上海民辦華育中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題

上海民辦華育中學(xué)中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題易錯(cuò)專題一、中考數(shù)學(xué)幾何綜合壓軸題1．在中，，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為）．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，若與重合時(shí)，則的度數(shù)為_(kāi)___________；（2）類比探究：如圖2，設(shè)與BC的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）拓展延伸在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值．若存在，直接寫(xiě)出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）60；（2）；（3）【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：，，，，，，，，．（2）為的中點(diǎn)，,山旋轉(zhuǎn)可得，，，，，，，；（3）四邊形四邊形最小即最小，，取的中點(diǎn)，，，即，當(dāng)最小時(shí)，最小，，即與正合時(shí),最小，，，的最小值，四邊形=．【點(diǎn)睛】此題考查四邊形綜合題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形以及直角三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握旋轉(zhuǎn)變換中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．2．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖1，在中，M是的中點(diǎn)，過(guò)B作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．求證：；（嘗試應(yīng)用）（2）在（1）的情況下載線段上取點(diǎn)E（如圖2），已知，，，求；（拓展提高）（3）如圖3，菱形中，點(diǎn)P在對(duì)角線上，且，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，．若，，求菱形的邊長(zhǎng)．解析：（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】(1)證明，即可求解；(2)過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，得到，進(jìn)而求解；(3)延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，可得，所以，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）證明：，，，是的中點(diǎn)，，，．（2）由（1）得，，作，垂足為H，如圖所示：，在中，，．（3）延長(zhǎng)交于G，交延長(zhǎng)線于F，連結(jié)，如圖所示：過(guò)作于由，，設(shè)菱形邊長(zhǎng)為，在和中，即，解得（舍負(fù)），菱形的邊長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形、勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在菱形中，，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線于點(diǎn)，連接．（探索發(fā)現(xiàn)）填空：當(dāng)時(shí)，=．的值是（驗(yàn)證猜想）當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立?若成立，請(qǐng)僅就圖的情形進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（拓展應(yīng)用）在的條件下，若，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．解析：（1），；（2）當(dāng)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析；（3）線段的長(zhǎng)為或．【分析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，，由四邊形ABCD為菱形，可求∠ABE=90°，由，可求∠ABC=60°，=30°，由DF⊥BC，DC∥AB，∠FDC=∠EBC=30°，由sin∠FDC=sin∠EBC=，可得CF=CE，可求∠CEF=∠FDC=30°即可；當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．先求，再證．最后證即可；連接，交于點(diǎn)．先求，．．分兩種情況：如圖先求，再證△B′BD∽△EBF，可得，如圖先求．再證△B′BD∽△EBF，．【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B′與點(diǎn)C重合，∵，四邊形ABCD為菱形，CD∥AB，∴⊥AB，∴∠ABE=90°，∵，AD∥BC，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°，∴=∠ABE-∠ABC=90°-60°=30°，∵DF⊥BC，DC∥AB，∴DF⊥AD，∠CDA=180°-∠BAD=60°，∴∠FDC=90°-∠CDA=30°，∠FCD=90°-∠FDC=60°，∴∠FDC=∠EBC=30°，∴sin∠FDC=sin∠EBC=，∵DC=BC，∴CF=CE，∴∠CFE=∠CEF=∠FCD=30°，∴∠CEF=∠FDC=30°，∴DF=FE，∵cos∠FDC=，∴=，故答案為，．當(dāng)時(shí)，中的結(jié)論仍然成立．證明：如圖，連接．，，．，．．．，即．，，．．，線段的長(zhǎng)為或．連接，交于點(diǎn)．，，，，∵DE=BE，∠DEB=90°，∴∠EDB=∠EBD=45°，．，∠B′EB=90°，，．，．．分兩種情況：如圖，，∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE+∠EBD=∠EBD+∠DBF，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．