山西省忻州市岢嵐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

山西省忻州市岢嵐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)分別為圓和橢圓上的點,則兩點間的最大距離是A. B.C. D.2．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割，簡稱黃金數(shù)．離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線．若雙曲線是黃金雙曲線，則（）A. B.C. D.3．已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.5．方程化簡的結(jié)果是（）A. B.C. D.6．已知空間直角坐標(biāo)系中的點，，，則點P到直線AB的距離為（）A. B.C. D.7．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>08．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點，則取到的3點共線的概率為（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)(且，)的一個極值點為2，則的最小值為（）A. B.C. D.710．函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.11．年底以來，我國多次在重要場合和政策文件中提及碳中和，碳中和指的是二氧化碳排放量和吸收量可以正負抵消，實現(xiàn)二氧化碳“零排放”.二氧化碳的分子是由一個碳原子和兩個氧原子構(gòu)成的，其結(jié)構(gòu)式為.已知氧有、、三種天然同位素，碳有、、三種天然同位素，則由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有（）A.種 B.種C.種 D.種12．氣象臺正南方向的一臺風(fēng)中心，正向北偏東30°方向移動，移動速度為，距臺風(fēng)中心以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，若臺風(fēng)中心的這種移動趨勢不變，氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響持續(xù)時間大約是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．等差數(shù)列的前項和為，已知，則__.14．橢圓的右焦點為，過原點的直線與橢圓交于兩點、，則的面積的最大值為___________.15．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.16．作邊長為6的正三角形的內(nèi)切圓，半徑記為，在這個圓內(nèi)作內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓．如此下去，第n個正三角形的內(nèi)切圓半徑記為，則______，現(xiàn)有1個半徑為的圓，2個半徑為的圓，……，個半徑為的圓，n個半徑為的圓，則所有這些圓的面積之和為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，已知且（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列前項和18．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值19．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由20．（12分）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）用向量方法證明：已知直線l，a和平面，，，，求證：.21．（12分）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答下列題目設(shè)首項為2的數(shù)列的前n項和為，前n項積為，且______（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，令，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點極值點單調(diào)性性質(zhì)（2）通過（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個數(shù)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點睛】本題考查圓上點與橢圓上點的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動點距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論2、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的，所以離心率，因為雙曲線是黃金雙曲線，所以，兩邊平方得，解得或（舍去），故選：A3、B【解析】構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用單調(diào)性比較大小【詳解】設(shè)恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故選：B4、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因為，所以，，所以所以答案選C.考點：橢圓的簡單幾何性質(zhì).5、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結(jié)果故選：D6、D【解析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求.【詳解】，0，，，1，，，，，，在上的投影為，則點到直線的距離為.故選：D7、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B8、A【解析】列出從5個點選3個點的所有情況，再列出3點共線的情況，用古典概型的概率計算公式運算即可.【詳解】如圖，從5個點中任取3個有共種不同取法，3點共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計算公式知，取到3點共線的概率為.故選：A【點晴】本題主要考查古典概型的概率計算問題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.9、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定極值點可得a與b的關(guān)系，再借助“1”的妙用求解即得.【詳解】對求導(dǎo)得：，因函數(shù)的一個極值點為2，則，此時，，，因，即，因此，在2左右兩側(cè)鄰近的區(qū)域值一正一負，2是函數(shù)的一個極值點，則有，又，，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：B10、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以函數(shù)的值域為故選：C11、C【解析】分兩種情況討論：兩個氧原子相同、兩個氧原子不同，分別計算出兩種情況下二氧化碳分子的個數(shù)，利用分類加法計數(shù)原理可得結(jié)果.【詳解】分以下兩種情況討論：若兩個氧原子相同，此時二氧化碳分子共有種；若兩個氧原子不同，此時二氧化碳分子共有種.由分類加法計數(shù)原理可知，由上述同位素可構(gòu)成的不同二氧化碳分子共有種.故選：C.12、D【解析】利用余弦定理進行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)臺風(fēng)中心為，，小時后到達點處，即，當(dāng)時，氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響，由余弦定理可知：，于是有：，解得：，所以氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響持續(xù)時間大約是，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和為，，則，故答案為：33.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分析可知點、關(guān)于原點對稱，可知當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值.【詳解】橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點對稱，當(dāng)、為橢圓短軸的端點時，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.15、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：16、①；②..【解析】設(shè)第n個三角形的邊長為，進而根據(jù)題意求出，然后根據(jù)等面積法求出，再求出；設(shè)n個半徑為的圓的面積為并求出，進而運用錯位相減法求得答案.【詳解】如示意圖1，設(shè)第n個三角形的邊長為，易得，則是以6為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.如示意圖2，易得：，，所以，所以.設(shè)n個半徑為的圓的面積為，則，記所有圓的面積之和為，則，所以，兩式相減得：，即.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由等差數(shù)列基本量的計算即可求解；（2）由裂項相消求和法即可求解.【小問1詳解】解：由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則,，解得,；【小問2詳解】解：，.18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因為，所以，即，解得.19、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設(shè)存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，設(shè)平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設(shè)存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設(shè)平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.20、（1）的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；（2）說明直線方向向量與平行的法向量垂直后可得【詳解】（1）解：定義域為R，，，解得，.當(dāng)或時，，當(dāng)時，.所以的單調(diào)減區(qū)間為和，單調(diào)增區(qū)間為.（2）證明：在直線a上取非零向量，因為，所以是直線l的方向向量，設(shè)是平面的一個法向量，因為，所以.又，所以.21、（1）；（2）.【解析】（1）選擇不同的條件，再通過構(gòu)造數(shù)列以及累乘法即可求得對應(yīng)情況下的通項公式；（2）根據(jù)（1）中所求，求得，再利用錯位相減法求其前項和即可.【小問1詳解】選①：∵，即，∴.即，∴數(shù)列是常數(shù)列，∴，故；選②：∵，∴時，，則，即∴，∴；當(dāng)時，也滿足，∴；選③：得，所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項為2，公差為1則，∴.【小問2詳解】由（1）知當(dāng)時，，∴又∵時，，符合上式，∴∴∴而相減得∴.22、（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）