示：因為單位圓O是△ABC的外接圓，，所以，且，，故當共線反向時，取到最大值1，故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.某廠7月生產A型、B型產品共900件，其中A型400件．按型號進行分層，用分層隨機抽樣的方法，從7月產品中抽取一個容量為45的樣本，如果樣本按比例分配，下列說法中正確的有（）A.應抽取的A型產品件數為20B.應抽取的B型產品件數為25C.應抽取的A型產品件數為25D.應抽取的B型產品件數為20〖答案〗AB〖解析〗應抽取的A型產品件數為，應抽取的B型產品件數為，故選：AB10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的圖象的一條對稱軸為直線B.在上單調遞增C.的圖象可由函數圖象向右平移個單位得到D.函數是奇函數〖答案〗AC〖解析〗對于A，,所以的圖象的一條對稱軸為直線，故A正確；對于B，時，，因為，所以在上不單調，故B錯誤；對于C，函數圖象向右平移個單位得到,所以的圖象可由函數圖象向右平移個單位得到，故C正確；對于D，，為偶函數，故D錯誤.故選:AC.11.在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點，則下列結論正確的是（）A.∥平面B.平面截正方體所得截面為等腰梯形C.D.異面直線MN與所成角的正弦值為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，連接，因為M，N分別是，的中點，所以∥，因為在正方體中，∥，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，所以A正確，對于B，連接，由選項A，知∥，所以平面截正方體所得截面為平面，因為M，N分別是，的中點，所以，因為，所以，因為，所以≌，所以，因為∥，，所以四邊形為等腰梯形，所以B正確，對于C，連接，因為∥，所以與所成的角為，因在正方體中，，所以為正三角形，所以，所以與不垂直，所以C錯誤，對于D，因為∥，所以異面直線MN與所成角為，因為平面，平面，所以在中，，則，所以，所以D正確，故選：ABD12.設函數的定義域為R，且滿足，，當時，．則下列說法正確的是（）A.B.為偶函數C.當時，的取值范圍為D.函數與圖象僅有個不同的交點〖答案〗BCD〖解析〗依題意，當時，，當時，，函數的定義域為，由，可知的圖象關于對稱，由，則，的圖象關于對稱，又，因此有，即，于是有，從而得函數的周期，又，令可得，所以，對于A，，故A不正確；對于B，，所以函數為偶函數，B正確；對于C，當時，，有，則，當時，，，，所以，所以當時，的取值范圍為，C正確；對于D，在同一坐標平面內作出函數、的部分圖象，如圖：方程的實根，即是函數與的圖象交點的橫坐標，觀察圖象知，函數與的圖象有個交點，因此方程僅有個不同實數解，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．〖答案〗5〖解析〗，故〖答案〗為：514.從1，2，3，4，5，6中任取兩個不同的數，則這兩個數的積為奇數的概率為______．〖答案〗〖解析〗設取的兩個數為，則所有可能結果為：，，共15種情況，這兩個數的積為奇數有：，共3種情況，則這兩個數的積為奇數的概率為，故〖答案〗為：.15.已知實數M，N滿足，則的最小值是______．〖答案〗4〖解析〗因為實數a，b滿足，所以，且，即，可得，當且僅當取得最小值.故〖答案〗為：.16.如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則三棱錐體積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：設三棱錐的外接球球心為，半徑為，外接圓半徑為，圓心為M，連接，AO，AM，則，解得，在，，故：，故，又，，，，當且僅當時取等號，三棱錐的體積.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程及演算步驟．17.已知復數，且為純虛數．（1）求b；（2）設復數滿足，且復數對應的點在第二象限，求實數a的取值范圍．解：（1），∵是純虛數，∴∴．（2）復數，∵復數所對應的點在第二象限，∴解得：．∴實數a的取值范圍為．18.已知向量，，滿足：．（1）若，求向量在向量方向上的投影向量；（2）求的最小值．解：（1）向量在向量方向上的投影向量為.（2）,當時，，即.19.在中，角、、的對邊分別為、、．已知．（1）求；（2）若角的平分線與交于點，且，，求的面積．解：（1）因為，所以，，整理可得，即，因為，則，由余弦定理可得，因為，故.（2）由，即，即，解得，所以，的面積為.20.某單位組織一場黨史知識競賽活動，隨機抽取100名員工的成績作為樣本進行統(tǒng)計，得到如圖所示頻率分