如圖，．∵∠B′BE=∠DBF=30°，∴cos∠B′BE=cos∠DBF=，又∵∠B′BE-∠FBB′=∠DBF-∠FBB′，∴∠B′BD=∠EBF，∴△B′BD∽△EBF，∴，．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)變換，菱形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)值，等腰直角三角形性質(zhì)，三角形相似判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．在中，點(diǎn)D，E分別是邊上的點(diǎn)，．基礎(chǔ)理解：（1）如圖1，若，求的值；證明與拓展：（2）如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，連接；①求證：；②如圖3，若在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)恰好落在上時(shí)，連接，則的面積為_(kāi)_______．解析：（1）；（2）①見(jiàn)詳解；②13.44【分析】（1）利用平行線分線段定理，直接求解即可；、（2）①先推出，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；②先推出AE=AE1=8，DE=D1E1=10，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=3.6，D1E=2.8，再證明∠D1EE1=90°，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：（1）∵，，∴=；（2）①∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a度，得到，∴=AD，=AE，∠BAD1=∠CAE1，∵，∴，即，∴，∴，∴；②由①可知，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)恰好落在上，∴AD1=AD=6，∠D1AE1=∠DAE=90°，∴AE=AE1=AD1=8，DE=D1E1=，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，則DM=D1M=AD×cos∠ADE=AD×=6×=3.6，∴D1E=10-3.6×2=2.8，∵∠D1AE1=∠DAE=90°，∴∠DAD1=∠EAE1，又∵AD1=AD，AE=AE1，∴∠ADE=，∴∠AED+=∠AED+∠ADE=90°，即：∠D1EE1=90°，∴，∴的面積=D1E?EE1=×2.8×9.6=13.44．故答案是：13.44．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，平行線分線段成比例定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．5．情境觀察：將矩形ABCD紙片沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示.將△A′C′D的頂點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，并繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)D、A(A′)、B在同一條直線上，如圖2所示．觀察圖2可知：與BC相等的線段是▲，∠CAC′=▲°．問(wèn)題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過(guò)點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.解析：情境觀察：AD（或A′D），90問(wèn)題探究：EP=FQ.證明見(jiàn)解析結(jié)論：HE=HF.證明見(jiàn)解析【詳解】情境觀察AD（或A′D），90問(wèn)題探究結(jié)論：EP=FQ.證明：∵△ABE是等腰三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ.∴EP=FQ拓展延伸結(jié)論：HE=HF.理由：過(guò)點(diǎn)E作EP⊥GA，F(xiàn)Q⊥GA，垂足分別為P、Q.∵四邊形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，同理△ACG∽△FAQ，∵AB=kAE，AC=kAF，∴EP=FQ.∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF6．如圖所示，點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn)，射線AB垂直于MN，垂足為A，半圓繞M點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作α；設(shè)半圓O的半徑為R，AM的長(zhǎng)度為m，回答下列問(wèn)題：（1）探究：若R＝2，m＝1，如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，圓心O′到射線AB的距離是；如圖2，當(dāng)α＝°時(shí)，半圓O與射線AB相切；（2）如圖3，在（1）的條件下，為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30°即能與射線AB相切，在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下，調(diào)整半徑R的大小，請(qǐng)你求出滿足要求的R，并說(shuō)明理由．（3）發(fā)現(xiàn)：如圖4，在0°＜α＜90°時(shí)，為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切，小明探究了cosα與R、m兩個(gè)量的關(guān)系，請(qǐng)你幫助他直接寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系；cosα＝（用含有R、m的代數(shù)式表示）（4）拓展：如圖5，若R＝m，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍，并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分（弓形）面積的最大值（用m表示）解析：（1）+1；60°；（2）4+2；（3）；（4）m2．【詳解】試題分析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，在Rt△O′EM中，由sinα=，推出α=60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．列出方程即可解決問(wèn)題、（4）當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°．當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，求出此時(shí)的面積即可．試題解析：（1）如圖1中，作O′E⊥AB于E，MF⊥O′E于F．則四邊形AMFE是矩形，EF=AM=1．想辦法求出O′E的長(zhǎng)即可．在Rt△MFO′中，∵∠MOF=30°，MO′=2，∴O′F=O′M?cos30°=，O′E=+1，∴點(diǎn)O′到AB的距離為+1．如圖2中，設(shè)切點(diǎn)為F，連接O′F，作O′E⊥OA于E，則四邊形O′EAF是矩形，∴AE=O′F=2，∵AM=1，∴EM=1，在Rt△O′EM中，sinα=，∴α=60°故答案為+1，60°．（2）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．∵O′P=R，∴R=R+1，∴R=4+2．（3）設(shè)切點(diǎn)為P，連接O′P，作MQ⊥O′P，則四邊形APQM是矩形．在Rt△O′QM中，O′Q=R?cosα，QP=m，∵O′P=R，∴R?cosα+m=R，∴cosα=．故答案為．（4）如圖5中，當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí)，之后開(kāi)始出現(xiàn)兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)α=90°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，為半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻，此時(shí)∵M(jìn)N′=2AM，所以∠AMN′=60°，所以，α=120°因此，當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，α的取值范圍是：90°＜α≤120°故答案為90°＜α≤120°；當(dāng)N′落在AB上時(shí)，陰影部分面積最大，所以S═﹣?m?m=m2．7．如圖，分別為中上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），連接交于點(diǎn)P，.我們約定：線段所對(duì)的，稱為線段的張角.情景發(fā)現(xiàn)（1）已知三角形是等邊三角形，，①求線段的張角的度數(shù)；②求點(diǎn)P到的最大距離；③若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)，求點(diǎn)P的路徑長(zhǎng).拓展探究（2）在（1）中，已知是圓P的外切三角形，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)度稱為點(diǎn)的路徑長(zhǎng)，試探究點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)之間有何關(guān)系？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.解析：（1）①120°，②點(diǎn)P到的最大距離，③；（2）點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍）.【分析】（1）①利用等邊三角形的性質(zhì)證△AEB與△BCF全等，得到∠EBA＝∠BCF，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠CPB的度數(shù)；②由題意可知當(dāng)PO⊥BC于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離最大，根據(jù)垂徑定理及三角函數(shù)即可求出點(diǎn)P到BC的最大距離；③由題意知點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)為弧BC的長(zhǎng)，在②的基礎(chǔ)上直接利用公式即可求出結(jié)果；（2）由題意可知張角∠CPB的度數(shù)始終為120°，可得∠CBP＋∠BCP＝60°，因?yàn)閳AP是△A'BC的內(nèi)切圓，由此可推出A'是等邊三角形ABC外接圓上優(yōu)弧BAC上的一動(dòng)點(diǎn)，其半徑為2，圓心角240°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可直接求出其長(zhǎng)度，并計(jì)算出點(diǎn)A'的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍．【詳解】解：（1）①∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴.∵，∴，.②（2）如圖所示，由于始終為，故過(guò)點(diǎn)作圓O,∴.當(dāng)于點(diǎn)N時(shí)，點(diǎn)P到的距離最大.∵，∴，∴，∴點(diǎn)P到的最大距離.③由②可知點(diǎn)P的路徑為的長(zhǎng)度，即（2）點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍），理由：由（1）中題意可知張角的度數(shù)始終為，可得，又因?yàn)閳AP是的內(nèi)切圓，所以，所以，所以是等邊三角形外接圓上優(yōu)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，由題意可得等邊三角形外接圓的半徑為，點(diǎn)的路徑是優(yōu)弧的長(zhǎng)度，即以的圓心角，半徑為的弧長(zhǎng)，如圖，所以點(diǎn)的路徑長(zhǎng)=，點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是：，所以點(diǎn)的路徑長(zhǎng)與點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的比值是2：1（或點(diǎn)的路徑長(zhǎng)是點(diǎn)P的路徑長(zhǎng)的2倍）.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)性質(zhì)，弧長(zhǎng)公式等，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)題意畫(huà)出圖形.8．已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點(diǎn)，DE與CF交于點(diǎn)G．問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖，若四邊形ABCD是矩形，且于G，，填空：______；當(dāng)矩形ABCD是正方形時(shí)，______；拓展探究如圖，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，成立？并證明你的結(jié)論；解決問(wèn)題如圖，若于G，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．解析：（1）①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)先一步證明△AED~△DFC，然后進(jìn)一步利用相似三角形性質(zhì)求解即可；（2）在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，通過(guò)證明△ADE~△DCM進(jìn)一步求解即可；（3）過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，先證明△BAD≌△BCD，然后進(jìn)一步證明△BCM~△DCN，再結(jié)合勾股定理求出CN，最終通過(guò)證明△AED~△NFC進(jìn)一步求解即可.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A=∠FDC=90°，AB=CD，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED~△DFC，∴，∴①，②若四邊形ABCD為正方形，，故答案為：①，②1；（2）當(dāng)+=180°時(shí)，成立，理由如下：如圖，在AD的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)M，使得CM=CF，則∠CMD=∠CFM，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠A=∠CDM，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠BEG+∠FCB=180°，∵∠BEG+∠AED=180°，∴∠AED=∠FCB，∵AD∥BC，∴∠CFM=∠FCB，∴∠CMD=∠AED，∴△ADE~△DCM，∴，即：；（3），理由如下：過(guò)C點(diǎn)作CN⊥AD于N點(diǎn)，CM⊥AB交AB延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，連接BD，設(shè)CN=x，∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，∴∠A=∠M=∠CAN=90°，∴四邊形AMCN為矩形，∴AM=CN，AN=CM，在△BAD與△BCD中，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD=∠A=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC+∠CBM=180°，∴∠MBC=∠ADC，∵∠CND=∠M=90°，∴△BCM~△DCN，∴，∴，∴，在Rt△CMB中，，BM=AM?AB=，由勾股定理可得：，∴，解得：（舍去）或，∴，∵∠A=∠FGD=90°，∴∠AED+∠AFG=180°，∵∠AFG+∠NFC=180°，∴∠AED=∠CFN，∵∠A=∠CNF，∴△AED~△NFC，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)與判定和全等三角形性質(zhì)與判定及矩形性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.9．（基礎(chǔ)鞏固）（1）如圖①，，求證：．（嘗試應(yīng)用）（2）如圖②，在菱形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊上兩點(diǎn)，將菱形沿翻折，點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)P處，若，求的值．（拓展提高）（3）如圖③，在矩形中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．解析：（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）由證明，再根據(jù)相似三角形的判定方法解題即可；（2）由菱形的性質(zhì)，得到，，繼而證明是等邊三角形，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，設(shè)，則可整理得到，據(jù)此解題；（3）在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，由矩形的性質(zhì)，得到，結(jié)合（1）中相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)解題即可．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，即，∵，∴；（2）∵四邊形是菱形，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，由（1）得，，∴，設(shè)，則∴，可得①，②，①－②，得，∴，∴的值為；（3）如圖，在邊上取點(diǎn)E，F(xiàn)，使得，設(shè)AB=CD=m，∵四邊形是矩形，∴，∴，=DF，，由（1）可得，，∴，∴，整理，得，解得或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．問(wèn)題探究（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請(qǐng)?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系：________；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，則線段AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______；拓展延伸（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一直線上時(shí)，畫(huà)出圖形，并求線段AD的長(zhǎng)．解析：（1）①垂直，②4；（2）作圖見(jiàn)解析，或【分析】（1）①由“SAS”可證△ACD≌△BCE，可得∠ADC=∠BEC=45°，可得AD⊥BD；②過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，由勾股定理可求DF，CF，AF的長(zhǎng)，即可求AD的長(zhǎng)；（2）分點(diǎn)D在BC左側(cè)和BC右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）∵△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ABC=∠DEC=45°=∠CDE∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，且AC=BC，CE=CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC=∠BEC=45°∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°∴AD⊥BD故答案為：垂直②如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AD于點(diǎn)F，∵∠ADC=45°，CF⊥AD，CD=∴DF=CF=1∴∴AD=AF+DF=4故答案為：4．（2）①如圖：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1，∴AB=2,DE=2,∠ACD＝∠BCE,．∴△ACD∽△BCE．∴∠ADC＝∠E，．又∵∠CDE+∠E=90°，∴∠ADC+∠CDE=90°，即∠ADE=90°．∴AD⊥BE．設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．②如圖，同①設(shè)BE=x，則AD=x．在Rt△ABD中，，即．解得（負(fù)值舍去）．∴AD=．綜上可得，線段AD的長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線．11．德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割．如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦”．如圖①，點(diǎn)C把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)C為線段的黃金分割點(diǎn)．（1）特例感知：在圖①中，若，求的長(zhǎng)；（2）知識(shí)探究：如圖②，作⊙O的內(nèi)接正五邊形：①作兩條相互垂直的直徑、；②作的中點(diǎn)P，以P為圓心，為半徑畫(huà)弧交于點(diǎn)Q；③以點(diǎn)A為圓心，為半徑，在⊙O上連續(xù)截取等弧，使弦，連接；則五邊形為正五邊形．在該正五邊形作法中，點(diǎn)Q是否為線段的黃金分割點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）拓展應(yīng)用：國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征，是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形，與黃金分割有著密切的聯(lián)系．延長(zhǎng)題（2）中的正五邊形的每條邊，相交可得到五角星，擺正后如圖③，點(diǎn)E是線段的黃金分割點(diǎn)，請(qǐng)利用題中的條件，求的值．解析：（1）61.8；（2）是，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）根據(jù)黃金分割的定義求解即可；（2）設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，利用勾股定理求出PA，繼而求出OQ，MQ，即可作出判斷；（3）先求出正五邊形的每個(gè)內(nèi)角，即可得到∠PEA=∠PAE=，根據(jù)已知條件可知cos72°=，再根據(jù)點(diǎn)E是線段PD的黃金分割點(diǎn)，即可求解．【詳解】解：（1）∵，∴，即，解得：AC≈61.8；（2）Q是線段OM的黃金分割點(diǎn)，理由如下：設(shè)⊙O的半徑為a，則OA=ON=OM=a，∴OP=，∴，∴OQ=PQ-OP=，∴MQ=OM-OQ=，，∴Q是線段OM的黃金分割點(diǎn)；（3）正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為：，∴∠PEA=∠PAE=，∴cos72°=，∵點(diǎn)E是線段PD的黃金分割點(diǎn)，∴，又∵AE=ED，∴，∴cos72°=．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割、勾股定理、銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意正確解題．12．（操作）如圖①，在矩形中，為對(duì)角線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），將沿射線方向平移到的位置，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．已知（不需要證明）．（探究）過(guò)圖①中的點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，其它條件不變，如圖②．求證：．（拓展）將圖②中的沿翻折得到，連接，其它條件不變，如圖③．當(dāng)最短時(shí)，若,，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)和此時(shí)四邊形的周長(zhǎng)．解析：探究：見(jiàn)解析；拓展：四邊形的周長(zhǎng)為【分析】探究：證明四邊形EGBC是平行四邊形，推出EG=BC，利用SAS證明三角形全等即可．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．由題意四邊形AGFC是平行四邊形，推出GF=AC=，由BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=利用相似三角形的性質(zhì)，求出BH，HF′，利用勾股定理求出GF′，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出GF′的值最小時(shí)BF′的值，推出BF′=此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】解：探究：由平移，∴，即又∵，∴四邊形為平行四邊形∴∵，∴∠CBF=∠ACB，∵∴∠AEG=∠ACB，∴∠AEG=∠CBF∴．拓展：如圖3中，連接BD交AC于點(diǎn)O，作BK⊥AC于K，F(xiàn)′H⊥BC于H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AB=4，BC=2，∴∵∴，∴由題意四邊形AGFC是平行四邊形，∴GF=AC=，∵BF=BF′，可以假設(shè)BF=x，則BG=∵AC∥GF，∴∠BOK=∠HBF′，∵∠BKO=∠F′HB=90°，∴△F′HB∽△BKO，∴∴∴∴∵＞0，∴當(dāng)時(shí)，GF′的值最小，此時(shí)點(diǎn)F′與O重合，由對(duì)折得：由矩形的性質(zhì)得：四邊形BFCF′是菱形，四邊形BFCF′的周長(zhǎng)為，且與互相平分，由勾股定理得：【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．13．如圖1，在中，,，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接．(1)探索發(fā)現(xiàn)：圖１圖２圖３圖1中，的值為_(kāi)____________；的值為_(kāi)________；(2)拓展探究若將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的大小有無(wú)變化，請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；(3)問(wèn)題解決當(dāng)旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一直線時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．解析：(1);(2)見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）先判斷出∠AEB=90°，再判斷出∠B=30°，進(jìn)而的粗AE，再用勾股定理求出BE，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，進(jìn)而得出△ACD∽△BCE，即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在線段AE上和AE的延長(zhǎng)線上，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，最后用線段的和差求出AD，即可得出結(jié)論．【詳解】解:解:(1)如圖1，連接AE,∵AB=AC=2，點(diǎn)E分別是BC的中點(diǎn)，∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∵AB=AC=2，∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,在Rt△ABE中，AE=AB=1，根據(jù)勾股定理得，BE∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),∴BC=2BE∴∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=AC=1,∴故答案為：,;(2)無(wú)變化,理由:由(1)知,CD=1,,∴,∴,由(1)知,∠ACB=∠DCE=30°,∴∠ACD=∠BCE,∴△ACD∽△BCE,∴,(3)線段BE的長(zhǎng)為或，理由如下：當(dāng)點(diǎn)D在線段AE上時(shí),如圖2,過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F,∠CDF=180°﹣∠CDE=60°,∴∠DCF=30°,∴,∴,在Rt△AFC中,AC=2,根據(jù)勾股定理得,,∴AD=AF+DF=,由(2)知,,∴當(dāng)點(diǎn)D在線段AE的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖3,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AD交AD的延長(zhǎng)線于G,∵∠CDG=60°,∴∠DCG=30°,∴,∴,在Rt△ACG中,根據(jù)勾股定理得,,∴,由(2)知,,∴即:線段BE的長(zhǎng)為或.【點(diǎn)睛】此題是相似形綜合題，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出直角三角形是解本題的關(guān)鍵．14．《函數(shù)的圖象與性質(zhì)》拓展學(xué)習(xí)片段展示：（問(wèn)題）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，則a=．（操作）將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫(xiě)出圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．（探究）在圖②中，過(guò)點(diǎn)B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)y隨x增大而增大時(shí)x的取值范圍．（應(yīng)用）P是圖③中圖象G上一點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為m，連接PD，PE．直接寫(xiě)出△PDE的面積不小于1時(shí)m的取值范圍．解析：【問(wèn)題】：a=；【操作】：y=；【探究】：當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．【詳解】試題分析：【問(wèn)題】：把（0，0）代入可求得a的值；【操作】：先寫(xiě)出沿x軸折疊后所得拋物線的解析式，根據(jù)圖象可得對(duì)應(yīng)取值的解析式；【探究】：令y=0，分別代入兩個(gè)拋物線的解析式，分別求出四個(gè)點(diǎn)CDEF的坐標(biāo)，根據(jù)圖象呈上升趨勢(shì)的部分，即y隨x增大而增大，寫(xiě)出x的取值；【應(yīng)用】：先求DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求高的取值h≥1；分三部分進(jìn)行討論：①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，根據(jù)h≥1，列不等式解出即可；②如圖③，作對(duì)稱軸由最大面積小于1可知：點(diǎn)P不可能在DE的上方；③P與O或A重合時(shí)，符合條件，m=0或m=4．試題解析：【問(wèn)題】∵拋物線y=a（x﹣2）2﹣經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，∴0=a（0﹣2）2﹣，a=；【操作】：如圖①，拋物線：y=（x﹣2）2﹣，對(duì)稱軸是：直線x=2，由對(duì)稱性得：A（4，0），沿x軸折疊后所得拋物線為：y=﹣（x﹣2）2+如圖②，圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=；【探究】：如圖③，由題意得：當(dāng)y=1時(shí)，（x﹣2）2﹣=0，解得：x1=2+，x2=2﹣，∴C（2﹣，1），F(xiàn)（2+，1），當(dāng)y=1時(shí)，﹣（x﹣2）2+=0，解得：x1=3，x2=1，∴D（1，1），E（3，1），由圖象得：圖象G在直線l上方的部分，當(dāng)1＜x＜2或x＞2+時(shí)，函數(shù)y隨x增大而增大；【應(yīng)用】：∵D（1，1），E（3，1），∴DE=3﹣1=2，∵S△PDE=DE?h≥1，∴h≥1；①當(dāng)P在C的左側(cè)或F的右側(cè)部分時(shí)，設(shè)P[m，]，∴h=（m﹣2）2﹣﹣1≥1，（m﹣2）2≥10，m﹣2≥或m﹣2≤﹣，m≥2+或m≤2﹣，②如圖③，作對(duì)稱軸交拋物線G于H，交直線CD于M，交x軸于N，∵H（2，），∴HM=﹣1=＜1，∴當(dāng)點(diǎn)P不可能在DE的上方；③∵M(jìn)N=1，且O（0，0），a（4，0），∴P與O或A重合時(shí)，符合條件，∴m=0或m=4；綜上所述，△PDE的面積不小于1時(shí)，m的取值范圍是：m=0或m=4或m≤2﹣或m≥2+．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．15．（問(wèn)題）如圖1，在中，，過(guò)點(diǎn)作直線平行于．，點(diǎn)在直線上移動(dòng)，角的一邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)，另一邊與交于點(diǎn)，研究和的數(shù)量關(guān)系．（探究發(fā)現(xiàn)）（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)到使點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，通過(guò)推理就可以得到，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；（數(shù)學(xué)思考）（2）如圖3，若點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），受（1）的啟發(fā)，這個(gè)小組過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，就可以證明，請(qǐng)完成證明過(guò)程；（拓展引申）（3）如圖4，在（1）的條件下，是邊上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），是射線上一點(diǎn)，且，連接與交于點(diǎn)，這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)過(guò)多次取點(diǎn)反復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)在某一位置時(shí)的值最大．若，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的最大值．解析：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）見(jiàn)解析；【數(shù)學(xué)思考】（2）見(jiàn)解析；【拓展引申】（3）時(shí)，有最大值為2．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行的定義即可解得根據(jù)證明即可推出過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證明，再推出即可得=，則.【詳解】證明：【探究發(fā)現(xiàn)】（1）∵∴∵∴，且∴∴即【數(shù)學(xué)思考】（2）∵∴∴，∵∴，且，∴∴【拓展引申】（3）如圖4，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，∵，∴∵∴∴∴，且∴∴∵，∴∴∴∴∴∵∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)四點(diǎn)共圓，∴∴，且∴∴∴∴∴時(shí)，有最大值為2．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，解題關(guān)鍵在于熟練掌握等腰三角形的性質(zhì).16．（1）（探究發(fā)現(xiàn)）如圖1，的頂點(diǎn)在正方形兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊分別與正方形的邊和交于點(diǎn)和點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）．則之間滿足的數(shù)量關(guān)系是．（2）（類比應(yīng)用）如圖2，若將（1）中的“正方形”改為“的菱形”，其他條件不變，當(dāng)時(shí)，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)猜想結(jié)論并說(shuō)明理由．（3）（拓展延伸）如圖3，，，，平分，，且，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．解析：（1）（2）結(jié)論不成立．（3）【分析】（1）結(jié)論：．根據(jù)正方形性質(zhì)，證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（2）結(jié)論不成立．．連接，在上截取，連接．根據(jù)菱形性質(zhì)，證，四點(diǎn)共圓，分別證是等邊三角形，是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)證，根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．根據(jù)勾股定理，可得到，由，得四點(diǎn)共圓，再證是等邊三角形，由（2）可知：，故可得．【詳解】（1）如圖1中，結(jié)論：．理由如下：∵四邊形是正方形，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為．（2）如圖2中，結(jié)論不成立．．理由：連接，在上截取，連接．∵四邊形是菱形，，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，（3）如圖3中，由可知是鈍角三角形，，作于，設(shè)．在中，，∵，∴，解得（舍棄）或，∴，∵，∴四點(diǎn)共圓，∵平分，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，由（2）可知：，∴．【點(diǎn)睛】考核知識(shí)點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，圓的性質(zhì).綜合運(yùn)用各個(gè)幾何性質(zhì)定理是關(guān)鍵；此題比較綜合.17．小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，，連接，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過(guò)探究，得到結(jié)論：．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．問(wèn)題解決：（3）若，求的長(zhǎng)．解析：（1）是；（2）結(jié)論成立，理由見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）利用等角的余角相等求出∠A=∠E，再通過(guò)AB=BD求出∠A=∠ADB，緊接著根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求出FD=FE=FC，由此得出∠E=∠FDE，據(jù)此進(jìn)一步得出∠ADB=∠FDE，最終通過(guò)證明∠ADB+∠EDC=90°證明結(jié)論成立即可；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)可以得出90°，90°，從而可得，接著證明出，利用可知，從而推出，最后通過(guò)證明得出，據(jù)此加以分析即可證明結(jié)論；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）得，故而，在中，利用勾股定理求出，由此得出，緊接著，繼續(xù)通過(guò)勾股定理求出，最后進(jìn)一步證明，再根據(jù)相似三角形性質(zhì)得出，從而求出，最后進(jìn)一步分析求解即可.【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，∴∠A+∠ACB=∠E+∠ECD，∵∠ACB=∠ECD，∴∠A=∠E，∵AB=BD，∴∠A=∠ADB，在中，∵F是斜邊CE的中點(diǎn)，∴FD=FE=FC，∴∠E=∠FDE，∵∠A=∠E，∴∠ADB=∠FDE，∵∠FDE+∠FDC=90°，∴∠ADB+∠FDC=90°，即∠FDB=90°，∴BD⊥DF，結(jié)論成立，故答案為：是；（2）結(jié)論成立，理由如下：∵，∴90°，90°，∴，∵，∴．∴．又∵，∴．∴．又90°，90°，，∴，∴．∴．∴F為的中點(diǎn)；（3）如圖，設(shè)G為的中點(diǎn)，連接GD，由（1）可知，∴，又∵，在中，，∴，在中，，在與中，∵∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)及判定的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.18．在中，，．點(diǎn)D在邊上，且，交邊于點(diǎn)F，連接．（1）特例發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)時(shí)，①求證：；②推斷：_________．；（2）探究證明：如圖2，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄康亩葦?shù)是否為定值，并說(shuō)明理由；（3）拓展運(yùn)用：如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線，交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)K，若，求的長(zhǎng)．解析：（1）①證明見(jiàn)解析，②；（2）為定值，證明見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）①利用已知條件證明即可得到結(jié)論，②先證明利用相似三角形的性質(zhì)再證明結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得答案；（2）由（1）中②的解題思路可得結(jié)論；（3）設(shè)則利用等腰直角三角形的性質(zhì)分別表示：由表示再證明利用相似三角形的性質(zhì)建立方程求解，即可得到答案．【詳解】證明：（1）①②推斷：理由如下：（2）為定值，理由如下：由（1）得：（3），設(shè)則，解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，更重要的是考查學(xué)生的學(xué)習(xí)探究的能力，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（感知）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，∠C=∠D=90°，點(diǎn)E在邊CD上，∠AEB=90°，求證：=．（探究）（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在邊AD的延長(zhǎng)線上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，連接BG交CD于點(diǎn)H．求證：BH=GH．（拓展）（3）如圖③，點(diǎn)E在四邊形ABCD內(nèi)，∠AEB+∠DEC=18